2022届高考大一轮复习知识点精练：正切函数的性质 (1)

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：正切函数的性质 (1)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 fx=3sin2x−4cs2x 的最小正周期是
A. πB. 2πC. 3πD. 4π

2. 已知函数 fx=sin2x+π3，将其图象向右平移 φφ>0 个单位后得到的函数为奇函数，则 φ 的最小值为
A. π12B. π6C. π3D. π2

3. 已知 fx=sin2x+π3，则 fx 在 0,π 上零点个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

4. 下列既是偶函数又是以 π 为周期的函数是
A. y=csxB. y=sin2x−π2
C. y=2sinπ2+xD. y=2cs3π2+2x

5. 已知 fx=sin2x+π3，则 fx 在 0,π 上的零点个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

6. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0，其部分图象如图所示，点 P，Q 分别为图象上相邻的最高点与最低点，R 是图象与 x 轴的交点，若 P 点的横坐标为 13，f13=3，PR⊥QR，则函数 fx 的解析式可以是
A. fx=3sinπ2x+π3B. fx=3sinπ2x−π6
C. fx=3sin2π3x+5π18D. fx=3sinπx+π6

7. 已知函数 fx=sin2x−π6，若方程 fx=35 的解为 x1，x20A. −35B. −45C. −23D. −33

8. 已知函数 y=5cs2k+13πx−π6（其中 k∈N），对任意实数 a，在区间 a,a+3 上要使函数值 54 出现的次数不少于 4 次且不多于 8 次，则 k 值为
A. 2 或 3B. 4 或 3C. 5 或 3D. 8 或 3

9. 已知函数 fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2，fx 的一个零点是 π6，fx 图象的一条对称轴是直线 x=π2，下列四个结论：
① φ=π4
② ω=92+3kk∈N
③ f−π2=0
④直线 x=−π3 是 fx 图象的一条对称轴，
其中所有正确结论的编号是
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④

10. 已知函数 fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2，fπ6+x=−fπ6−x，fπ2+x=fπ2−x，下列四个结论：
① φ=π4；
② ω=92+3kk∈N；
③ f−π2=0；
④直线 x=−π3 是 fx 图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的编号是
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④

11. 已知函数 fx=3sin2ωx2+12sinωx−32ω>0，若 fx 在 π2,3π2 上无零点，则 ω 的取值范围是
A. 0,29∪89,+∞B. 0,29∪23,89
C. 0,29∪89,1D. 29,89∪1,+∞

12. 已知函数 fx=3sinωx+φ−csωx+φ（0<φ<π，ω>0）为偶函数，且 y=fx 图象的两相邻对称轴间的距离为 π2，则 fπ6 的值为
A. −1B. 1C. 3D. 2

13. 已知函数 fx=3sin2ωx2+12sinωx−32ω>0，若 fx 在 π2,3π2 上无零点，则 ω 的取值范围是
A. 0,29∪89,+∞B. 0,29∪23,89
C. 0,29∪89,1D. 29,89∪1,+∞

14. 设函数 fx=sin2x+cs2x，给出下列结论：
① fx 的最小正周期是 π；
② fx 在区间 −π8,π8 内单调递增；
③将函数 y=fx 的图象向左平移 π4 个单位长度，可得到函数 y=cs2x 的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

15. 已知函数 fx=sinx+π3．给出下列结论：
① fx 的最小正周期为 2π；
② fπ2 是 fx 的最大值；
③把函数 y=sinx 的图象上所有点向左平移 π3 个单位长度，可得到函数 y=fx 的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③

16. 函数 fx=sinx3+csx3 的最小正周期和最大值分别是
A. 3π 和 2B. 3π 和 2C. 6π 和 2D. 6π 和 2

17. 关于函数 fx=sin2x+π6 有下述三个结论：
① fx 的最小正周期是 2π；② fx 在区间 π6,π2 上单调递减；③将 fx 图象上所有点向右平行移动 π12 个单位长度后，得到函数 gx=sin2x 的图象，其中所有正确结论的编号是
A. ②B. ③C. ②③D. ①②③

