全解与高考物理专题3 机械能

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全解与精炼高考物理专题3 机械能
一、解答题
1. 新疆达坂城百里戈壁滩上，银白色风机迎风而立，非常壮观。达坂城风电厂是我国第一个大型风电厂，也是亚洲最大的风力发电站。已知某地风速大约为 v=25 m/s，空气密度 ρ=1.29 kg/m3，如果把通过横截面 S=4 m2 的风的动能全部用来发电，风力发电机的效率为 η=80%。请利用上述数据估计此风力发电机的输出功率。

2. 总质量为 80 kg 的跳伞运动员从离地 500 m 的直升机上跳下，经过 2 s 拉开绳索开启降落伞，如图是跳伞过程中的 v−t 图，试根据图象求：（g 取 10 m/s2）

(1) t=1 s 时运动员的加速度和所受阻力的大小。
(2) 估算 14 s 内运动员下落的高度及克服阻立做的功。
(3) 估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。

3. 如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高 H，上端套着一个细环。棒和环的质量均为 m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力 kmgk>1。断开轻绳，棒和环自由下落。假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失。棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计，求：

(1) 棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度。
(2) 从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程 s。
(3) 从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功 W。

4. 某缓冲装置的理想模型如图所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为 f。轻杆向右移动不超过 l 时，装置可安全工作。一质量为 m 的小车若以速度 v0 撞击弹簧，将导致轻杆向右移动 l4。轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。

(1) 若弹簧的劲度系数为 k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量 x；
(2) 求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度 vm；
(3) 讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度 vʹ 和撞击速度 v 的关系。

5. 一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状，此队员从山沟的竖直一侧，以速度 v0 沿水平方向跳向另一侧坡面，如图所示，以沟底的 O 点为原点建立坐标系 xOy，已知，山沟竖直一侧的高度为 2ℎ，坡面的抛物线方程为 y=12ℎx2，探险队员的质量为 m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为 g。

(1) 求此人落到坡面时的动能；
(2) 此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

6. 某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中‘‘ 2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以 va=5 m/s 的水平初速度由 a 点弹出，从 b 点进入轨道，依次经过‘‘ 8002”，后从 P 点水平抛出。小物体与地面 ab 段间的动摩擦因数 μ=0.3，不计其他机械能损失。已知 ab 段长 L=1.5 m，数字“0”的半径 R=0.2 m，小物体质量 m=0.01 kg，g=10 m/s2 .求：

(1) 小物体从 P 点抛出后的水平射程；
(2) 小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向

7. 如图 1 为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块 A，上端固定在 C 点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连。已知有一质量为 m0 的子弹 B 沿水平方向以 v0 速度射入 A 内（未穿透），接着两者一起绕 C 点在竖直面内做圆周运动。在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力 F 随时间 t 的变化关系如图 2 所示。已知子弹射入的时间极短，且图 2 中 t=0 为 A，B 开始以相同速度运动的时刻，根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如 A 的质量）及 A，B 一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？


8. 一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示。现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力 F，使活塞缓慢向上移动。已知管筒半径 r=0.100 m，井的半径 R=2r，水的密度 ρ=1.00×103 kg/m3，大气压 p0=1.00×105 Pa。求活塞上升 H=9.00 m 的过程中拉力 F 所做的功（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长。不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度 g 取 10 m/s2）。


9. 一传送带装置示意如图所示，其中传送带经过 AB 区域时是水平的，经过 BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过 CD 区域时是倾斜的，AB 和 CD 都与 BC 相切。现将大量的质量均为 m 的小货箱一个一个在 A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到 D 处，D 和 A 的高度差为 ℎ。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为 L。每个箱子在 A 处投放后，在到达 B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经 BC 段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间 T 内，共运送小货箱的数目为 N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率 P。


10. 如图所示，质量为 m 的由绝缘材料制成的球与质量为 M=19m 的金属球并排悬挂．现将绝缘球拉至与竖直方向成 θ=60∘ 的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场．已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处．求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于 45∘．


