第四章达标检测-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.函数f(x)=的定义域是 (　　)

A.(-1,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞)

C.(-1,2)  D.[-1,2)∪(2,+∞)

2.已知a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,则 (　　)

A.b>a>c  B.a>b>c

C.b>c>a  D.a>c>b

3.由表格中的数据,可以判断方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间是              (　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

4.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2 000 mg该药物,那么x小时后病人血液中这种药物的含量为              (　　)

A.2 000(1-0.2x) mg B.2 000·0.8x mg

C.2 000(1-0.2x) mg    D.2 000·0.2x mg

5.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实数根x1,x2满足x1<<x2,则实数m的取值范围为              (　　)

A.m<4    B.-<m<4

C.<m<4 D.-<m<

6.函数y=的图象大致为 (　　)

7.已知函数f(x)=若f(m)+2f(-m)>0,则实数m的取值范围为 (　　)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)

C.(-∞,-e)∪(0,e)  D.(-∞,-1)∪(0,1)

8.若函数f(x)=且满足对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有 >0成立,则实数a的取值范围是　              (　　)

A.(1,+∞)  B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.若0<m<n<1,则 (　　)

A.log4m<log4n B.3n<3m

C.logm3<logn3 D.>

10.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列式子成立的是 (　　)

A. f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)

B. f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)

C.>0

D. f<

11.设函数y=ln(x2-x+1),则下列命题中正确的是 (　　)

A.函数的定义域为R

B.函数是增函数

C.函数的值域为R

D.函数的图象关于直线x=对称

12.已知函数f(x)的定义域为D,若对任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有              (　　)

A.y=x2  B.y=

C.y=2x-1 D.y=ln(x+1)

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.log2×log32=　　　　. 

14.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于　　　　.(保留两位小数,参考数据:ln 3≈1.099) 

15.已知x,y∈R,在实数集R中定义一种运算x⊕y=xy+x+y-1,则2⊕4=　　　　,函数f(x)=2x⊕的最小值为　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 

16.已知函数f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零,则实数a的取值范围是　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)计算下列各式的值.

(1)+(-2 020)0-4×+;

(2)log23×log34×log45×log254.

18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x-2m-1在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x+.

(1)求实数m的值,并简要说明函数g(x)的单调性;

(2)若不等式g(1-3t)+g(1+t)≥0恒成立,求实数t的取值范围.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.

(1)求该函数的解析式,并判断该函数的奇偶性;

(2)若不等式m·[1-f(x)]>+1对任意的x∈[-2,2]恒成立,求m的取值范围.

20.(本小题满分12分)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q(单位:千克)与ex成反比,每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100 千克.

(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)关于每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;

(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ax+9.

(1)当a≤0时,设g(x)=f(2x),证明:函数g(x)在R上单调递增;

(2)若∀x∈[1,2], f(2x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;

(3)若函数f(x)在(-3,9)上有两个零点,求实数a的取值范围.

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=,且函数y=f(x-2)是偶函数.

(1)求g(x)的解析式;

(2)若不等式g(ln x)-nln x≥0在上恒成立,求n的取值范围;

(3)若函数y=g(log2(x2+4))+k·-9恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.

答案全解全析

一、单项选择题

1.B　由题意得所以x>-1且x≠2,即f(x)的定义域为(-1,2)∪(2,+∞),故选B.

2.A　c=0.20.3<1<a=20.2<b=20.3,∴b>a>c.故选A.

3.C　设f(x)=ex-3x-2,由题表知, f(0)、 f(1)、 f(2)均为负值,f(3)、 f(4)均为正值,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,因此方程ex-3x-2=0的一个根所在的区间为(2,3),故选C.

4.B　由题意知,该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减,给某病人注射了2 000 mg该药物,x个小时后病人血液中这种药物的含量为y=2 000· (1-20%)x=2 000·0.8x (mg),故选B.

5.D　设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得, f<0,即-(2m-8)×+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-<m<.故选D.

6.B　易得函数y=为奇函数,选项C错误;当x>0时,y>0,选项D错误;当x=4时,y=≈=8,选项A错误,故选B.

7.D　当m>0时,-m<0,所以f(m)+2f(-m)=ln m-2ln m>0,

即-ln m>0,解得0<m<1.

当m<0时,-m>0,所以f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)>0,即ln(-m)>0,解得m<-1.

综上,实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选D.

8.D　∵对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都有>0成立,

∴函数f(x)=在R上单调递增,

∴解得a∈[4,8),故选D.

二、多项选择题

9.AD　因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,且0<m<n<1,所以log4m<log4n,故A正确;因为y=3x在R上单调递增,且0<m<n<1,所以3n>3m,故B错;取m=,n=,知logm3>logn3,故C错;由指数函数的性质可知D正确.故选AD.

10.ACD　f(x1+x2)=, f(x1)·f(x2)=·==f(x1+x2),所以A成立; f(x1·x2)=, f(x1)+f(x2)=+≠=f(x1·x2),所以B不成立;易知函数f(x)=2x在R上是单调递增函数,则 >0,所以C成立;f<说明函数图象是下凹的,而函数f(x)=2x图象是下凹的,所以D成立.故选ACD.

11.AD　A正确,∵x2-x+1=+>0恒成立,

∴函数的定义域为R;

B错误,函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数,在x<时是减函数;

C错误,由x2-x+1=+≥可得y=ln(x2-x+1)≥ln,∴函数的值域为;

D正确,函数的图象关于直线x=对称.故选AD.