18. 若函数 fx=sinωx−π4ω>0 的图象向左平移 π3 个单位后，所得图象关于原点对称，则 ω 的最小值为
A. 14B. 34C. 74D. 94

19. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0 的图象与直线 y=b（0A. 0,3B. 32,3C. 3,6D. 3,92

20. 已知函数 fx=sinωx−3csωx（ω>0,x∈R）的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 π2 的等差数列，把函数 fx 的图象沿 x 轴向左平移 π3 个单位，横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数 gx 的图象，则下列关于函数 gx 的结论，其中所有正确结论的序号是
① 函数 gx 是奇函数
② gx 的图象关于直线 x=π6 对称
③ gx 在 −π3,π3 上是增函数
④ 当 x∈−π6,π6 时，函数 gx 的值域是 0,2
A. ①③B. ③④C. ②D. ②③④

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 函数 y=sin2x−π6 的最小正周期为 ．

22. 已知函数 fx=sin3x+φ−π2<φ<π2 的图象关于直线 x=π4 对称，则 φ= ．

23. 设函数 fx=a⋅sin2x+b⋅cs2x（a,b∈R），给出下列结论：
①当 a=0，b=1 时，fx 为偶函数；
②当 a=1，b=0 时，f2x 在区间 0,π4 上是单调函数；
③当 a=3，b=−1 时，f∣x2∣ 在区间 −2π,2π 上恰有 3 个零点；
④当 a=3，b=1 时，设 fx 在区间 t,t+π4（t∈R）上的最大值为 φt，最小值为 ψt，则 φt−ψt≤22；
则所有正确结论的序号是 ．

24. 设 φ∈0,2π，若关于 x 的方程 sin2x+φ=a 在区间 0,π 上有三个解，且它们的和为 4π3，则 φ= ．

25. 已知函数 fx=sinωx+φω>0,φ≤π2，x=−π4 为 fx 的零点，x=π4 为 y=fx 图象的对称轴，且 fx 在 π18,5π36 单调，则 ω 的最大值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知函数 fx=sin2ωx+3sinωxsinωx+π2ω>0 的最小正周期为 π．
（1）求 ω 的值；
（2）求函数 fx 在区间 0,2π3 上的取值范围．

27. 已知函数 fx=cs2x−23⋅sinxcsx−sin2x．
（1）求函数 fx 的最小正周期和最大值；
（2）问方程 fx=23 在 −π6,11π6 上有几个不同的实数根?并求这些实数根之和．

28. 已知函数 fx=3sinxcsx+cs2x+1．
（1）求 fx 的最小正周期和值域；
（2）若对任意的 x∈R，f2x−k⋅fx−2≤0 恒成立，求实数 k 的取值范围．

29. 设 a 为常数，函数 fx=asin2x+cs2π−2x+1x∈R．
（1）设 a=3，求函数 y=fx 的单调递增区间及频率 f；
（2）若函数 y=fx 为偶函数，求此函数的值域．

30. 已知函数 fx=sinωx+π6ω>0 的最小正周期为 π．
（1）求 ω 与 fx 的单调递增区间；
（2）在 △ABC 中，若 fA2=1，求 sinB+sinC 的取值范围．