11. 德国天文学家追踪围绕银河系中心运行的 28 颗恒星的运动情况，发现银河系中心存在一个黑洞，黑洞的引力非常大，任何东西一旦进入它的作用范围就无法逃脱，其中也包括光。他们对银河系中心附近的星体进行观测发现，距离银河系中心约 60 亿千米的星体，正以 2000 km/s 的速度围绕银河系中心旋转。根据上面的数据，试计算：如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径为多少？（取离星球无穷远处势能为零，质量为 m 的物体在该星球上的万有引力势能为 Ep=GMmr，M 为星球质量，r 为物体离星球中心的距离。）

12. 为了确保楼上用户保持一定水压，楼顶往往安装水箱贮水。如图所示，圆柱形水箱髙 5 m，容积 50 m3，水箱底部接水管 A，顶部接水管 B，开始时箱中无水，现用两种方式向水箱注水，注水管开始时均与箱底等高。若仅用 A 管对水箱缓慢注水，B 管口打开；若用 B 管口对水箱注水，A 管口关闭。试分析用这两种方法注水，外界各需做多少功？（g=10 m/s2，水的密度 ρ=1×103 kg/m3 )


13. 如图所示，一个长方体木块漂浮在水面上，用外力将木块匀速按至水面之下（木块上表面与水面始终平行），求外力所做的功（已知水的密度为 ρ，木块密度为 ρʹ，木块横截面积 S，木块漂浮时上、下表面离水面的高度分别为 ℎ1，ℎ2）。


14. 某餐馆为招徕顾客想做一块 1 m3 的特大豆腐，结果因豆腐太软而告失败，其实即使是坚硬的岩石处在太高山体的底部也会坍塌，这是因为山峰高度到一定程度后，岩石基部压强过大，会发生熔化而开始流动。
(1) 若每摩尔岩石熔化时要吸收热量为 λ。岩石的摩尔质量为 M，山体可看作均匀的圆柱体，当山高达到极限高度 H 时继续增高一点就熔化掉一点，即不能再增高了，试从能量的角度写出山的极限高度的表达式。
(2) 设岩石的主要成分为 SiO2，SiO2 的熔解热 λ=8540 J/mol，估算山的最大高度 H 值（取 g=10 m/s2，保留两位有效数字）。

15. 如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为 R。一质量为 m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过 5mg（g 为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度 ℎ 的取值范围。


16. 风能将成为 21 世纪大规模开发的一种可再生清洁能源。风力发电机是将风能（气流的动能）转化为电能的装置。其主要部件包括风轮机、齿轮箱、发电机等，如图所示。

(1) 利用总电阻 R=10 Ω 的线路向外输送风力发电机产生的电能，输送功率 P0=300 kW，输电电压 U=10 kV，求导线上损失的功率与输送功率的比值。
(2) 风轮机叶片旋转所扫过的面积为风力发电机可接受风能的面积。设空气密度为 ρ，气流速度为 v，风轮机叶片长度为 r。求单位时间内流向风轮机的最大风能 Pm。
(3) 已知风力发电机的输出电功率 P 与 Pm 成正比。某风力发电机在风速 v1=9 m/s 时能够输出电功率 P1=540 kW。我国某地区风速不低于 v2=6 m/s 的时间每年约为 5000 h，试估算这台风力发电机在该地区的最小年发电量是多少 kW⋅ℎ。

17. 质量为 m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为 x0，如图所示。一物块从钢板正上方距离为 3x0 的 A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为 m 时，它们恰能回到 O 点。若物块质量为 2m，仍从 A 处自由落下，则物块与钢板回到 O 点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离。


18. 如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为 P，小船的质量为 m，小船受到的阻力大小恒为 f，经过 A 点时的速度大小为 v0，小船从 A 点沿直线加速运动到 B 点经历时间为 t1，A 、 B 两点间距离为 d，缆绳质量忽略不计。求：

