2022届高考大一轮复习知识点精练:圆与圆的位置关系 (1)
展开一、选择题(共20小题;共100分)
1. 已知圆 M:x2+y2−2ay=0a>0 截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22,则圆 M 与圆 N:x−12+y−12=1 的位置关系是
A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离
2. 若圆 C1:x−a2+y2=r2r>0 与圆 C2:x2+y2=4r2r>0 相切,则 a 的值为
A. ±3rB. ±rC. ±3r 或 ±rD. 3r 或 r
3. 在坐标平面内,与点 A1,2 的距离为 1,且与点 B3,1 的距离为 2 的直线共有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条
4. 圆 C1:x2+y2+4x+8y−5=0 与圆 C2:x2+y2+4x+4y−1=0 的位置关系为
A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离
5. 圆 C1:x2+y2=4 和 C2:x−32+y+42=49 的位置关系是
A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切
6. 圆 x2+y2−2x−5=0 和圆 x2+y2+2x−4y−4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程为
A. x+y−1=0B. 2x−y+1=0C. x−2y+1=0D. x−y+1=0
7. 两圆 C1:x2+y2+2x−6y−26=0,C2:x2+y2−4x+2y+4=0 的位置关系是
A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离
8. 圆 C1:x2+y2+2x+4y+1=0 与圆 C2:x2+y2−4x−4y−1=0 的公切线有几条
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条
9. 圆 C1:x2+y2+2x=0,圆 C2:x2+y2+4y=0,则两圆的位置关系是
A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离
10. 圆 x2+y2−4=0 与圆 x2+y2−4x+4y−12=0 的公共弦长为
A. 2B. 22C. 3D. 23
11. 已知圆 C1:x2+y2+4ax+4a2−4=0 和圆 C2:x2+y2−2by+b2−1=0 只有一条公切线,若 a,b∈R 且 ab≠0,则 1a2+1b2 的最小值为
A. 3B. 8C. 4D. 9
12. 已知圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2−8y+7=0,则圆 C1 与圆 C2 的位置关系是
A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切
13. 设两圆 C1,C2 都和两坐标轴相切,且都过点 4,1,则两圆心的距离 C1C2 等于
A. 4B. 42C. 8D. 82
14. 若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2−6x−8y+m=0 外切,则 m 等于
A. 21B. 19C. 9D. −11
15. 已知圆 C1:x2+y2+4x+2y−1=0,圆 C2:x2+y2+2x+8y−8=0,则圆 C1 与圆 C2 的位置关系是
A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切
16. 已知圆 C1:x+12+y−12=4,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x−y−1=0 对称,则圆 C2 的方程为
A. x+22+y−22=4B. x−22+y+22=4
C. x+22+y+22=4D. x−22+y−22=4
17. 与直线 x−y−4=0 和圆 x2+y2+2x−2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是
A. x+12+y+12=2B. x+12+y+12=4
C. x−12+y+12=2D. x−12+y+12=4
18. 已知圆 M:x2+y2−2ay=0a>0 截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22,则圆 M 与圆 N:x−12+y−12=1 的位置关系是
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
19. 已知圆 M:x2+y2−2ay=0a>0 截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22,则圆 M 与圆 N:x−12+y−12=1 的位置关系是
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
20. 集合 M=x,yx2+y2≤4,N=x,yx−12+y−12≤r2,r>0,且 M∩N=N,则 r 的取值范围是
A. 0,2−1B. 0,1C. 0,2−2D. 0,2
二、填空题(共5小题;共25分)
21. 若圆 x2+y2=m 与圆 x2+y2+6x−8y−11=0 内切,则 m= .
22. 已知圆 C1:x−a2+y+22=4 与圆 C2:x+b2+y+22=1 相内切,则 a2+b2 的最小值为 .
23. 已 知 A,B 是圆 C1:x2+y2=1 上 的 动 点,AB=3,P 是 圆 C2:x−32+y−42=1 上的动点,则 ∣PA+PB∣ 的取值范围为 .
24. 两圆相交于 1,3 和 m,−1 两点,两圆圆心都在直线 x−y+c=0 上,则 m+c 的值为 .
25. 已知圆 C1:x+32+y2=1 和圆 C2:x−32+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为 .
三、解答题(共6小题;共78分)
26. 两圆相切时,公切线只有一条,你认为对吗?
27. 已知曲线 C1 的方程是 x2+y2−4x+3=0,曲线 C2 的方程是 y2+2x−2=0,求这两条曲线的交点.