31. 已知函数 fx=Asinωx+π6，A,ω>0 只能同时满足以下三个条件中的两个．
①函数 fx 的最大值是 2；
②函数 fx 的图象可由函数 fx=cs2x2+2sinx2csx2−sin2x2 左右平移得到；
③函数 fx 的对称中心与 fx 的对称轴之间的最短距离是 π4 ；
（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数 y=fx 的单调递增区间．
（2）已知 △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 fB=1，点 D 为 BC 的中点，且 AD=b，求 sin∠BACsinC 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】因为 fx=3sin2x−4cs2x，
所以 fx=32+42sin2x+φ=5sin2x+φ，
所以 fx 的最小正周期为 T=2π2=π．
2. B【解析】向右平移 φφ>0 个单位后，得到函数 y=sin2x−2φ+π3，
当 x=0 时，π3−2φ=kπk∈Z，即 φ=π6−k2πk∈Z，
当 k=0 时，φmin=π6．
3. C
4. B【解析】因为 y=csx，可求其周期为 2π，故A不满足条件；
y=sin2x−π2=−cs2x，由余弦函数的奇偶性及周期性可求此函数既是偶函数又是周期为 π 的函数，故B满足条件；
y=2sinπ2+x=2csx，可求其周期为 2π，故C不满足条件；
y=2cs3π2+2x=2sin2x，其为奇函数，故D不满足条件，
故选B．
5. C
6. A【解析】由已知可得 A=3，
设其周期为 T，则：P13,3，R13+3T4,0，Q13+12T,−3，
由于 PR⊥QR，可得：PR2+RQ2=PQ2，
可得：13+3T4−132+0−32+13+12T−13−3T42+−3−02=13+12T−132+−3−32，
整理可得：T2=16，解得：T=4，ω=2πT=π2，
由于 f13=3，可得：3sinπ2×13+φ=3，
所以，φ+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得：φ=2kπ+π3，k∈Z，
所以，当 k=0 时，φ=π3，函数 fx 的解析式是 fx=3sinπ2x+π3．
7. B【解析】因为 0又因为方程 fx=35 的解为 x1，x20所以 x1+x22=π3，所以 x2=2π3−x1，
所以 sinx1−x2=sin2x1−2π3=−cs2x1−π6，
因为 x1所以 2x1−π6∈−π6,π2，
所以由 fx1=sin2x1−π6=35，得 cs2x1−π6=45，
所以 sinx1−x2=−45．
8. A【解析】令 y=5cs2k+13πx−π6=54，
得 cs2k+13πx−π6=14；
因为函数 y=csx 在每个周期内出现函数值为 14 的有两次，而区间 a,a+3 长度为 3，
所以为了使长度为 3 的区间内出现函数值 14 不少于 4 次且不多于 8 次，
必须使 3 不小于 2 个周期长度且不大于 4 个周期长度；
即 2×2π2k+13π≤3 且 4×2π2k+13π≥3，
解之得 32≤k≤72；
又 k∈N，故 k 值为 2 或 3．
9. B
10. B
11. B【解析】因为
fx=3sin2ωx2+12sinωx−32=321−csωx+12sinωx−32=12sinωx−32csωx=sinωx−π3ω>0,
若 π2所以 3ωπ2−π3−ωπ2−π3≤T2=πω，
则 ω2≤1，
又 ω>0，
解得 0<ω≤1．
又 kπ≤ωπ2−π3,k+1π≥3ωπ2−π3
解得 2k+23≤ω≤2k3+89k∈Z．
因为 2k+23≤2k3+89,2k3+89>0,
解得 −43因为 k∈Z，
所以 k=0或−1．
当 k=0 时，23≤ω≤89；
当 k=−1 时，−43≤ω≤29，
又 0<ω≤1，
所以 0<ω≤29．
所以 ω∈0,29∪23,89．
12. B【解析】fx=3sinωx+φ−csωx+φ=2sinωx+φ−π6,
因为 fx 是偶函数，
所以 φ−π6=kx+π2，k∈Z，
得 φ=kπ+2π3，k∈Z
因为 0<φ<π，
所以令 k=0，得 φ=2π3，
即
fx=2sinωx+2π3−π6=2sinωx+π2=2csωx,
因为 y=fx 图象的两相邻对称轴间的距离为 π2，
