2020-2021学年1.6 三角函数模型的简单应用练习

这是一份2020-2021学年1.6 三角函数模型的简单应用练习，共15页。试卷主要包含了4～1等内容，欢迎下载使用。

五年高考练
考点1 三角函数的图象及应用
1.(2020全国Ⅰ理,7,5分,)设函数f(x)=csωx+π6在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为 ( )
A.10π9 B.7π6
C.4π3 D.3π2
2.(多选)(2020全国新高考Ⅰ,10,5分,)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( )
A.sinx+π3 B.sinπ3-2x
C.cs2x+π6 D.cs5π6-2x
3.(2020浙江,4,4分,)函数y=xcs x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是( )
4.(2019课标全国Ⅰ,5,5分,)函数f(x)=sinx+xcsx+x2在[-π,π]的图象大致为( )
5.(2021全国甲文,15,5分,)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f π2= .
考点2 三角函数的性质
6.(2021全国新高考Ⅰ,4,5分,)下列区间中,函数f(x)=7sinx-π6单调递增的区间是( )
A.0,π2 B.π2,π
C.π,3π2 D.3π2,2π
7.(2019课标全国Ⅱ,9,5分,)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( )
A. f(x)=|cs 2x|
B. f(x)=|sin 2x|
C. f(x)=cs|x|
D. f(x)=sin|x|
8.(2019课标全国Ⅰ,11,5分,)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
① f(x)是偶函数
② f(x)在区间π2,π单调递增
③ f(x)在[-π,π]有4个零点
④ f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
9.(2018课标全国Ⅲ,15,5分,)函数f(x)=cs3x+π6在[0,π]的零点个数为 .
10.(2020全国Ⅲ,16,5分,)关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=π2对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
考点3 三角函数图象变换与应用
11.(2021全国乙理,7,5分,)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sinx-π4的图象,则f(x)=( )
A.sinx2-7π12 B.sinx2+π12
C.sin2x-7π12 D.sin2x+π12
12.(2020天津,8,5分,)已知函数f(x)=sinx+π3.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②fπ2是f(x)的最大值;
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.①③
C.②③ D.①②③
13.(2019天津,7,5分,)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=2,则f 3π8=( )
A.-2 B.-2
C.2 D.2
14.(2018天津,6,5分,)将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间3π4,5π4上单调递增
B.在区间3π4,π上单调递减
C.在区间5π4,3π2上单调递增
D.在区间3π2,2π上单调递减
15.(2017课标全国Ⅰ,9,5分,)已知曲线C1:y=cs x,C2:y=sin2x+2π3,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2
16.(2020江苏,10,5分,)将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
三年模拟练
应用实践
1.(2021北京西城高一月考,)已知函数f(x)=csx+π3,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.f(x)的图象关于直线x=8π3对称
C.f(x+π)的一个零点为x=π6
D.f(x)在π2,π上单调递减
2.(2021黑龙江大庆高三第二次模拟,)已知函数f(x)=sinωx-π3(ω>0),x∈[0,π]的值域为-32,1,则ω的取值范围是( )
A.13,53 B.56,1
C.56,53 D.(0,+∞)
3.(2021黑龙江东部地区四校高一上期末联考,)已知函数f(x)=asin2ωx+π6+a2+b(x∈R,a>0,ω>0)的最小正周期为π,其最大值是74,最小值是34,则f(x)的解析式为 .
4.(2021天津津南高一月考,)已知函数f(x)=csωx-π6(ω>0),若f(x)≤
f π4对任意的实数x都成立,则ω的最小值为 .
5.(2021山西临汾一中高一期中,)若函数f(x)=csωx+π6(ω∈N*)的图象的一个对称中心是π6,0,则ω的最小值为 .
6.(2021广东珠海高一上期末,)已知函数f(x)=csx-π6,则下列结论中正确的是 .(请把所有正确结论的序号填到横线处)
① f(x)的一个周期是-4π;
② f(x)的图象的一个对称中心是-π3,0;
③ f(x)的图象的一条对称轴方程是x=-5π6;
④ f(x)在-π6,5π6上是减函数.
7.(2021福建三明高一期末,)已知函数f(x)=sin2x+π6.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-k在区间-π6,13π12上有三个零点,求实数k的取值范围.
8.(2021山东淄博高一上期末,)已知函数f(x)=2sinπ2x+π4+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)若x1,x2是函数f(x)的零点,试用列举法表示cs (x1+x2)π2的取值组成的集合.
