2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与双曲线的位置关系

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：直线与双曲线的位置关系，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 已知双曲线 x2−y2=4，若过点 P 作直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点，则点 P 的坐标可能是
A. 1,1B. 1,2C. 2,1D. 2,2

2. 直线 y=bax+3 与双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的交点个数是
A. 1B. 2C. 1 或 2D. 0

3. 已知双曲线 E 的中心为坐标原点，F3,0 是双曲线 E 的焦点，过点 F 的直线 l 与双曲线 E 交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N−12,−15，则双曲线 E 的方程为
A. x23−y26=1B. x24−y25=1C. x26−y23=1D. x25−y24=1

4. 过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点 F 作一条直线，当直线斜率为 1 时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为
A. 1,2B. 1,10C. 2,10D. 5,10

5. 直线 l 过点 2,0 与双曲线 x2−y2=2 仅有一个公共点，则这样的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

6. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且斜率为 247 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若 F2F1+F2A⋅F1A=0，则此双曲线的标准方程可能为
A. x24−y23=1B. x23−y24=1C. x216−y29=1D. x29−y216=1

7. 若直线 l 与双曲线 x24−y2=1 相切于点 P，l 与双曲线的两条渐近线分别交于 M，N 两点，则 OM⋅ON 的值为
A. 3B. 4
C. 5D. 与点 P 的位置有关

8. 若不论 k 为何值，直线 y=kx−2+b 与曲线 x2−y2=1 总有公共点，则 b 的取值范围是
A. −3,3B. −3,3C. −2,2D. −2,2

9. 设连接双曲线 x2a2−y2b2=1 与 y2b2−x2a2=1 的四个顶点为四边形面积为 S1，连接其四个焦点的四边形面积为 S2，则 S1S2 的最大值为
A. 2B. 12C. 1D. 4

10. 过点 1,0 与双曲线 x24−y2=1 仅有一个公共点的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

11. 直线 y=kx+m 与双曲线 x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的交点个数最多为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

12. 过点 P1,1 作直线与双曲线 x−y2=1 交于 A，B 两点，使点 P 为 AB 的中点，则这样的直线
A. 存在一条，且方程为 2x−y−1=0
B. 存在无数条
C. 存在两条，且方程为 2x±y+1=0
D. 不存在

13. 直线 l 过点 3,0 且与双曲线 x23−y2=1 仅有一个公共点，这样的直线有 条．
A. 1B. 2C. 3D. 不确定

14. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，∣AB∣ 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
A. 2B. 3C. 2D. 3

15. 直线 l 与双曲线 x22−y2=1 的同一支相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点在直线 y=2x 上，则直线 AB 的斜率为
A. 4B. 2C. 12D. 14

16. 已知双曲线方程为 x2−y2=4，过点 A3,1 作直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点，若点 A 恰好为 MN 中点，则直线 l 的方程为
A. y=3x−8B. y=−3x+8C. y=3x−10D. y=−3x+10

17. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若 AF=3FB，则该双曲线的离心率为
A. 52B. 62C. 233D. 3

18. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1（a>b>0）的离心率为 2，过右焦点 F 的直线 l 交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，且 FA+2FB=0，则直线 l 的斜率 k（k>0）的值等于
A. 33B. 23C. 3D. 33

19. 已知曲线 C1:y−x=2 与曲线 C2:λx2+y2=4 恰好有两个不同的公共点，则实数 λ 的取值范围是
A. −∞,−1∪0,1B. −1,1
C. −1,1D. −1,0∪1,+∞

20. 设双曲线 x2a2−y2b2=1a＞0,b＞0 的右焦点为 F，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 OP=λOA+μOB（λ,μ∈R），λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为
A. 233B. 355C. 322D. 98

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知双曲线 x212−y24=1 的右焦点为 F．若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则直线斜率的取值范围是 ．

22. 已知双曲线 C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0，P 为 x 轴上一动点，经过点 P 的直线 y=2x+mm≠0 与双曲线 C 有且只有一个交点，则双曲线 C 的离心率为 ．