(1) 小船从 A 点运动到 B 点的全过程克服阻力做的功 Wf。
(2) 小船经过 B 点时的速度大小 v1。
(3) 小船经过 B 点时的加速度大小 a。

19. 如图所示，四分之一圆轨道 OA 与水平轨道 AB 相切，它们与另一水平轨道 CD 在同一竖直面内，圆轨道 OA 的半径 R=0.45 m，水平轨道 AB 长 s1=3 m，OA 与 AB 均光滑。一滑块从 O 点由静止释放，当滑块经过 A 点时，静止在 CD 上的小车在 F=1.6 N 的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去力 F。当小车在 CD 上运动了 s2=3.28 m 时速度 v=2.4 m/s，此时滑块恰好落入小车中。已知小车质量 M=0.2 kg，与 CD 间的动摩擦因数 μ=0.4。（取 g=10 m/s2）求：

(1) 恒力 F 的作用时间 t；
(2) AB 与 CD 的高度差 ℎ。

20. 在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为 H 的平台上 A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为 μ 的滑道向下运动到 B 点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为 L，B 点的高度 ℎ 可由运动员自由调节（取 g=10 m/s2）。求：

(1) 运动员到达 B 点的速度与高度 ℎ 的关系；
(2) 运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度 ℎ 应调为多大？对应的最大水平距离 smax 为多少？
(3) 若图中 H=4 m，L=5 m，动摩擦因数 μ=0.2，则水平运动距离要达到 7 m，ℎ 值应为多少？

21. 如图所示为一种摆式摩擦因数测量仪，可测量轮胎与地面间动摩擦因数，其主要部件有：底部固定有轮胎橡胶片的摆锤和连接摆锤的轻质细杆，摆锤的质量为 m，细杆可绕轴 O 在竖直平面内自由转动，摆锤重心到 O 点距离为 L。测量时，测量仪固定于水平地面，将摆锤从与 O 等高的位置处静止释放。摆锤到最低点附近时，橡胶片紧压地面擦过一小段距离 s（s≪L），之后继续摆至与竖直方向成 θ 角的最高位置。若摆锤对地面的压力可视为大小为 F 的恒力，重力加速度为 g，求：

(1) 摆锤在上述过程中损失的机械能。
(2) 在上述过程中摩擦力对摆锤所做的功。
(3) 橡胶片与地面之间的动摩擦因数。

22. 如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中 AB 是长为 R 的水平直轨道，BCD 是圆心为 O 、半径为 R 的 34 圆弧轨道，两轨道相切于 B 点。在外力作用下，一小球从 A 点由静止开始做匀加速直线运动，到达 B 点是撤除外力。已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点 C，重力加速度大小为 g。求：

(1) 小球在 AB 段运动的加速度的大小；
(2) 小球从 D 点运动到 A 点所用的时间。

23. 如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部 AB 是一长为 2R 的竖直细管，上半部 BC 是半径为 R 的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB 管内有一原长为 R 、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹簧长度压缩到 0.5R 后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能。已知重力加速度为 g。求：

(1) 质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时的速度大小 v1；
(2) 弹簧压缩到 0.5R 时的弹性势能 Ep；
(3) 已知地面与水面相距 1.5R，若使该投饵管绕 AB 管的中轴线 OOʹ 在 90∘ 角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在 23m 到 m 之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积 S 是多少。

24. 在游乐节目中，选手需借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量 m=60 kg 的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角 α=53∘，绳的悬挂点 O 距水面的高度 H=3 m。不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，且水足够深。取重力加速度 g=10 m/s2 , sin53∘=0.8 , cos53∘=0.6。

(1) 求选手摆到最低点时对绳拉力的大小 F。
(2) 若绳长 l=2 m，选手摆到最高点时松手落入水中。设水对选手的平均浮力 f1=800 N，平均阻力 f2=700 N，求选手落入水中的深度 d。
(3) 若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳却认为绳越短，落点距岸边越远。请通过推算说明你的观点。

25. 如图所示，质量均为 m 的 A，B 两个弹性小球，用长为 2l 的不可伸长的轻绳连接。现把 A，B 两球置于距地面高 H 处（H 足够大），间距为 l，当 A 球自由下落的同时，B 球以速度 v0 指向 A 球水平抛出。求：