答案全解全析
五年高考练
C 解法一:设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可得T<π--4π9且T2>-4π9-
(-π),所以10π9-4π9是函数f(x)的上升零点,所以-4πω9+π6=2kπ-π2(k∈Z),所以-49ω=2k-23(k∈Z),所以|ω|=32|3k-1|(k∈Z),又因为1813<|ω|<95,所以k=0,所以|ω|=32,所以T=2π|ω|=2π32=4π3.故选C.
解法二(五点法):由函数f(x)的图象知,ω×-4π9+π6=-π2,解得ω=32,所以函数f(x)的最小正周期为4π3,故选C.
BC 由题图可知,T2=2π3-π6=π2,∴T=π,由T=2π|ω|可知,2π|ω|=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过点π6,0,∴sinπ3+φ=0,又∵π6是f(x)的下降零点,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin2x+2π3=sin2x+π6+π2=cs2x+π6,f(x)=sin2x+2π3=sinπ−π3-2x=
sinπ3-2x,故选BC.
3.A 设f(x)=xcs x+sin x,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;
又f(π)=πcs π+sin π=-π,故排除B.故选A.
4.D f(x)的定义域为[-π,π],关于原点对称.
∵f(-x)=sin(−x)-xcs(−x)+(-x)2=-sinx+xcsx+x2=-f(x),
∴f(x)是奇函数.又∵f(π)=sinπ+πcsπ+π2=π-1+π2>0,∴选D.
5.答案 -3
解析 由题图可知点π3,0,13π12,2在f(x)的图象上,∴3T4=13π12-π3=3π4,则T=π,所以|ω|=2πT=2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cs(2x+φ),将13π12,2代入得,2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-13π6+2kπ,k∈Z,
∴f π2=2cs2×π2-13π6+2kπ=-3.
6.A 令2kπ-π2≤x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,
解得2kπ-π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z,
令k=0,得-π3≤x≤2π3.故选A.
7.A 对于选项A,作出f(x)=|cs 2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在π4,π2上单调递增,且最小正周期T=π2,故A符合题意.对于选项B,作出f(x)=|sin 2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在π4,π2上单调递减,且最小正周期T=π2,故B不符合题意.对于选项C,∵f(x)=cs|x|=cs x,
∴最小正周期T=2π,故C不符合题意.对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示,显然f(x)不是周期函数,故D不符合题意.故选A.
图1
图2
图3
C f(x)的定义域为(-∞,+∞),f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+
|sin x|=f(x),故f(x)是偶函数,①正确;
当x∈π2,π时,f(x)=sin x+sin x=2sin x单调递减,②不正确;
当x∈[0,π]时,sin x≥0,f(x)=2sin x有两个零点,当x∈[-π,0)时,f(x)=
-2sin x仅有一个零点,故③不正确;
当x≥0时,f(x)=sin x+|sin x|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在R上的最大值为2,④正确.
综上,①④正确,②③不正确.故选C.
9.答案 3
解析 令f(x)=0,得cs3x+π6=0,解得x=kπ3+π9(k∈Z).当k=0时,x=π9;当k=1时,x=4π9;当k=2时,x=7π9.又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
10.答案 ②③
解析 要使函数f(x)=sin x+1sinx有意义,则有sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z,∴定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
又∵f(-x)=sin(-x)+1sin(−x)=-sin x-1sinx=-sinx+1sinx=-f(x),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于原点对称,∴①是假命题,②是真命题.
对于③,要证f(x)的图象关于直线x=π2对称,只需证f π2-x=f π2+x.
∵f π2-x=sinπ2-x+1sinπ2-x=cs x+1csx,
f π2+x=sinπ2+x+1sinπ2+x=
cs x+1csx,
∴f π2-x=f π2+x,∴③是真命题.
令sin x=t,-1≤t≤1且t≠0,
∴g(t)=t+1t,-1≤t≤1且t≠0,此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分),
∴函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),
∴函数的最小值不为2,即f(x)的最小值不为2,∴④是假命题.
综上所述,所有真命题的序号是②③.
11.B 将函数y=sinx-π4的图象向左平移π3个单位长度可得函数y=sinx+π3-π4=sinx+π12的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)=sinx2+π12,故选B.
12.B 函数f(x)=sinx+π3的最小正周期T=2π1=2π,①正确;易知fπ6=sinπ2=1, fπ2=sinπ2+π3=sin5π6=12<1,②错误;把函数y=sin x的图象上所有点向左平移π3个单位长度,得到的是函数y=sinx+π3的图象,③正确.综上,①③正确,②错误.故选B.
13.C ∵f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,∴φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<π,∴φ=0,∴f(x)=Asin ωx,则g(x)=Asinω2x.由g(x)的最小正周期T=2π,得ω2=2πT=1,∴ω=2.又gπ4=Asinπ4=22A=2,∴A=2,∴f(x)=2sin 2x,
∴f 3π8=2sin3π4=2,故选C.
