全解与高考物理专题5 磁场

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全解与精炼高考物理专题5 磁场
一、解答题
1. 对铀 235 的进一步研究在核能的开发和利用中具有重要意义。如图所示，质量为 m 、电荷量为 q 的铀 235 离子，从容器 A 下方的小孔 S1，不断飘入加速电场，其初速度可视为零，然后经过小孔 S2 垂直于磁场方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中，做半径为 R 的匀速圆周运动。离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为 I。不考虑离子重力及离子间的相互作用。

(1) 求加速电场的电压 U。
(2) 求出在离子被收集的过程中任意时间 t 内收集到离子的质量 M。
(3) 实际上加速电压的大小会在 U±ΔU 范围内微小变化。若容器 A 中有电荷量相同的铀 235 和铀 238 两种离子，如前述情况它们经电场加速后进入磁场中会发生分离，为使这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠，ΔUU 应小于多少？（结果用百分数表示，保留两位有效数字）。

2. 如图所示，与水平面成 45∘ 角的平面 MN 将空间分成Ⅰ和Ⅱ两个区域。一质量为 m 、电荷量为 q（q>0）的粒子以速度 v0 从平面 MN 上的 P0 点水平向右射入Ⅰ区。粒子在Ⅰ区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为 E；在Ⅱ区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点 P0 的距离。粒子的重力可以忽略。


3. 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为 U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为 O，半径为 r。当不加磁场时，电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心 M 点。为了让电子束射到屏幕边缘 P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度 θ，此时磁场的磁感应强度 B 应为多少？


4. 两平面荧光屏互相垂直放置，如图（a）所示，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 x 轴和 y 轴，交点 O 为原点，如图（b）所示，在 y>0，0a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 B，在 O 点处有一小孔，一束质量为 m，带电量为 q（q>0）的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可以取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在 0mgq 的匀强电场时，小球从 O 点静止释放后获得的最大速率 vm。

10. 如图（a）所示的 xOy 平面处于匀强磁场中，磁场方向与 xOy 平面（纸面）垂直，磁感应强度 B 随时间 t 变化的周期为 T，变化图线如图（b）所示，当 B 为 +B0 时，磁感应强度方向指向纸外。在坐标原点 O 有一带正电的粒子 P，其电荷量与质量之比恰好等于 2πTB0，不计重力。设 P 在某时刻 t0 以某一初速度沿 y 轴正向自 O 点开始运动，将它经过时间 T 到达的点记为 A。

(1) 若 t0=0，直线 OA 与 x 轴的夹角是多少？
(2) 若 t0=T4，直线 OA 与 x 轴的夹角是多少？
(3) 为了使直线 OA 与 x 轴的夹角为 π4，在 00）的粒子 a 于某时刻从 y 轴上的 P 点射入区域Ⅰ，其速度方向沿 x 轴正向。已知 a 在离开区域Ⅰ时，速度方向与 x 轴正向的夹角为 30∘；此时，另一质量和电荷量均与 a 相同的粒子 b 也从 P 点沿 x 轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是 a 的 13。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求：

(1) 粒子 a 射入区域Ⅰ时速度的大小；
(2) 当 a 离开区域Ⅱ时，a，b 两粒子的 y 坐标之差。

22. 扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图所示。Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为 L，磁场方向相反且垂直于纸面。一质量为 m 、电量为 −q 、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器 MN 板处由静止释放，极板间电压为 U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角 θ=30∘。

(1) 当Ⅰ区宽度 L1=L 、磁感应强度大小 B1=B0 时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为 30∘，求 B0 及粒子在Ⅰ区运动的时间 t；
(2) 若Ⅱ区宽度 L2=L1=L 、磁感应强度大小 B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差 ℎ；
(3) 若 L2=L1=L，B1=B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求 B2 应满足的条件；
(4) 若 B1≠B2，L1≠L2，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求 B1，B2，L1，L2 之间应满足的关系式。

23. 利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用。
如图所示的矩形区域 ACDG（AC 边足够长）中存在垂直于纸面的匀强磁场，A 处有一狭缝。离子源产生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于 GA 边且垂直于磁场的方向射入磁场，运动到 GA 边，被相应的收集器收集。整个装置内部为真空。
已知被加速的两种正离子的质量分别是 m1 和 m2（m1>m2），电荷量均为 q。加速电场的电势差为 U，离子进入电场时的初速度可以忽略。不计重力，也不考虑离子间的相互作用。