28. 求圆心在直线 x+y=0 上,且过两圆 x2+y2−2x+10y−24=0,x2+y2+2x+2y−8=0 交点的圆的方程.
29. 分别求当实数 k 为何值时,两圆 C1:x2+y2+4x−6y+12=0,C2:x2+y2−2x−14y+k=0 相交和相切.
30. 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=22csθ.
(1)将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)设点 A 的直角坐标为 1,0,M 为 C 上的动点,点 P 满足 AP=2AM,写出 P 的轨迹 C1 的参数方程,并判断 C 与 C1 是否有公共点.
31. 已知圆 M:x+12+y2=1,圆 N:x−12+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 C 的方程.
(2)过点 Q1,1 作圆 M 的两条切线,切点分别为 A,B,求直线 AB 被曲线 C 截得的弦的中心坐标.
答案
第一部分
1. B【解析】圆 M:x2+y−a2=a2a>0,
所以 ∣a∣22+22=a2,解得 a=2,
由 ∣2−1∣<0−12+2−12<2+1 得两圆相交.
故选B.
2. C【解析】圆 C1 的圆心为 a,0,半径为 r,圆 C2 的圆心为 0,0,半径为 2r.
①当两圆外切时,有 ∣a∣=3r,此时 a=±3r.
②当两圆内切时,有 ∣a∣=r,此时 a=±r.
综上,当 a=±3r 时两圆外切;当 a=±r 时两圆内切.
3. B【解析】满足要求的直线应分别为圆心为 A,半径为 1 和圆心为 B,半径为 2 的两圆的公切线而圆 A 与圆 B 相交,所以公切线有 2 条.
4. C【解析】由已知,得 C1−2,−4,r1=5,C2−2,−2,r2=3,
则 d=∣C1C2∣=2=∣r1−r2∣,
所以两圆内切.
5. C
【解析】圆 C1:x2+y2=4 的圆心坐标为 0,0,半径为 2;
圆 C2:x−32+y+42=49 的圆心坐标为 3,−4,半径为 7.
所以圆心距为 3−02+−4−02=5=7−2,
所以两个圆内切.
6. A【解析】直线 AB 的方程为 4x−4y+1=0,
因此它的垂直平分线斜率为 −1,
过圆心 1,0,方程为 y=−x−1.
7. A【解析】由于圆 C1 的标准方程为 x+12+y−32=36,故圆心为 C1−1,3,半径为 6;
圆 C2 的标准方程为 x−22+y+12=1,故圆心为 C22,−1,半径为 1.
因此,两圆的圆心距 ∣C1C2∣=−1−22+3+12=5=6−1,显然两圆内切.
8. C【解析】圆 C1:x+12+y+22=4,圆心 C1−1,−2,r1=2,
圆 C2:x−22+y−22=9,圆心 C22,2,r2=3,
圆心距 ∣C1C2∣=−1−22+−2−22=5,
因为 ∣C1C2∣=r1+r2,
所以两圆外切,有 3 条公切线.
9. B【解析】圆 C1:x+12+y2=1,圆 C2:x2+y+22=22,
所以 C1C2=5,且 2−1<5<2+1,
所以两圆相交.
故选B.
10. B
【解析】由 x2+y2−4=0,x2+y2−4x+4y−12=0 得 x−y+2=0.
又圆 x2+y2=4 的圆心到直线 x−y+2=0 的距离为 22=2.
由勾股定理得弦长的一半为 4−2=2,
所以所求弦长为 22.
11. D【解析】由题设中可知两圆相内切,其中 C1−2a,0,r1=2;C20,b,r2=1,故 ∣C1C2∣=a2+4b2,由题设可知 a2+4b2=2−1,即 a2+4b2=1,则 1a2+1b2=1a2+1b2a2+4b2=5+4b2a2+a2b2≥5+4=9.当且仅当 a2=2b2 时等号成立.
12. D【解析】圆 C1 的圆心为 C10,0,半径 R1=1,
圆 C2 的圆心为 C20,4,半径 R2=64−284=3,
所以 C1C2=42=4,R1+R2=4,
所以圆 C1 与圆 C2 外切.
13. C【解析】因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点 4,1,
所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.
设两圆的圆心分别为 a,a,b,b,
则有 4−a2+1−a2=a2,4−b2+1−b2=b2,
即 a,b 为方程 4−x2+1−x2=x2 的两个根,
整理得 x2−10x+17=0,
所以 a+b=10,ab=17.
