苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用精练

这是一份苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用精练，共20页。试卷主要包含了下列函数中,在上单调递增的有，求下列函数的单调区间，故选C等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 利用导数研究函数的图象变化
1.如图所示的是导函数y=f '(x)在[a,b]上的图象,那么函数y=f(x)在[a,b]上的单调递减区间是( )
A.(x1,x3) B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
2.(2020江苏宿迁宿豫中学高二下月考)如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么其导函数y=f '(x)的图象可能是( )
3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
4.已知函数f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f '(x)为其导函数,且y=f '(x)的图象如图所示,则f(x)0的解集为 .
题组二 利用导数研究函数的单调性
5.(2021江苏常州一中、南京二十九中高三上11月联考,)已知函数f(x)=x+cs x,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(lg20.2),则( )
A.b0,得3x2-2x-1x>0,
∵x>0,∴3x2-2x-1>0,
解得x1,
∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞).
易错警示
要注意函数的单调区间是其定义域的子区间,故用导数法求函数的单调区间时,要先确定其定义域.
11.解析 (1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f '(x)=2ax+2-43x(x>0),
由f '(1)=2a+23=0,得a=-13.
(2)由(1)得f(x)=-13x2+2x-43ln x(x>0),
则f '(x)=-23x+2-43x=-2(x-1)(x-2)3x.
令f '(x)=0,得x=1或x=2;
令f '(x)>0,得10),
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴f '(x)有两个不同的零点,
∴Δ=36-12a>0,解得00,此时函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
若a0,即00),
令f '(x)=0,得x=e,当00,
所以结合选项可知选A.
3.答案 (0,1),(4,+∞)
解析 g'(x)=f '(x)ex-f(x)(ex)'(ex)2=f '(x)-f(x)ex,
由题中图象可知,当x∈(0,1)时,f '(x)-f(x)0的解集为-∞,12∪(2,+∞),f '(x)0,x>0或f '(x)-f(x2)=f(-x2),又f(x)在-π2,π2上是减函数,所以x10,
∴F'(x)0且x≠1,
则f '(x)=lnx-1ln2x=1lnx-1ln2x,x>0且x≠1,
设g(x)=1lnx-1ln2x,x>0且x≠1,则g'(x)=2-lnxxln3x,x>0且x≠1,
当x→+∞时,g'(x)2,故D错误.故选AC.
10.答案 1
解析 易得f(x)的定义域为R,因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f '(x)=1+cs x≥0在R上恒成立且不恒为0,
所以f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b⇔4a+b=9,又a>0,b>0,
所以1a+1b=191a+1b(4a+b)=19×5+ba+4ab≥195+2ba·4ab=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a+1b的最小值为1.
11.解析 (1)当a=3时,f(x)=x2+ln x-3x(x>0),
∴f '(x)=2x+1x-3=2x2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x(x>0),
令f '(x)>0,得00,当x>1a时,f '(x)0时,f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴x>0,2a-x>0,a>0,∴00,a>0)恒成立,即a≥x(2-x)在x>0时恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a≥1.
方法技巧
解决不等式恒成立问题时,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式ax+x-2≥0(x>0,a>0)中的a分离出来,即为a≥x(2-x)(x>0).
16.答案 (-∞,0]
解析 函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,即f '(x)=cs x-ax≥0在0,π4上恒成立,即a≤xcs x在0,π4上恒成立.令g(x)=xcs x,
则g'(x)=cs x-xsin x,令h(x)=cs x-xsin x,则h'(x)=-2sin x-xcs x,易得h'(x)0,所以g'(x)>0在0,π4上恒成立,
所以函数g(x)在0,π4上单调递增,
可得g(x)>g(0)=0,
所以a≤0.
方法技巧
利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,此时可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cs x-xsin x=0,不易求解,故令h(x)=cs x-xsin x,再求一次导数,即h'(x)=-2sin x-xcs x,即二次求导.
17.解析 (1)a=12时,f(x)=x(ex-1)-12x2,
则f '(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f '(x)>0;当x∈(-1,0)时,f '(x)0,∴f '(x)=ex+2ax在R上单调递增,
又x1+x22-x1=x2-x12>0,∴f 'x1+x22>f '(x1),即F'(x1)>0.
∴关于x1的函数F(x1)在R上单调递增,
∴F(x1)