23. 设 F1，F2 分别是双曲线 x2−y29=1 的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 PF1⋅PF2=0，则 PF1+PF2= ．

24. 设双曲线 x2−y22=1 上两点 A，B，AB 中点 M1,2，直线 AB 方程为 ．

25. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左右顶点分别是 A，B，右焦点 F，过 F 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 M，N 两点，P 为直线 l 上的点，当 △APB 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好落在 M（或 N）处，则双曲线的离心率是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知双曲线的方程为 2x2−y2=2．
（1）求以 A2,1 为中点的双曲线的弦所在直线的方程．
（2）过点 B1,1 能否作直线 l，使直线 l 与所给双曲线交于 Q1，Q2 两点，且点 B 是弦 Q1Q2 的中点?如果直线 l 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

27. 双曲线 Γ:x216−y29=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 经过 F2 且与 Γ 的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．
（1）设 P 为 Γ 右支上的任意一点，求 ∣PF1∣ 的最小值；
（2）设 O 为坐标原点，求 O 到 l 的距离，并求 l 与 Γ 的交点坐标．

28. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 3．
（1）求双曲线 C 的渐近线方程；
（2）当 a=1 时，已知直线 x−y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上，求实数 m 的值．

29. 已知双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 y=±2x，过点 P62,1．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）是否存在被点 B1,1 平分的弦?如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

30. 经过点 M2,1 是否存在直线 l 与双曲线 x2−y22=1 交于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．