所以 a−b2=a+b2−4ab=100−4×17=32,
所以 C1C1=a−b+a−b2=32×2=8.
14. C【解析】圆 C2 的标准方程为 x−32+y−42=25−m.
又圆 C1:x2+y2=1,
所以 C1C2=5.
又因为两圆外切,
所以 5=1+25−m,解得 m=9.
15. B
【解析】圆 C1:x2+y2+4x+2y−1=0,即 x+22+y+12=6,表示以 C1−2,−1 为圆心,半径等于 6 的圆.
圆 C2:x2+y2+2x+8y−8=0,即 x+12+y+42=25,表示以 C2−1,−4 为圆心,半径等于 5 的圆.
∴ 两圆的圆心距 d=−2+12+−1+42=10,
∵ 5−6<10<5+6,故两个圆相交.
故选:B.
16. B【解析】根据题意,设圆 C2 的圆心为 a,b,
圆 C1:x+12+y−12=4,其圆心为 −1,1,半径为 2,
若圆 C2 与圆 C1 关于直线 x−y−1=0 对称,
则圆 C1 与 C2 的圆心关于直线 x−y−1=0 对称,且圆 C2 的半径为 2,
则有 b−1a+1=−1,a−12−b+12−1=0,
解得 a=2,b=−2,
则圆 C2 的方程为 x−22+y+22=4.
17. C【解析】如图,圆 M 就是半径最小的圆.
18. B【解析】由 x2+y2−2ay=0a>0,得 x2+y−a2=a2a>0,所以圆 M 的圆心为 0,a,半径为 r1=a.由圆 M 截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22,得 a12+12=a2−22,解得 a=2.圆 N 的圆心为 1,1,半径为 r2=1,所以 ∣MN∣=0−12+2−12=2,r1+r2=3,r1−r2=1,因为 r1−r2<∣MN∣
所以圆心 M 到直线 x+y=0 的距离为 ∣a∣2.
由直线 x+y=0 被圆 M 截得的弦长为 22,知 a2−a22=2,
故 a=2,即 M0,2 且圆 M 的半径为 2.
又圆 N 的圆心为 N1,1,且半径为 1,
根据 1<∣MN∣=2<3,知两圆相交.
故选B.
20. C
【解析】由 M∩N=N 得 N⊆M,所以圆 x2+y2=4 与圆 x−12+y−12=r2 内切或内含,所以 2−r≥2,即 0
21. 1 或 121
【解析】圆 x2+y2=m 的半径 r1=m,
圆 x2+y2+6x−8y−11=0 的圆心坐标为 −3,4,半径 r2=6,
因为两圆内切,且圆心距离 d=5,
所以 6−m=5 或 m−6=5,
解得 m=1 或 m=121.
22. 12
【解析】由圆 C1 与圆 C2 内切,得 a+b2+−2+22=1,
即 a+b2=1.
又由基本不等式 a2+b22≥a+b22,可知 a2+b2≥a+b22=12,当且仅当 a=b 时等号成立,故 a2+b2 的最小值为 12.
23. 7,13
【解析】取 AB 的中点 C,则 ∣PA+PB∣=2∣PC∣,C 的轨迹方程是 x2+y2=14,∣C1C2∣=5.
由题意,∣PC∣ 最大值为 5+1+12=132,最小值为 5−1−12=72.
所以 ∣PA+PB∣ 的取值范围为 7,13.
24. 3
【解析】由平面几何性质知,两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直,且经过弦的中点,则 3+11−m=−1,解得 m=5.因为弦中点坐标为 3,1,所以 3−1+c=0,解得 c=−2,所以 m+c=3.
25. x2−y28=1x≤−1
【解析】如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B.
根据两圆外切的条件,得 ∣MC1∣−∣AC1∣=∣MA∣,∣MC2∣−∣BC2∣+∣MB∣.
因为 ∣MA∣=∣MB∣,
所以 ∣MC1∣−∣AC1∣=∣MC2∣−∣BC2∣,
即 ∣MC2∣−∣MC1∣=∣BC2∣−∣AC1∣=2,
所以点 M 到两定点 C2,C1 的距离的差是常数且小于 ∣C1C2∣=6.
根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支,其中 a=1,c=3,则 b2=8.
故点 M 的轨迹方程为 x2−y28=1x≤−1.
第三部分
26. 不对.两圆内切时,公切线只有一条;两圆外切时,公切线有三条.
27. 1,0.