(1) 两球从开始运动到相碰，A 球下落的高度。
(2) A，B 两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量。
(3) 轻绳拉直过程中，B 球受到绳子拉力的冲量大小。

26. 用细线和弹簧将 A，B 两物体如图连接在光滑水平桌面上，弹簧的另一端固定，已知 A，B 两物体的质量分别为 2m 和 m，细线长为 L。缓慢地向右拉 B，在将弹簧从原长拉到图（a）所示位置的过程中，拉力做的功为 W。现撤去拉力，在此后的运动中，A 第一次向右运动到速度最大时和 B 碰撞。

(1) A 第一次运动到最左边速度为 0 时，如图（b）所示，A，B 没碰撞时弹簧的弹性势能为多少；
(2) A 和 B 碰撞后一起做简谐运动，求在简谐运动中弹性势能最大值为多少。
答案
一、解答题
1. 【答案】 3.2×104 W
【解析】设空气在 Δt 秒内通过截面积 S 的风的质量为 Δm，则 Δm=ρV=ρSvΔt，在 Δt 秒内通过截面 S 的风的动能 Ek=12(Δm)v2=12ρSv3Δt，该风力发电机的输出功率 P=ηEkΔt=12ρSv3η=3.2×104 W。

2. 【答案】
(1) 8 m/s2；160 N
(2) 158 m；1.25×105 J
(3) 71 s
【解析】
(1) 从图中可以看出，在 t=2 s 内运动员做匀加速运动，其加速度大小为 a=vtt=162 m/s2=8 m/s2，
设此过程中运动员受到的阻力大小为 f，根据牛顿第二定律，有 mg−f=ma，得 f=m(g−a)=80×(10−8)N=160 N。
(2) v−t 图象包围的“面积”表示位移，从图中估算得出运动员在 14 s 内下落了 39.5×2×2 m=158 m。
根据动能定理，有 mgℎ−Wf=12mv2，
所以有 Wf=mgℎ−12mv2=80×10×158−12×80×62J≈1.25×105 J。
(3) 14 s 后运动员做匀速运动的时间为 tʹ=H−ℎvt=500−1586 s=57 s，
运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间 t总=t+tʹ=(14+57)s=71 s。

3. 【答案】
(1) a1=k−1g
(2) s=k+3k+1H
(3) W=−2kmgHk−1
【解析】
(1) 设棒第一次上升过程中，环的加速度为 a1，则 kmg−mg=ma1，故 a1=k−1g，方向竖直向上
(2) 设以地面为零势能面，向上为正方向，棒第一次落地的速度大小为 v1
由机械能守恒 12×2mv12=2mgH，解得 v1=2gH
设棒弹起后的加速度为 a2，由牛顿第二定律得 a2=−k+1g
棒第一次弹起的最大高度 H1=−v122a2，解得 H1=Hk+1
棒运动的路程 s=H+2H1=k+3k+1H
(3) 解法一：棒第一次弹起经过 t1 时间，与环达到相同速度 vʹ1，环的速度 vʹ1=−v1+a1t1，棒的速度 vʹ1=v1+a2t1，环的位移 ℎ环1=−v1t1+12a1t12，棒的位移 ℎ棒1=v1t1+12a2t12
又 x1=ℎ环1−ℎ棒1
因此 x1=−2Hk
棒环一起下落至地 v22−v1ʹ2=2gℎ棒1，解得 v2=2gHk
同理，环第二次相对棒的位移 x2=ℎ环2−ℎ棒2=−2Hk2，⋯，xn=−2Hkn
环相对棒的总位移 x=x1+x2+⋯+xn+⋯，W=kmgx
因此 W=−2kmgHk−1
解法二：设环相对棒滑动距离为 l，根据能量守恒 mgH+mgH+l=kmgl
摩擦力对棒及环做的总功 W=−kmgl，解得 W=−2kmgHk−1

4. 【答案】
(1) fk
(2) v02+3fl2m
(3) 当 v0.5860.813=0.531