12.BD　依题意得,若b是f(x)的值域中的数,则-b也是值域中的数,即f(x)的值域关于原点对称,选项A中函数的值域为[0,+∞),不是“M函数”;选项B中函数的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),是“M函数”;选项C中函数的值域为(0,+∞),不是“M函数”;选项D中函数的值域为R,是“M函数”.故选BD.

三、填空题

13.答案　

解析　log2×log32=log23×log32=.

14.答案　4.58

解析　由题意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化简可得e-0.24t=,

∴-0.24t=ln=-ln 3,

∴0.24t=ln 3≈1.099,

∴t≈4.58.

15.答案　13;7

解析　由已知得2⊕4=2×4+2+4-1=13.

函数f(x)=2x⊕=4+2x+-1=3+2x+≥3+2=7,当且仅当x=1时取等号,

所以函数f(x)=2x⊕的最小值为7.

16.答案　

解析　f(x)=x2-2x+loga 在内恒小于零,即(x-1)2<loga(x-1)对于x∈恒成立,画出函数y=(x-1)2与y=loga(x-1)的图象(图略),得

解得≤a<1.

四、解答题

17.解析　(1)+(-2 020)0-4×+

=108+1-7+π-3 (4分)

=99+π. (5分)

(2)原式=log23×(2log32)××log52(9分)

=×××=1. (10分)

18.解析　(1)因为f(x)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2. (2分)

又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,

所以-2m-1>0,即m<-,

所以m=-1,则g(x)=2x-. (4分)

因为y=2x与y=-均在R上单调递增,

所以函数g(x)在R上单调递增. (5分)

(2)易知g(x)的定义域为R.

因为g(-x)=2-x-=-=-g(x),

所以g(x)是奇函数, (7分)

所以不等式g(1-3t)+g(1+t)≥0可变为g(1-3t)≥-g(1+t)=g(-1-t).              (10分)

由(1)知g(x)在R上单调递增,

所以1-3t≥-1-t,解得t≤1. (12分)

19.解析　(1)依题意得b=1, (2分)

由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1. (4分)

因此f(x)=-+1,其定义域为R,

且f(-x)=-+1=-+1= f(x),故函数f(x)是偶函数. (6分)

(2)不等式m·[1-f(x)]>+1可化为m>,

依题意知m>对任意的x∈[-2,2]恒成立. (8分)

令y=,x∈[-2,2],

则m>ymax, (9分)

令t=,

当x∈[0,2]时,t∈,

y==t+,当t=时,y取得最大值,最大值为; (10分)

当x∈[-2,0)时,t∈(1,4],

y==t3+t,

当t=4时,y取得最大值,最大值为68.  (11分)

综上,m的取值范围为m>68. (12分)

20.解析　(1)设日销售量q=(25≤x≤40,k为常数),

则=100,∴k=100e30, (2分)

∴日销售量q=(25≤x≤40), (4分)

∴y=(25≤x≤40). (6分)

(2)当t=5时,y=, (7分)

令y=100e4,则x-25=ex-26, (8分)

画出函数y=x-25与y=ex-26的图象如图所示,

由图可得方程x-25=ex-26的解为x=26, (11分)

∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元.              (12分)

21.解析　(1)证明:g(x)=f(2x)=4x-2a·2x+9, (1分)

任取x1,x2∈R,且x1<x2,

则g(x2)-g(x1)=-2a·+9-(-2a·+9)

=--2a(-)

=(-)(+)-2a(-)

=(-)(+-2a), (2分)

∵函数y=2x在R上单调递增,

∴>,即->0,

又+>0,a≤0,

∴+-2a>0,

∴(-)(+-2a)>0,

∴g(x2)>g(x1),

∴函数g(x)在R上单调递增. (4分)

(2)设t=2x(1≤x≤2),则2≤t≤4,

∀x∈[1,2], f(2x)≤0恒成立,即∀t∈[2,4],t2-2at+9≤0恒成立,

即2a≥t+(t∈[2,4]),令h(t)=t+(t∈[2,4]), (6分)

易得h(t)在[2,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增,

又h(2)=,h(4)=,

∴h(t)的最大值为,

∴2a≥,即a≥,

∴实数a的取值范围为. (8分)

(3)∵函数f(x)在(-3,9)上有两个零点且f(x)=x2-2ax+9的图象的对称轴为直线x=a,

∴ (10分)

解得3<a<5.

∴实数a的取值范围为(3,5). (12分)

22.解析　(1)∵f(x)=x2+(m-2)x-m,

∴f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m. (2分)

∵y=f(x-2)是偶函数,∴m-6=0,∴m=6,

∴f(x)=x2+4x-6,

∴g(x)=x-+4(x≠0). (4分)

(2)令ln x=t,∵x∈,∴t∈[-2,0),

∵不等式g(ln x)-nln x≥0在上恒成立,

∴g(t)-nt≥0在t∈[-2,0)上恒成立. (6分)

∴n≥=-++1(t∈[-2,0)).

令z=-++1,=s,则s≤-,z=-6s2+4s+1=-6+≤-,

∴n≥-. (8分)

(3)令log2(x2+4)=p,则p≥2,

方程g(log2(x2+4))+k·-9=0可化为g(p)+k·-9=0,即p-+4+-9=0,即=0.              (10分)

∵函数y=g(log2(x2+4))+k·-9恰好有三个零点,

∴方程g(log2(x2+4))+k·-9=0有三个实数根,

∴=0有一个根为2,

∴k=6,

∴p2-5p+6=0,解得p=2或p=3.

由log2(x2+4)=2,得x=0,

由log2(x2+4)=3,得x=±2,

∴该函数的零点为0,-2,2. (12分)