14.A 将y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin2x-π10+π5=sin 2x,令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π4≤x≤kπ+π4(k∈Z).所以y=sin 2x的单调递增区间为kπ−π4,kπ+π4(k∈Z),当k=1时,y=sin 2x在3π4,5π4上单调递增,故选A.
15.D y=sin2x+2π3=cs2x+2π3-π2=cs2x+π6=cs2x+π12,由y=cs x的图象得到y=cs 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变;由y=cs 2x的图象得到y=cs2x+π12的图象,需将y=cs 2x的图象上的各点向左平移π12个单位长度,故选D.
16.答案 x=-524π
解析 将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=3sin2x-π6+π4=3sin2x-π12.由2x-π12=π2+kπ,k∈Z,得x=kπ2+724π,k∈Z,当k=-1时,对称轴方程为x=-524π,故平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=-524π.
三年模拟练
D 由题意可知函数的周期为2kπ,k∈Z且k≠0,A中结论正确;将x=8π3代入f(x)=csx+π3得f 8π3=-1,为f(x)的最小值,B中结论正确;
f 7π6=cs3π2=0,C中结论正确;函数f(x)=csx+π3的图象可由y=cs x的图象向左平移π3个单位长度得到,故f(x)的图象如图所示,则f(x)在π2,π上先单调递减后单调递增,D中结论错误.故选D.
2.C ∵0≤x≤π,∴-π3≤ωx-π3≤ωπ-π3,又f(x)∈-32,1,∴π2≤ωπ-π3≤4π3,解得56≤ω≤53.故选C.
3.答案 f(x)=12sin2x+π6+54
解析 由函数的最小正周期为π,得2π2ω=π,∴ω=1.∵f(x)的最大值是74,最小值是34,且a>0,
∴a+a2+b=74,-a+a2+b=34,解得a=12,b=1.
故f(x)的解析式为f(x)=12sin2x+π6+54.
4.答案 23
解析 ∵f(x)≤f π4对任意的实数x都成立,∴f π4为f(x)的最大值,∴π4ω-π6=2kπ(k∈Z),∴ω=8k+23(k∈Z),
∵ω>0,∴当k=0时,ω取最小值23.
5.答案 2
解析 由题意得ω×π6+π6=π2+kπ(k∈Z),则ω=6k+2(k∈Z),因为ω∈N*,所以ω的最小值是2.
6.答案 ①②③
解析 易知①②③正确.
把y=cs x的图象向右平移π6个单位长度,就得到f(x)=csx-π6的图象,
故易得f(x)=csx-π6在-π6,π6上是单调递增函数,在π6,5π6上是单调递减函数,故④错误.
7.解析 (1)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递增区间为kπ−π3,kπ+π6(k∈Z).
(2)令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).
当x∈-π6,13π12时,f(x)在区间-π6,π6和2π3,13π12上单调递增,
在区间π6,2π3上单调递减,
且f -π6=-12,f π6=1,f 2π3=-1,f 13π12=32,
函数g(x)=f(x)-k在区间-π6,13π12上有三个零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k在区间-π6,13π12上有三个交点,结合草图(如图)可知-12≤k≤32,
所以函数g(x)在区间-π6,13π12上有三个零点时,实数k的取值范围为-12≤k≤32.
8.解析 (1)f(x)的最小正周期T=2ππ2=4,
对于函数f(x)=2sinπ2x+π4+1,
令2kπ+π2≤π2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),
解得4k+12≤x≤4k+52(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递减区间是4k+12,4k+52(k∈Z).
(2)由2sinπ2x+π4+1=0,
得sinπ2x+π4=-12,
所以π2x+π4=2kπ-π6或π2x+π4=2kπ+π+π6(k∈Z),
即x=4k-56或x=4k+116(k∈Z),
所以x1,x2是集合A=xx=4k-56,k∈Z或集合B=xx=4k+116,k∈Z中的元素.
当x1,x2∈A时,(x1+x2)π2=2kπ-5π6(k∈Z),
则cs (x1+x2)π2=cs2kπ−5π6=cs 5π6=-32;
当x1∈A,x2∈B(或x1∈B,x2∈A)时,(x1+x2)π2=2kπ+π2(k∈Z),
则cs (x1+x2)π2=cs2kπ+π2=cs π2=0;
当x1,x2∈B时,(x1+x2)π2=2kπ-π6(k∈Z),
则cs (x1+x2)π2=cs2kπ−π6=cs π6=32.
所以cs (x1+x2)π2的取值组成的集合是-32,0,32.