2021年北京大兴区北京爱莲舞蹈学校高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京大兴区北京爱莲舞蹈学校高二上学期期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知全集 U=R，集合 A=xx≤3，B=xx<2，则 ∁UB∩A=
A. xx≤2B. x1≤x≤3
C. x2
2. 抛物线 y=ax2a≠0 的准线方程是 y−2=0，则 a 的值是
A. 18B. −18C. 8D. −8

3. 已知 △ABC 的顶点 B，C 在椭圆 x23+y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 △ABC 的周长是
A. 23B. 6C. 43D. 12

4. 已知函数 fx=2020x+lnx2+1+x−2020−x+1，则关于 x 的不等式 f2x−1+f2x>2 的解集为
A. −∞,14B. −∞,12C. 14,+∞D. 12,+∞

5. " m=12 "是"直线 m+2x+3my+1=0 与直线 m−2x+m+2y−3=0 相互垂直"的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 非充分非必要条件

6. 在圆 x2+y2−2x−6y=0 内，过点 E0,1 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，
则四边形 ABCD 的面积为 ．
A. 52B. 102C. 152D. 202

7. 设 l，m，n 表示三条不同的直线，α，β，γ 表示三个不同的平面，给出下列四个命题：① 若 l⊥α，m⊥l，m⊥β，则 α⊥β；② 若 m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥n，则 m⊥l；③ 若 α⊥β，α⊥γ，则 α∥β 其中真命题的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

8. 给出下列命题：
①在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，必有 AC=A1C1；
② a=b 是向量 a=b 的必要不充分条件；
③若空间向量 m，n，p 满足 m∥n，n∥p，则 m∥p．
其中正确的命题的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 0

9. 函数 fx=12csωx−32sinωxω>0 在 0,π 内的值域为 −1,12，则 ω 的取值范围为
A. 23,43B. 0,43C. 0,23D. 0,1

10. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 4，点 O 为底面 ABCD 的中心，点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动．若 D1O⊥OP，则 △D1C1P 面积的最大值为
A. 255B. 455C. 45D. 25

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 设复数 z 满足 z1+i=2，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为 ．

12. 已知长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线 BD1 与 AC 所成角的余弦值为 ．

13. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．

14. 已知椭圆 C:x22+y2=1 的两焦点为 F1，F2，点 Px0,y0 满足 0
15. 动点 P 到点 F2,0 的距离与它到定直线的距离 x+2=0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
16. 已知向量 a=sinx,csx，b=csx,−csx，设函数 fx=a⋅a+b．
（1）求 fx 的最小正周期，对称中心，对称轴；
（2）若函数 gx=fx−k，x∈0,π2，其中 k∈R，试讨论函数 gx 的零点个数．

17. △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a=3，csA=63，B=A+π2．
（1）求 b 的值；
（2）求 △ABC 的面积．

18. P 是圆 x2+y2=4 上的动点，P 点在 x 轴上的射影是 D，点 M 满足 DM=12DP．
（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点 N3,0 的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A，B，求以 OA，OB 为邻边的平行四边形 OAEB 的顶点 E 的轨迹方程．

19. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD 是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60∘．
（1）求证：直线BD⊥平面PAC；
（2）求直线 PB 与平面 PAD 所成角的正切值；
（3）已知 M 在线段 PC 上，且 BM=DM=2，CM=3，求二面角 B−MC−D 的余弦值．

20. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的长轴长为 4，且离心率为 12．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）设过点 F1,0 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 D，判断 ∣AB∣∣DF∣ 是否为定值?如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．