31. 若双曲线 E:x2a2−y2=1a>0 的离心率等于 2，直线 y=kx−1 与双曲线 E 的右支交于 A，B 两点．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 ∣AB∣=63，点 C 是双曲线上一点，且 OC=mOA+OB，求 k，m 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】kDP⋅kAB=b2a2=1，
因为 AB 不与渐近线平行且与双曲线交于两点，
所以 kDP≠±1，−12. A【解析】因为直线 y=bax+3 与双曲线的渐近线 y=bax 平行，所以它与双曲线只有 1 个交点．
3. B【解析】设双曲线 E 的标准方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
由题意知 c=3，a2+b2=9．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1,
两式作差得 y1−y2x1−x2=b2x1+x2a2y1+y2=−12b2−15a2=4b25a2．
又因为直线 AB 的斜率是 −15−0−12−3=1，
所以 4b2=5a2，
代入 a2+b2=9 得 a2=4，b2=5，
所以双曲线 E 的标准方程是 x24−y25=1．
4. C【解析】双曲线右焦点坐标为 a2+b2,0，
设过右焦点的直线为 y=kx−ka2+b2，
与双曲线方程联立消去 y 可得到 b2−a2k2x2+2a2k2a2+b2x−a2a2k2+b2k2+b2=0．
由题意可知，当 k=1 时，此方程有两个异号实根，
所以 a2a2+2b2b2−a2>0，得 01；
当 k=3 时，此方程有两个不相等的正实根，
所以 a29a2+10b2b2−9a2<0，得 0又 e=a2+b2a2=1+ba2，
所以双曲线离心率的取值范围为 2,10．
故选C．
5. C
【解析】根据双曲线方程可知，点 2,0 即为双曲线的右顶点，
过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，
另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．
故过点 2,0 且与双曲线仅有一个公共点的直线有 3 条．
6. D【解析】由 F2F1+F2A⋅F1A=0，可知 F1F2=F2A=2c，
又 AF2 的斜率为 247，所以易得 cs∠AF2F1=−725，
在 △AF1F2 中，由余弦定理得 AF1=165c，
由双曲线的定义得 165c−2c=2a，
所以 e=ca=53，则 a:b=3:4，
所以此双曲线的标准方程可能为 x29−y216=1．
7. A【解析】设点 Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中 x02−4y02=4，则直线 l 的方程是 x0x4−y0y=1，双曲线的渐近线方程为 y=±12x．
①当 y0=0 时，直线 l 的方程是 x=2 或 x=−2．
由 x=2,x24−y2=0, 得 x=2,y=1 或 x=2,y=−1,
OM⋅ON=2,−1⋅2,1=3．
②当 y0≠0 时，直线 l 的方程为 y=14y0x0x−4，
由 y=14y0x0x−4,y=x2, 可得 x1=4x0−2y0,y1=2x0−2y0.
同理可得 x2=4x0+2y0,y2=−2x0+2y0.
又 x02−4y02=4，
OM⋅ON=x1x2+y1y2=12x02−4y02=3，
综上，OM⋅ON=3．
8. B【解析】由题意得直线恒过定点 P2,b，所以点 P 要在双曲线的内部或双曲线上，就能保证对于任意的 k，直线与双曲线均有交点，所以 4−b2≥1，得 b2≤3，即 −3≤b≤3．
9. B
10. D
11. B【解析】y=kx+m,x2a2−y2b2=1⇒b2x2−a2kx+m2=a2b2⇒b2−a2k2x2−2a2kmx−a2m2−a2b2=0，
b2−a2k2=0 时：方程有一个解或者无解．
b2−a2k2≠0 时：二次方程最多有两个解，即交点最多两个．
故答案选B．
12. D
13. C【解析】因为 3,0 为双曲线 x23−y2=1 的右顶点，
所以过点 3,0 且与双曲线 x23−y2=1 有且只有一个公共点的直线有三条：
（1）过点 3,0 斜率不存在时，即垂直于 x 轴的直线满足条件；
（2）斜率存在时，过点 3,0 平行于渐进线 y=33x 或 y=−33x 的直线也满足条件．
14. D
15. D
【解析】设点 Ax1,y1，Bx2,y2，则由点在双曲线上，
满足双曲线方程：x122−y12=1，x222−y22=1，
两式相减得：x1−x2x1+x22=y1−y2y1+y2，
由线段 AB 的中点在直线 y=2x 上可得：y1+y22=2×x1+x22，
故 k=y1−y2x1−x2=x1+x22y1+y2=14．
