2021年北京平谷区联考高中1高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区联考高中1高二上学期期末数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 命题＂存在实数 x，使 x>1 ＂的否定是
A. 对任意实数 x，都有 x>1B. 不存在实数 x，使 x≤1
C. 对任意实数 x，都有 x≤1D. 存在实数 x，使 x≤1

2. 双曲线 x22−y2=1 的焦点坐标为 ( )
A. (−3,0)，(3,0)B. (0,−3)，(0,3)
C. (−3,0)，(3,0)D. (0,−3)，(0,3)

3. 若点 M−1,m 到直线 l：3x+y−6=0 的距离为 10 则 m 的值为
A. 19B. −1
C. −1 或 19D. 9+10 或 9−10

4. 已知定点 A0,1，点 B 在直线 x+y+1=0 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标是
A. −2,2B. −1,1C. 0,−1D. −1,0

5. 已知两条直线 m，n，两个平面 α，β，给出下面四个命题：
① m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
② α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③ m∥n，m∥α⇒n∥α；
④ α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．
其中正确命题的序号是
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③

6. 已知直线 ax+y−2=0 与圆心为 C 的圆 x−12+y−a2=4 相交于 A，B 两点，且 △ABC 为等边三角形，则实数 a=
A. ±33B. ±13C. 1 或 7D. 4±15

7. 已知实数 x，y 满足 x2+y2=4，则函数 S=x2+y2−6x−8y+25 的最大值和最小值分别为
A. 49，9B. 7，3C. 7，3D. 7，3

8. 若经过直线外任意两点作与该直线平行的平面，则下列结论正确的是
A. 只能作一个平面B. 可以作无数个平面
C. 这样的平面不存在D. 以上三种情况都有可能

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 直线 l 的倾斜角范围是 ．

10. a,b 是实数，命题"若 a>b，则 2a>2b−1 "的否命题为 ．

11. 若直线 ax−y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点，则实数 a= ．

12. 一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为 ．

13. 已知球的半径为 2，则它的体积为 ．

14. 已知直线 l:y=kx+1k>0 经过抛物线 C:x2=2py 的焦点 F，且 l 与 C 交于 A，B 两点，l 与 C 的准线交于点 E，若 EF=FB，则 p= ，k= ．

三、解答题（共6小题；共78分）
15. 如图，己知四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E 是侧棱 CC1 的中点．
（1）求证：AC⊥平面BDD1B1；
（2）求证：AC∥平面B1DE．

16. 已知在 △ABC 中，A，B 两点的坐标分别为 −1,2，4,3，AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上．
（1）求点 C 的坐标；
（2）求直线 MN 的方程．

17. 已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A2,1，B0,7，C−4,−1．
（1）求此三角形的三边所在直线的方程．
（2）求此三角形的三条中线所在直线的方程．

18. 如图所示，矩形 AMND 所在平面与直角梯形 MBCN 所在平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB．
（1）求证：平面AMB∥平面DNC；
（2）若 MC⊥BC，求证：BC⊥AC．

19. 如图所示几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和 CD 垂直于平面 ABC，且 AE=AB=2a，CD=a，F 为 BE 的中点．求证：
（1）DF∥面 ABC；
（2）AF⊥BD．

20. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，右焦点 为F3,0．N 为直线 x=4 上任意一点，过点 F 做直线 FN 的垂线 l，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）证明：O，M，N 三点共线；
（3）若 2∣OM∣=∣MN∣，求 l 的方程.
答案
第一部分
1. C
2. C
3. C
4. D
5. C
6. D【解析】圆 x−12+y−a2=4 的圆心 C1,a，半径 R=2，
因为直线与圆相交，△ABC 为等边三角形，
所以圆心到直线的距离为 Rsin60∘=3，
即 d=∣a+a−2∣a2+1=∣2a−2∣a2+1=3，
平方得 a2−8a+1=0，
解得 a=4±15．
7. A
8. D
第二部分
9. 0,π
10. 若 a≤b，则 2a≤2b−1
11. −1
12. 23
【解析】如图所示三棱锥 A−BCD 即为三视图所对应的直观图，
其中 AD=BD=BC=2，AB=CD=22，
AC=AD2+CD2=4+8=23，
故最长的棱为：23．
13. 32π3
14. 2，33
【解析】抛物线 C:x2=2py 的焦点 F 为 0,p2，
直线 l:y=kx+1k>0 恒过点 0,1，
由题意可得 p2=1，即 p=2，
抛物线的方程为 x2=4y，焦点 F0,1，准线方程为 y=−1，
l 与 C 的准线交于点 E，可得 E−2k,−1，
若 EF=FB，可得 F 为 EB 的中点，即有 0=xB−2k，2=−1+yB，
可得 B2k,3，代入 x2=4y，可得 4k2=12，
解得 k=33（负值舍去）．
第三部分
15. （1） 因为 ABCD 是菱形，
所以 AC⊥BD，
因为 BB1⊥底面ABCD，
所以 BB1⊥AC，
所以 AC⊥平面BDD1B1．
（2） 设 AC，BD 交于点 O，取 B1D 的中点 F，连接 OF，EF，则 OF∥BB1，且 OF=12BB1，
又 E 是侧 CC1 的中点，EC=12CC1，BB∥CC1，BB1=CC1，
所以 OF∥CC1，且 OF=12CC1，
所以四边形 OCEF 为平行四边形，OC∥EF，
又 AC⊄平面B1DE，EF⊂平面B1DE，
所以 AC∥平面B1DE．
16. （1） 设 Cx,y，因为 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，所以 x=1，y=−3，所以点 C1,−3．
（2） 由（1）得 C1,−3，所以 M0,−12，N52,0，所以 kBC=15，所以直线 MN 的方程为 2x−10y−5=0．
17. （1） 3x+y−7=0，x−3y+1=0，2x−y+7=0．
（2） x−y+3=0，7x−y+7=0，x+2y−4=0．
18. （1） 因为 MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，
所以 MB∥平面DNC．
因为四边形 AMND 为矩形，
所以 MA∥DN．
因为 MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC，
所以 MA∥平面DNC．
因为 MA∩MB=M，且 MA⊂平面AMB，MB⊂平面AMB，
所以 平面AMB∥平面DNC．
（2） 因为四边形 AMND 为矩形，
所以 AM⊥MN．
因为 平面AMND⊥平面MBCN，且 平面AMND∩平面MBCN=MN，
所以 AM⊥平面MBCN．
因为 BC⊂平面MBCN，
所以 AM⊥BC．
因为 MC⊥BC，MC∩AM=M，
所以 BC⊥平面AMC．
因为 AC⊂平面AMC，
所以 BC⊥AC．
19. （1） 如图，取 AB 中点 G，连接 CG、FG．
∵ F 为 EB 中点，
∴ FG∥AE 且 FG=12AE；
又 CD∥AE 且 CD=12AE；
∴CD∥FG 且 CD=FG．
∴ 四边形 FGCD 为平行四边形．
∴DF∥CG，又 DF⊄面 ABC，CG⊂面 ABC；
∴DF∥面ABC．
（2） ∵ △ABC 为正三角形，G 为 AB 中点；
∴CG⊥AB，
∵AE⊥平面ABC，CG⊂平面 ABC；
∴AE⊥CG；
又 AB∩AE=A，AB、AE⊂平面 ABE；
∴CG⊥平面ABE．
∵AF⊂平面 ABE，
∴CG⊥AF．
又（1）已证 DF∥CG，∴DF⊥AF；
又 AE=AB，F 为 BE 的中点，
∴AF⊥BE；
又 BE∩DF=F，BE、DF⊂平面 BDE，
∴AF⊥平面 BDE．
∵BD⊂平面 BDE，
∴AF⊥BD．
20. （1） 由题意可知 c=3ca=32b2=a2−c2，
解得 a=23，b=3，
所以椭圆 C 的标准方程为：x212+y23=1．
（2） 设 N 点的坐标为 4,m，
则直线 FN 的斜率 kFN=m−04−3=m，
当 m=0 时，显然 O，M，N 三点共线；
当 m≠0 时，直线 l 的斜率 kAB=−1m．
设直线 l 的方程是 y=−1mx−3，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，Mx0,y0，
由 y=−1mx−3x212+y23=1 得 m2+4x2−24x−12m2+36=0，
所以 x1+x2=24m2+4，
所以 x0=x1+x22=12m2+4，y0=−1m12m2+4−3=3mm2+4，
所以直线 OM 的斜率 kOM=m4，直线 ON 的斜率 kON=m4，
所以 O，M，N 三点共线
（3） 因为 2∣OM∣=∣MN∣，所以 ∣OM∣=13∣ON∣，
所以 x0=43，即 12m2+4=43，解得 m=±5，
所以 k=±5，直线 l 的方程为 y=±15x−3，
即 x+5y−3=0，x−5y−3=0．