21. 已知数列 an，从中选取第 i1 项、第 i2 项、 ⋯ 、第 im 项（i1（1）写出数列 9，2，6，7，3，5，8 的一个长度为 4 的递增子列．
（2）设数列 an，an=n，1≤n≤14．若数列 an 的长度为 p 的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求 p 的最大值．
（3）设数列 an 为等比数列，公比为 q，项数为 NN≥3．判定数列 an 是否存在长度为 3 的递增子列：1，16，81?若存在，求出 N 的最小值；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】由题意知，∁UB=xx≥2，
因为 A=xx≤3，
所以 ∁UB∩A=x2≤x≤3．
2. B【解析】将抛物线方程化为标准形式得 x2=1ay，其准线方程为 y=−14a=2，所以 a=−18．
3. C【解析】由题意可知 △ABC 的周长为 4a=43．
4. C
5. A
【解析】这两条直线互相垂直时 m=12 或 m=−2 ，故为充分不必要条件．
6. B【解析】将圆 x2+y2−2x−6y=0 化成标准方程为 x−12+y−32=10，则圆心坐标为 M1,3，半径长为 10，由圆的几何性质可知：过点 E 的最长弦 AC 即为点 E 所在的直径，则 AC=210．BD 是过点 E 的最短弦，则点 E 为线段 BD 的中点，且 AC⊥BD，E 为 AC 与 BD 的交点，则由垂径定理可得 BD=2BM2−ME2=210−1−02+3−12=25．从而四边形 ABCD 的面积为 12AC⋅BD=12×210×25=102．
7. C【解析】由 l，m,，n 表示三条不同的直线，α，β，γ 表示三个不同的平面知：在 ① 中，若 l⊥α，m⊥l，m⊥β，则平面 α，β 成 90∘ 角，所以 α⊥β，故 ① 正确；在 ② 中，若 m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥l，则由三垂线定理得 m⊥l，故 ② 正确；对于 ③，α⊥β，α⊥γ，则 γ∥β 错误，如墙角的三个面的关系，故 ③ 错误，真命题的个数为 2，故选C．
8. B【解析】①在正方体中 AC∥A1C1 且 AC=A1C1，
所以 AC=A1C1，故①正确；
②若 a=b，则 a 与 b 方向不一定相同，
若 a=b，
则 a=b，
故 a=b 是 a=b 的必要不充分条件，故②正确；
③若 n=0，则 m，p 方向任意，故③不正确．
9. A【解析】函数 fx=12csωx−32sinωx=csωx+π3ω>0，
当 x∈0,π 时，fx∈−1,12，
所以 −1≤csωx+π3≤12，则 π≤ωx+π3≤5π3，解得 23≤ω≤43，
故 ω 的取值范围为 23,43．
10. C
【解析】取 BB1 的中点 F，连接 OF，D1F，CF，C1F，
连接 OC，D1B1，D1C，如图．
因为正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2，
所以 B1F=BF=1，DO=BO=OC=2，D1B1=D1C=22，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥平面A1B1C1D1，C1D1⊥平面BB1C1C，
所以 OD1=OD2+DD12=6，OF=OB2+BF2=3，D1F=D1B12+B1F2=3，
所以 OD12+OF2=D1F2，OD12+OC2=D1C2，
所以 OD1⊥OF，OD1⊥OC，又 OC∩OF=O，
所以 OD1⊥平面OCF，
因为 CF⊂平面OCF，
所以 OD1⊥CF，
所以点 P 的轨迹为线段 CF，
又 C1F=B1C12+B1F2=5>C1C=2，
所以 △D1C1P 面积的最大值 S=12C1F⋅D1C1=12×5×2=5．
故选C．
第二部分
11. −1
【解析】z1+i=2⇒z=21+i=21−i1+i1−i=1−i，所以虚部为 −1．
12. 7250
【解析】建立如图坐标系，
因为在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，AA1=5，
所以 D10,0,5，B3,4,0，A3,0,0，C0,4,0，
所以 BD1=−3,−4,5，AC=−3,4,0，
所以 cs⟨BD1,AC⟩=9−169+16+25⋅9+16=−7250．
所以 AC 与 BD1 所成角的余弦值 7250．
13. 2
【解析】不妨令 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形 OABC 为正方形，∣OA∣=2，
所以 c=∣OB∣=22，∠AOB=π4．
因为直线 OA 是渐近线，方程为 y=bax，
所以 ba=tan∠AOB=1，即 a=b．
又因为 a2+b2=c2=8，
所以 a=2．
14. 2,22
【解析】由点 Px0,y0 满足 015. y2=8x
第三部分
16. （1） 由题意，得
fx=a⋅a+b=sinxsinx+csx=1−cs2x2+12sin2x=22sin2x−π4+12.
所以函数 fx 的最小正周期为 π．
对称中心为：π8+kπ2,12，k∈Z，
对称轴为：x=3π8+kπ2，k∈Z．
（2） 由 x∈0,π2，得 −π4≤2x−π4≤3π4，则 −22≤sin2x−π4≤1，
所以，函数 fx=22sin2x−π4+12，x∈0,π2 的值域为 0,2+12，
由（2），得 fx 在区间 0,3π8 上单调递增，在区间 3π8,π2 上单调递减．
函数 fx=22sin2x−π4+12，x∈0,π2 的图象如图所示，
由 gx=fx−k=0，得方程 fx=k．
所以研究函数 gx 的零点个数，实际上就是研究方程 fx=k 的解的个数．
考察函数 fx，x∈0,π2 和 y=k 的图象和性质，得当 k∈−∞,0∪2+12,+∞ 时，
函数 gx 没有零点；
当 k∈0,1，或 k=2+12 时，函数 gx 有一个零点：
当 k∈1,2+12 时，函数 gx 有两个零点．
17. （1） 在 △ABC 中，由题意知
sinA=1−cs2A=33,sinB=sinA+π2=csA=63.
由正弦定理得 asinA=bsinB，所以