16. A【解析】由双曲线方程为 x2−y2=4 可知双曲线为等轴双曲线，焦点在 x 轴上，过点 A3,1 作直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点，Mx1,y1，Nx2,y2，
所以 x12−y12=4,x22−y22=4, 两式相减可得：x1−x2x1+x2−y1+y2y1−y2=0．
A 为 MN 的中点，
所以 x1+x2=2×3=6，y1+y2=2×1=2．
所以 6x1−x2−2y1−y2=0，则 y1−y2x1−x2=62=3．
所以直线 MN 的斜率为 k=y1−y2x1−x2=3．
由直线的点斜式方程可知：y−1=3x−3，整理得：y=3x−8．
17. A【解析】由题意得直线 l 的方程为 x=bay+c，
不妨取 a=1，则 x=by+c，且 b2=c2−1．
将 x=by+c 代入 x2−y2b2=1，
得 b4−1y2+2b3cy+b4=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
则 y1+y2=−2b3cb4−1，y1y2=b4b4−1．
由 AF=3FB，得 y1=−3y2，
所以 −2y2=−2b3cb4−1,−3y22=b4b4−1,
得 3b2c2=1−b4，解得 b2=14，
所以 c=b2+1=54=52，
故该双曲线的离心率为 e=ca=52，故选A．
18. A【解析】因为 e=2，
所以 ba=e2−1=3
所以双曲线的两条渐近线方程为 y=±3x，
设直线 l 的方程为 x=1ky+c，
由 x=1ky+cy=3x，可得 yA=3ckk−3，同理可得 yB=−3ckk+3，
因为 FA+2FB=0，
所以 yA+2yB=0，
所以 3ckk−3+2×−3ckk+3=0，
解得 k=33．
19. C【解析】（1）当 λ=1，曲线 C2 是圆，C1 与 C2 有 3 个交点，不合．
（2）当 λ=0 时，曲线 C2 是 2 条平行 x 轴的直线，此时 C1 与 C2 有 2 个交点，符合．
（3）当 0<λ<1 时，曲线 C2 是焦点在 x 轴上椭圆，此时 C1 与 C2 有 2 个交点，符合．
（4）当 λ>1 时，曲线 C2 是焦点在 y 轴上椭圆，此时 C1 与 C2 有 4 个交点，不合．
（5）当 λ<0 时，曲线 C2 是双曲线，此时要使渐近线斜率 k=±−λ<1，所以 0>λ>−1．
（6）当 λ=−1 时，曲线 C2 是等轴双曲线，渐近线斜率 k=±1，正好两交点，符合．
所以综上所述，λ∈−1,1．
20. A
【解析】双曲线的渐近线为：y=±bax，设焦点 Fc,0，则
Ac,bca，Bc,−bca，Pc,b2a，
因为 OP=λOA+μOB，
所以 c,b2a=λ+μc,λ−μbca，
所以 λ+μ=1，λ−μ=bc，
解得：λ=c+b2c，μ=c−b2c，
又由 λμ=316，得：c2−b24c2=316，
解得：a2c2=34，
所以，e=ca=233．
第二部分
21. −33,33
【解析】①当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线的斜率为 ±33．
②当直线与双曲线有 A，B 两个交点，且分布在两支上时，设 Ax1,y1，Bx2,y2．
由 x212−y24=1，得 b2=4，a2=12，
所以 c=4．
设直线的方程为 y=kx−4．
由 y=kx−4,x2−3y2=12,
得 1−3k2x2+24k2x−48k2−12=0，
所以 x1x2=−48k2−121−3k2<0，
所以 1−3k2>0，
所以 −33此时满足 Δ>0．
综上，直线斜率的取值范围是 −33,33．
22. 52
【解析】由题可得双曲线的一条渐近线与直线 y=2x+m 平行，即 ab=2，
故双曲线的离心率 e=ca=1+ba2=52．
23. 210
24. x−y+1=0
25. 2
【解析】如图所示，将 x=c 代入双曲线的方程得 c2a2−y2b2=1．
得 y=±b2a，所以点 Mc,b2a，设点 P 的坐标为 c,tt>0．
由 △APB 的外接圆面积取最小值时，则 ∠APB 取到最大值，
则 tan∠APB 取到最大值，tan∠APF=a+ct，tan∠BPF=c−at，
tan∠APB=tan∠APF−∠BPF=tan∠APF−tan∠BPF1+tan∠APF⋅tan∠BPF=c+at−c−at1+c+at⋅c−at=2at1+b2t2=2at+b2t≤2a2t⋅b2t=ab,
当且仅当 t=b2tt>0，即当 t=b 时，等号成立．
所以，当 t=b 时，∠APB 最大，此时 △APB 的外接圆面积取最小值．
由题意可得 b=b2a，则 ba=1．
此时，双曲线的离心率为 e=ba2+1=2．
第三部分
26. （1） 设以 A2,1 为中点的弦的两端点为 P1x1,y1，P2x2,y2，
则有 x1+x2=4，y1+y2=2．
根据双曲线的对称性知 x1≠x2．
由点 P1，P2 在双曲线上，得 2x12−y12=2，2x22−y22=2．
两式相减得 2x1+x2x1−x2−y1+y2y1−y2=0，