所以 T2=π2，
即 T=π，
即 2πω=π，得 ω=2，
则 fx=2cs2x，
则 fπ6=2cs2×π6=2csπ3=2×12=1．
13. B【解析】因为
fx=3sin2ωx2+12sinωx−32=321−csωx+12sinωx−32=12sinωx−32csωx=sinωx−π3ω>0,
若 π2则 ωπ2−π3<ωx−π3<3ωπ2−π3，
所以 3ωπ2−π3−ωπ2−π3≤T2=xω，
则 ω2≤1，又 ω>0，解得 0<ω≤1，
又 kπ≤ωπ2−π3,k+1π≥3ωπ2−π3,
解得 2k+23≤ω≤2k3+89k∈Z，
因为 2k+23≤2k3+89,2k3+89>0,
解得 −43因为 k∈Z，
所以 k=0或−1，
当 k=0 时，23≤ω≤89；
当 k=−1 时，−43≤ω≤29，
又 0<ω≤1，
所以 0<ω≤29，
所以 ω∈0,29∪23,89．
14. A
15. B
【解析】因为 fx=sinx+π3，所以周期 T=2πω=2π，故①正确；
fπ2=sinπ2+π3=sin5π6=12≠1，故②不正确；
将函数 y=sinx 的图象上所有点向左平移 π3 个单位长度，
得到 y=sinx+π3 的图象，故③正确．
16. C【解析】由题，
fx=sinx3+csx3=222sinx3+22csx32sinx3+π4,
所以 fx 的最小正周期为 T=2π13=6π，最大值为 2．
故选：C．
17. C
18. B【解析】若函数 fx=sinωx−π4ω>0 的图象向左平移 π3，
则 y=sinωx+π3−π4−π3ω−π4，
若所得图象关于原点对称，则 π3ω−π4，得 π3ω=π4，得 ω=54+3k，
因为 ω>5，
所以当 k=0 时 37，
故选：B．
19. D【解析】由题意，x=32 和 x=3 为函数的两条对称轴，如图所示，故选D．
20. C
第二部分
21. π
22. −π4
23. ①④
【解析】① fx=cs2x，f−x=fx，为偶函数；
② fx=sin2x，f2x=sin4x，T=π2，在 0,π8 上递增，π8,π4 上递减；
③ fx=3sin2x−cs2x，f0≠0，而 f∣x2∣ 为偶函数，所以在区间 −2π,2π 上有偶数个零点；
④ fx=3sin2x+cs2x=2sin2x+π6，T=π，T2>π4，所以 ft+π4−ft=2sin2t+π2+π6−2sin2t+π6=2cs2t+π6−2sin2t+π6=−22sin2t+π6−π4.
即 ∣ft+π4−ft∣≤22，
所以 φt−ψt≤22．
综上所述，①④正确
24. π6，7π6
25. 9
【解析】因为函数 fx=sinωx+φω>0,φ≤π2，x=−π4 为 fx 的零点，x=π4 为 y=fx 图象的对称轴，
所以 ω−π4+φ=nπ，n∈Z，且 ω⋅π4+φ=nʹπ+π2，nʹ∈Z，
所以相减可得 ω⋅π2=nʹ−nπ+π2=kπ+π2，k∈Z，即 ω=2k+1，即 ω 为奇数．
因为 fx 在 π18,5π36 单调，
（1）若 fx 在 π18,5π36 单调递增，
则 ω⋅π18+φ≥2kπ−π2，且 ω⋅5π36+φ≤2kπ+π2，k∈Z，
即 −ω⋅π18−φ≤−2kπ+π2, ⋯⋯①
且 ω⋅5π36+φ≤2kπ+π2，k∈Z, ⋯⋯②
把 ①② 相加可得 336ωπ≤π，所以 ω≤12，故有奇数 ω 的最大值为 11．
当 ω=11 时，−11π4+φ=kπ，k∈Z，因为 φ≤π2，所以 φ=−π4．
此时 fx=sin11x−π4 在 π18,5π36 上不单调，不满足题意．
当 ω=9 时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，因为 φ≤π2，所以 φ=π4，
此时 fx=sin9x+π4 在 π18,5π36 上单调递减，不满足题意；
故此时 ω 无解．
（2）若 fx 在 π18,5π36 单调递减，
则 ω⋅π18+φ≥2kπ+π2，且 ω⋅5π36+φ≤2kπ+3π2，k∈Z，
即 −ω⋅π18−φ≤−2kπ−π2, ⋯⋯③
且 ω⋅5π36+φ≤2kπ+3π2，k∈Z, ⋯⋯④
把 ③④ 相加可得 336ωπ≤π，所以 ω≤12，故有奇数 ω 的最大值为 11．
当 ω=11 时，−11π4+φ=kπ，k∈Z，因为 φ≤π2，所以 φ=−π4．
此时 fx=sin11x−π4 在 π18,5π36 上不单调，不满足题意．