b=a sinBsinA=32.
（2） 由余弦定理得
csA=b2+c2−a22bc=63⇒c2−43c+9=0,
所以
c1=3,c2=33.
又因为 B=A+π2 为钝角，所以 b>c，c=3，所以
S△ABC=12acsinB=322.
18. （1） 设 Mx,y，则 Dx,0．由 DM=12DP 知：Px,2y．
因为点 P 在圆 x2+y2=4 上，所以 x2+4y2=4．
所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x24+y2=1．
轨迹 C 是以 −3,0，3,0 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．
（2） 设 Ex,y，由题意知 l 的斜率存在．
设 l:y=kx−3，代入 x24+y2=1 得：1+4k2x2−24k2x+36k2−4=0，
则 Δ=−24k22−41+4k236k2−4>0，解得：k2<15．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=24k21+4k2，所以
y1+y2=kx1−3+kx2−3=kx1+x2−6k=24k31+4k2−6k=−6k1+4k2.
因为四边形 OAEB 为平行四边形，
所以 OE=OA+OB=x1+x2,y1+y2,=24k21+4k2,−6k1+4k2，
又 OE=x,y，所以 x=24k21+4k2,y=−6k1+4k2, 消去 k 得：x2+4y2−6x=0．
因为 k2<15，所以 x=24k21+4k2=61+4k2−61+4k2=6−61+4k2∈0,83．
所以顶点 E 的轨迹方程为 x2+4y2−6x=0019. （1） 因为底面 ABCD 是菱形，
所以 AC⊥BD，
因为 PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以 PA⊥BD，
又因为 AC∩PA=A，
所以 直线BD⊥平面PAC．
（2） 过 B 作 BE⊥AD 于点 E，连接 PE，
因为 PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以 PA⊥BE，
因为 BE⊥AD，PA∩AD=A，
所以 BE⊥平面PAD，
可得 ∠BPE 为直线 PB 与平面 PAD 所成角，
因为 Rt△BPE 中，BE=3，PE=PA2+AE2=5，
所以 tan∠BPE=BEPE=155，
即 PB 与平面 PAD 所成角的正切值等于 155．
（3） 设 F 为 CM 的中点，连接 BF，DF，
因为 △BMC 中，BM=BC，
所以 BF⊥CM，
同理可得 DF⊥CM，
所以 ∠BFD 就是二面角 B−MC−D 的平面角，
在 △BFD 中，BD=2，BF=DF=72，
所以由余弦定理，得 cs∠BFD=BF2+DF2−BD22BF⋅DF=−17，
由此可得二面角 B−MC−D 的余弦值等于 −17．
20. （1） 依题意得 2a=4,ca=12,a2+b2=c2,
解得 a2=4，b2=3，
故椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） ∣AB∣∣DF∣ 是定值．
由已知得直线 l:y=kx−1，
由 y=kx−1,3x2+4y2−12=0 消去 y 得 4k2+3x2−8k2x+4k2−12=0，
所以 Δ=−8k22−44k2+34k2−12=144k2+144>0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，
所以
∣AB∣2=x2−x12+y2−y12=1+k2x1+x22−4x1x2=1+k28k24k2+32−44k2−124k2+3=121+k24k2+32.
所以 ∣AB∣=121+k24k2+3．
因为 y1+y2=kx1+x2−2=k8k24k2+3−2=−6k4k2+3，
所以线段 AB 的中点为 4k24k2+3,−3k4k2+3．
①当 k=0 时，∣AB∣=4，∣DF∣=1，
所以 ∣AB∣∣DF∣=4．
②当 k≠0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为
y+3k4k2+3=−1kx−4k24k2+3，
令 y=0，得 x=k24k2+3，即 Dk24k2+3,0．
所以 ∣DF∣=1−k24k2+3=3k2+14k2+3，
所以 ∣AB∣∣DF∣=121+k24k2+331+k24k2+3=4．
综上所述，∣AB∣∣DF∣ 为定值 4．
21. （1） 长度为 4 的一个递增子列为：2，6，7，8（或 2，3，5，8）．
（2） 设数列 an 的长度为 p 的递增子列为 ai1，ai2，⋯，aip，i1因为数列 an：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，各项均为正整数．
所以 ai3−ai1≥3（若 ai3−ai1=2，则 ai1，ai2，ai3 成等差数列）．
同理 ai5−ai3≥3，且 ai5−ai3≠ai3−ai1，
所以 ai5−ai1≥7．
同理 ai9−ai5≥7，
又因为 ai9−ai5≠ai5−ai1，
所以 ai9−ai1≥15 与已知条件矛盾．
所以 ip≤8．
构造数列 an 的递增子列：1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列，
所以 p 的最大值为 8．
（3） 由题意，假设数列 an 存在长度为 3 的递增子列：1，16，81，
则存在 1≤i1所以 ai2=ai1qi2−i1，得 qi2−i1=16．
同理 ai3=ai1qi3−i1，得 qi3−i1=81．
所以 i3−i1i2−i1=lg281lg216=lg23*．
下面证明 lg23 为无理数：
假设 lg23=km 为有理数，k,m∈N*，且 k，m 互质，
所以 2k=3m．
因为 2k 是偶数，3m 是奇数，
所以 2k≠3m，与事实矛盾，故假设不成立．
所以 lg23 为无理数．
又因为 i2−i1,i3−i1∈N*，i3−i1i2−i1 为有理数，
所以 * 式不成立．
所以数列 an 不存在长度为 3 的递增子列：1，16，81．