28. (方法 1)(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)
将两圆的方程联立得方程组 x2+y2−2x+10y−24=0,x2+y2+2x+2y−8=0,
解这个方程组求得两圆的交点坐标 A−4,0,B0,2.
因所求圆心在直线 x+y=0 上,故设所求圆心坐标为 x,−x,则它到上面的两上交点 −4,0 和 0,2 的距离相等,
故有 −4−x2+0+x2=x2+2+x2,即 4x=−12,
所以 x=−3,y=−x=3,
从而圆心坐标是 −3,3.
又 r=−4+32+32=10,故所求圆的方程为 x+32+y−32=10.
(方法 2)(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)
同方法 1 求得两交点坐标 A−4,0,B0,2,弦 AB 的垂直平分线方程为 2x+y+3=0,它与直线 x+y=0 交点 −3,3 就是圆心,又半径 r=10,故所求圆的方程为 x+32+y−32=10.
(方法 3)(用待定系数法求圆的方程)
同方法 1 求得两交点坐标为 A−4,0,B0,2.
设所求圆的方程为 x−a2+y−b2=r2,
因为两点在此圆上,且圆心在 x+y=0 上,
所以得方程组 −4−a2+b2=r2,a2+3−b2=r2,a+b=0,
解之得 a=−3,b=3,r=10,
故所求圆的方程为 x+32+y−32=10.
(方法 4)
设所求圆的方程为 x2+y2−2x+10y−24+λx2+y2+2x+2y−8=0λ≠−1,
即 x2+y2−21−λ1+λx+25+λ1+λy−83+λ1+λ=0.
可知圆心坐标为 1−λ1+λ,−5+λ1+λ.
因为圆心在直线 x+y=0 上,
所以 1−λ1+λ−5+λ1+λ=0,解得 λ=−2.
将 λ=−2 代入所设方程并化简,求圆的方程为 x2+y2+6x−6y+8=0.
29. 将两圆的一般方程化为标准方程,得 C1:x+22+y−32=1,C2:x−12+y−72=50−k,
则圆 C1 的圆心为 C1−2,3,半径 r1=1;圆 C2 的圆心为 C21,7,半径 r2=50−k,k<50.
从而 C1C2=−2−12+3−72=5,
当 50−k−1<5<50−k+1,即 4<50−k<6,即 14
当 50−k−1=5,即 k=14 时,两圆内切.
所以当 k=14 或 k=34 时,两圆相切.
30. (1) 由曲线 C 的极坐标方程 ρ=22csθ 可得 ρ2=22ρcsθ,
将 x=ρcsθ,y=ρsinθ 代入可得 x2+y2=22x,即 x−22+y2=2,即曲线 C 的直角坐标方程为 x−22+y2=2.
(2) 设 Px,y,设 M2+2csθ,2sinθ,
因为 AP=2AM,
所以 x−1,y=22+2csθ−1,2sinθ=2+2csθ−2,2sinθ,
则 x−1=2+2csθ−2,y=2sinθ, 即 x=3−2+2csθ,y=2sinθ.
故 P 的轨迹 C1 的参数方程为 x=3−2+2csθ,y=2sinθ(θ 为参数),
因为曲线 C 的圆心为 2,0,半径为 2,曲线 C1 的圆心为 3−2,0,半径为 2,则圆心距为 3−22,
因为 3−22<2−2,
所以两圆内含,故曲线 C 与 C1 没有公共点.
31. (1) 由已知得圆 M 的圆心为 M−1,0,半径 r1=1,圆 N 的圆心为 N1,0,半径 r2=3.
设动圆 P 的圆心为 Px,y,半径为 R.
因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,
所以 ∣PM∣+∣PN∣=R+r1+r2−R=r1+r2=4>∣MN∣,
由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点的椭圆(左定点除外),得 2a=4,
所以 a=2,c=1,
所以 b2=3.
所以椭圆方程为 x24+y23=1x≠−2.
(2) ∣PA∣=∣PB∣=2,以 P 为圆心,∣PA∣ 为半径的圆 P:x−12+y−12=4,
与圆 M:x+12+y2=1 公共弦所在直线为 l 的方程为 y=−2x−1,
联立曲线 C:x24+y23=1x≠−2 与直线 l:y=−2x−1,可得 19x2+16x−8=0,Δ>0,
设交点 Ex1,y1,Fx2,y2,则 x1+x2=−1619,
所以中点的横坐标为 x1+x22=−819,代入直线 l:y=−2x−1,得中点的纵坐标为 −319,
所以所求中点坐标为 −819,−319.
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