当 ω=9 时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，因为 φ≤π2，所以 φ=π4，
此时 fx=sin9x+π4 在 π18,5π36 上单调递减，满足题意；
故 ω 的最大值为 9．
第三部分
26. （1） fx=1−cs2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx−12cs2ωx+12=sin2ωx−π6+12.
因为函数 fx 的最小正周期为 π，且 ω>0，
所以 2π2ω=π，解得 ω=1．
（2） 由（1）得 fx=sin2x−π6+12．
因为 0≤x≤2π3，所以 −π6≤2x−π6≤7π6，所以 −12≤sin2x−π6≤1．
所以 0≤sin2x−π6+12≤32，即 fx 的取值范围为 0,32．
27. （1） 因为 fx=cs2x−3sin2x=−2sin2x−π6，
所以最小正周期 T=2π2=π．
当 2x−π6=2kπ−π2,k∈Z，
即 x=kπ−π6,k∈Z 时，
函数 y=fx 取得最大值 2．
（2） 由 2x−π6=kπ−π2,k∈Z，
可得函数 fx 的对称轴为 x=kπ2−π6,k∈Z，
作出函数 fx 的图象如图所示：
所以方程 fx=23 在 −π6,11π6 上共有 4 个不同的实数根，
且这些实数根关于 x=5π6 对称，
所以这些实数根之和为 10π3．
28. （1） fx=3sinxcsx+cs2x+1=32sin2x+cs2x+12+1=32sin2x+12cs2x+32=sin2x+π6+32,
所以 fx 的为最小正周期 T=2π2=π，
值域为 fx∈12,52．
（2） 记 fx=t，则 t∈12,52，
由 f2x−k⋅fx−2≤0 恒成立，知 t2−kt−2≤0 恒成立，即 kt≥t2−2 恒成立，
因为 t>0，所以 k≥t2−2t=t−2t．
因为 gt=t−2t 在 t∈12,52 时单调递增，gmaxt=g52=52−45=1710，
所以 k 的取值范围是 k≥1710．
29. （1） 当 a=3 时，fx=3sin2x+cs2x+1=2sin2x+π6+1，
由 2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，
得 kπ−π3≤x≤kπ+π6，此函数的单调递增区间为 kπ−π3,kπ+π6，k∈Z．
频率 f=22π=1π．
（2） 定义域 D=R，因为函数 y=fx 为偶函数，所以对于任意的 x∈R，均有 f−x=fx 成立，
即 asin−2x+cs−2x+1=asin2x+cs2x+1，
也即 2asin2x=0 对于任意实数 x 均成立，只有 a=0，
此时 fx=cs2x+1，
因为 −1≤cs2x≤1，
所以 0≤1+cs2x≤2，故此函数的值域为 0,2．
30. （1） ω=2，fx 的单调递增区间：2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，
即 kπ−π3≤x≤kπ+π6．
fx 的单调递增区间 kπ−π3,kπ+π6，k∈Z．
（2） fx=sin2x+π6，
由 fA2=1，sinA+π6=1，A∈0,π，A=π3．
由 A+B+C=π，B+C=2π3，B=2π3−C，
sinB+sinC=sin2π3−C+sinC=32sinC+32csC=3sinC+π6.
因为 0 sinB+sinC 的取值范围为 32,3．
31. （1） ①，③；
函数 fx 只能同时满足①③．
由①知 A=2，由③知 T4=14×2πω=π4，则 ω=2．
故 fx=2sin2x+π6．
由 2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z 解得 kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．
所以 y=fx 的单调递增区间为 kπ−π3,kπ+π6，k∈Z．
（2） fB=1⇒sin2B+π6=12，
因为 B∈0,π⇒2B+π6∈π6,13π6，
所以 2B+π6=5π6，B=π3．
作线段 CD 的中点 E
因为 AD=AC，故 AE⊥CD．
因为 csπ3=BEAB，即 3a4c=12⇒ac=23，
由正弦定理知 sin∠BACsinC=ac=23．