所以 2×4x1−x2−2y1−y2=0，
所以 y1−y2x1−x2=4，
即以 A2,1 为中点的弦所在直线的斜率 k=4，
故所求中点弦所在直线的方程为 y−1=4x−2，
即 4x−y−7=0．
（2） 假定直线 l 存在，采用（1）的方法求出直线 l 的方程为 y−1=2x−1，
即 2x−y−1=0．
由 2x2−y2=2,2x−y−1=0,
消去 y 得 2x2−4x+3=0，
Δ=−42−4×2×3=−8<0，无实根，
因此直线 l 与双曲线无交点，
故满足条件的直线 l 不存在．
27. （1） 根据题设条件，可得 F1−5,0，设 Px0,y0，其中 x0≥4，且 y02=916x02−9，
∣PF1∣=x0+52+y02=54x0+4，x0≥4，
所以当 x0=4 时，∣PF1∣min=9．
（2） F25,0，Γ 的两条渐近线方程为 y=±34x，
根据题设条件，可得 l:3x+4y−15=0．
O 到 l 的距离 d=∣3×0+4×0−15∣32+42=3．
将 l 与 Γ 的方程联立，得 3x+4y−15=0,9x2−16y2=144,
消去 y 得，10x=41，
解得 x=4.1，
代入得 y=0.675，
所以 l 与 Γ 的交点坐标为 4.1,0.675．
28. （1） 由题意得 e=ca=3，
所以 c2=3a2，
所以 b2=c2−a2=2a2，即 b2a2=2，
所以双曲线 C 的渐近线方程为 y=±bax=±2x．
（2） 由（1）得当 a=1 时，b2=2，双曲线 C 的方程为 x2−y22=1．
设 A，B 两点的坐标分别为 x1,y1，x2,y2，线段 AB 的中点为 Mx0,y0，
由 x2−y22=1,x−y+m=0 消去 y 得 x2−2mx−m2−2=0（判别式 Δ>0），
所以 x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m，
因为点 Mx0,y0 在圆 x2+y2=5 上，
所以 m2+2m2=5，
所以 m=±1．
29. （1） 由双曲线 C 的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 y=±2x，
可设双曲线方程为 x2−y22=λλ≠0，
将点 P62,1 的坐标代入，可得 λ=1，
所以双曲线 C 的标准方程为 x2−y22=1．
（2） 假设存在被点 B1,1 平分的弦，记弦所在的直线为 l．
设 B1,1 是弦 MN 的中点，设 Mx1,y1，Nx2,y2，
则 x1+x2=2，y1+y2=2．
因为点 M，N 在双曲线 C 上，
所以它们的坐标满足双曲线方程，即 x12−y122=1,x22−y222=1.
两式相减得 2x1+x2x1−x2−y1−y2y1+y2=0，
所以 4x1−x2=2y1−y2，
所以 kMN=y1−y2x1−x2=2，
所以直线 l 的方程为 y−1=2x−1，即 2x−y−1=0．
联立直线 l 与双曲线方程得 x2−y22=1,2x−y−1=0.
消去 y，得 2x2−4x+3=0，
显然 Δ=16−4×2×3=−8<0，
所以直线 l 与双曲线无交点，
所以直线 l 不存在，
故不存在被点 B1,1 平分的弦．
30. 设 Ax1,y1，Bx2,y2，则有 x12−y122=1 ⋯⋯ ①，x22−y222=1 ⋯⋯ ②，
由① − ②整理得 x1+x2x1−x2=12y1+y2y1−y2．
因为 M 为 AB 的中点，
所以 x1+x2=4，y1+y2=2，
代入上式得 4x1−x2−y1−y2=0，
所以 kAB=y1−y2x1−x2=4．
故直线 l 的方程为 4x−y−7=0．
联立 4x−y−7=0,x2−y22=1, 得 14x2−56x+51=0，Δ>0，
故存在经过点 M 的直线 l，且直线 l 的方程为 4x−y−7=0．
31. （1） 由 ca=2,a2=c2−1 得 a2=1,c2=2.
故双曲线 E 的方程为 x2−y2=1．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由 y=kx−1,x2−y2=1, 得 1−k2x2+2kx−2=0, ⋯⋯①
因为直线与双曲线右支交于 A，B 两点，
所以 x1+x2>0,x1⋅x2>0,Δ>0,
即 k>1,Δ=2k2−41−k2×−2>0, 即 k>1,−2所以 1 （2） 由①得 x1+x2=2kk2−1，x1x2=2k2−1，
所以 ∣AB∣=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=21+k22−k2k2−12=63，
整理得 28k4−55k2+25=0，
所以 k2=57 或 k2=54，
又 1所以 k=52，
所以 x1+x2=45，y1+y2=kx1+x2−2=8，
设 Cx3,y3，
由 OC=mOA+OB 得 x3,y3=mx1+x2,y1+y2=45m,8m，
因为点 C 是双曲线上一点，
所以 80m2−64m2=1，得 m=±14，
故 k=52，m=±14．