(1) 求质量为 m1 的离子进入磁场时的速率 v1。
(2) 当磁感应强度的大小为 B 时，求两种离子在 GA 边落点的间距 s。
(3) 在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度。若狭缝过宽，可能使两束离子在 GA 边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离。
设磁感应强度大小可调，GA 边长为定值 L，狭缝宽度为 d，狭缝右边缘在 A 处。离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于 GA 边且垂直于磁场。为保证上述两种离子能落在 GA 边上并被完全分离，求狭缝的最大宽度。

24. 如图（a）所示，在以 O 为圆心，内外半径分别为 R1 和 R2 的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差 U 为常量，R1=R0，R2=3R0，一电荷量为 +q，质量为 m 的粒子从内圆上的 A 点进入该区域，不计重力。

(1) 已知粒子从外圆上以速度 v1 射出，求粒子在 A 点的初速度 v0 的大小。
(2) 若撤去电场，已知粒子从 OA 延长线与外圆的交点 C 以速度 v2 射出，方向与 OA 延长线成 45∘ 角，如图（b）所示，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间。

(3) 在图（b）中，若粒子从 A 点进入磁场，速度大小为 v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？

25. 如图所示，在以坐标原点 O 为圆心、半径为 R 的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为 B，磁场方向垂直于 xOy 平面向里。一带正电的粒子（不计重力）从 O 点沿 y 轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经 t0 时间从 P 点射出。

(1) 求电场强度的大小和方向。
(2) 若仅撤去磁场，带电粒子仍从 O 点以相同的速度射入，经 t02 时间恰从半圆形区域的边界射出。求粒子运动加速度的大小。
(3) 若仅撤去电场，带电粒子仍从 O 点射入，但速度为原来的 4 倍，求粒子在磁场中运动的时间。

26. 如图（a）所示，在 x>0 的空间中存在沿 y 轴负方向的匀强电场和垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场，电场强度大小为 E，磁感应强度大小为 B。一质量为 m 、带电量为 q（q>0）的粒子从坐标原点 O 处，以初速度 v0 沿 x 轴正方向射入，粒子的运动轨迹如图（a）所示，不计粒子的重力。

(1) 求该粒子运动到 y=ℎ 时的速度大小 v。
(2) 现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y−x 曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图（b）所示；同时，这些粒子在 y 轴方向上的运动（y−t 关系）是简谐运动，且都有相同的周期 T=2πmqB。
i 求粒子在一个周期 T 内，沿 x 轴方向前进的距离 S；
ii 当入射粒子的初速度大小为 v0 时，其 y−t 图象如图（c）所示，求该粒子在 y 轴方向上做简谐运动的振幅 Ay，并写出 y−t 的函数表达式。

27. 如图（a）所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为 L 的平行金属极板 MN 和 PQ，两极板中心各有一小孔 S1 和 S2，两极板间电压的变化规律如图（b）所示，正反向电压的大小均为 U0，周期为 T0。在 t=0 时刻将一个质量为 m 、电量为 −q（q>0）的粒子由 S1 静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在 t=T02 时刻通过 S2 垂直于边界进入右侧磁场区（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）。

(1) 求粒子到达 S2 时的速度大小 v 和极板间距 d。
(2) 为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。
(3) 若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在 t=3T0 时刻再次到达 S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小。

28. 测定同位素组成的装置（质谱仪）里，原子质量 m1=39 和 m2=41 的钾的单价离子先在电场里加速，接着进入垂直离子运动方向的均匀磁场中（见如图）。在实验过程中，由于仪器不完善，加速电压在平均值 U0 附近变化 ±U，求需要以多大相对精确度 ΔUU 维持加速电压值，才能使钾同位素束不发生覆盖。

答案
一、解答题
1. 【答案】
(1) qB2R22m
(2) mItq
(3) 0.63%
【解析】
(1) 设离子经电场加速后进入磁场时的速度为 v，由动能定理得 qU=12mv2，
离子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，即 qvB=mv2R，解得 U=qB2R22m。
(2) 设在任意时间 t 内收集到的离子个数为 N，总电荷量为 Q，则 Q=It，N=Qq，M=Nm，解得 M=mItq。
(3) 由 Q 与 R 的关系式求得 R=1B2mUq，
设 mʹ 为铀 238 离子质量，由于电压在 U±ΔU 之间有微小变化，铀 235 离子在磁场中最大半径为 Rmax=1B2m(U+ΔU)q，
铀 238 离子在磁场中最小半径为 Rminʹ=1B2mʹ(U−ΔU)q，
这两种离子在磁场中运动的轨迹不发生交叠的条件为 Rmax