2021年北京房山区燕山星城中学八年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区燕山星城中学八年级下期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击成绩平均数均是 9.2 环，方差分别为 S甲2=0.56，S乙2=0.60，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则成绩最稳定的是
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

2. 如图，紫荆花图案绕中心至少旋转 x∘ 后能与原来的图案互相重合，则 x 的值为
A. 36B. 45C. 60D. 72

3. 已知 m 为实数，则关于 x 的方程 x2−m−2x−2m=0 的实数根情况一定是
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根D. 没有实数根

4. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的中点，如果 DE 的长度是 6，则 BC 的长度是
A. 3B. 6C. 12D. 18

5. 若点 M−7,m，N−8,n 都在函数 y=−k2+2k+4x+1（k 为常数）的图象上，则 m 和 n 的大小关系是
A. m>nB. m0 的图象交于点 P1，P2，P3，P4，P5，⋯，得到 Rt△OP1A1，Rt△A1P2A2，Rt△A2P3A3，Rt△A3P4A4，Rt△A4P5A5，⋯，设其面积分别为 S1，S2，S3，S4，S5，⋯，则 S10= ．

15. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额 y（元）与购买量 x（千克）之间的函数图象由线段 OA 和射线 AB 组成，则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省 元．

16. 已知 ∠MON=51∘，点 P 在 ∠MON 的内部，点 D 是边 ON 上任意一点，点 C 是边 OM 上任意一点，连接 PD，PC，当 △PCD 的周长最小时，∠CPD 的度数为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，O 为 AC 的中点．
求作：四边形 ABCD，使得四边形 ABCD 为矩形．
作法：①作射线 BO，在线段 BO 的延长线上取点 D，使得 DO=BO；
②连接 AD，CD，则四边形 ABCD 为矩形．
根据小丁设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∴ 点 O 为 AC 的中点，
∴AO=CO．
又 ∵DO=BO，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵∠ABC=90∘，
∴ 平行四边形 ABCD 为矩形（ ）（填推理的依据）．

18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=mxm≠0 的图象交于点 A3,1，且过点 B0,−2．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点 P 是 x 轴上一点，且 △ABP 的面积是 3，求点 P 的坐标．

19. 某校为了了解初三年级 500 名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组 A:39.5∼46.5;B:46.5∼53.5;C:53.5∼60.5;D:60.5∼67.5;E:67.5∼74.5，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图；
（2）C组学生的频数为 ，在扇形统计图中 D 组的圆心角是 度；
（3）请你估计该校初三年级体重超过 60 kg 的学生大约有多少名?

20. 小慧根据学习函数的经验，对函数 y=∣x−1∣ 的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成：
（1）函数 y=∣x−1∣ 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）列表，找出 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−10123⋯y⋯b1012⋯
其中，b= ；
（3）在平面直角坐标系 xOy 中，描出以上表中各队对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）写出该函数的一条性质： ．

21. 一个矩形的长为 a，宽为 b（a>0，b>0），则矩形的面积为 a⋅b．代数式 xy（x>0，y>0）可以看作是边长为 x 和 y 的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x−6=0（x>0）．具体过程如下：
①方程变形为 xx+1=6；
②画四个边长为 x+1，x 的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程．
∵SABCD=x+x+12，又 S△ABCD=4xx+1+12．
∴x+x+12=4xx+1+1，又 xx+1=6，
∴2x+12=25，
∵x>0，
∴x=2．
参照上述方法求关于 x 的二次方程 x2+mx−n=0 的解（x>0，m>0，n>0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）

22. 已知 x=12 是方程 62x+m=3m+2 的解，求关于 x 的方程 mx+2=m1−2x 的解.

23. 关于 x 的一元二次方程 x2−4x+m−1=0 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根．

24. 已知，四边形 ABCD 是菱形．
（1）若 AB=5，则菱形 ABCD 的周长 = ；
（2）如图①，AC，BD 是对角线，则 AC 与 BD 的位置关系是 ；
（3）如图②，点 M，N 分别在 AB，AD 上，且 BM=DN，MG∥AD，NF∥AB，点 G，F 分别在 CD，BC 上，MG 与 NF 相交于点 E．求证：四边形 AMEN 是菱形．

25. 学校图书馆去年年底有图书 100 万册，预计到明年年底增加到 121 万册．求这两年的年平均增长率．

26. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+a−1x−a=0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若该方程有一个根是负数，求 a 的取值范围．

27. 为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为 50 元/人，非节假日打 a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即 m 人以下（含 m 人）的团队按原价售票；超过 m 人的团队，其中 m 人仍按原价售票，超过 m 人部分的游客打 b 折售票．设某旅游团人数为 x 人，非节假日购票款为 y1（元），节假日购票款为 y2（元）．y1 与 y2 之间的函数图象如图所示．
（1）观察图象可知：a= ；b= ；m= ；
（2）直接写出 y1，y2 与 x 之间的函数关系式；
（3）某旅行社导游王娜于5月1日带 A 团，5月20日（非节假日）带 B 团都到该景区旅游，共付门票款 1900 元，A，B 两个团队合计 50 人，求 A，B 两个团队各有多少人?

28. 在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD 上一动点，连接 PA，分别过点 B，D 分别作 BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为 E，F，如图①．
（1）请探索 BE，DF，EF 这三条线段长度有怎样的数量关系，若点 P 在 DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点 P 在 CD 的延长线上呢（如图③）?请分别直接写出结论．
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 −1,0，点 M 的坐标为 12,−3，点 C 的坐标为 0,−2．经过点 M 的直线 l 垂直于 x 轴，点 B 是点 A 关于直线 l 的对称点．
（1）求点 B 的坐标及直线 BC 的表达式．
（2）过 x 轴上一动点 Q 作 x 轴的垂线，该垂线与直线 y=−x+1 交于 H 点，与直线 BC 交于 G 点，若线段 HG 的长为 5，求 Q 点的坐标．
（3）由（2）结论，且 Q 点在 x 轴正半轴，若 y=−x+b 与线段 QM 有交点，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. C【解析】Δ=m−22−4×−2m=m+22．
对于任意实数 m，都有 m+22≥0，即 Δ≥0，
所以原方程一定有两个实数根．
4. C
5. B
6. C
7. A【解析】∵ 点 A，点 B 关于 y 轴对称，点 A 的坐标是 2,−8，
∴ 点 B 的坐标是 −2,−8．
8. A
9. C
10. C
【解析】∵ 动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明 CD=9−4=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=5，BC=4，
∴ 长方形 ABCD 的面积是：4×5=20．
故选C．
第二部分
11. x≥2
【解析】依题意，得 x−2≥0，解得：x≥2．
12. 12
13. x2−4x−3=0
14. 110
15. 2
【解析】当每次买苹果少于 2 千克时，每千克 20÷2=10 元/千克，故 3 千克分三次且每次买 1 千克时需 10×3=30 元；
设 AB 表达式为 y=kx+b，把 2,20，4,36 代入上式 20=2k+b,36=4k+b,
解得 k=8，b=4 .
所以 y=8x+4，当 x=3 时，y=28，故可节省 30−28=2 元．
16. 78∘
【解析】如图，过点 P 作关于 OM，ON 的对称点 B，A，连接 AB，与 OM，ON 相交与点 C，D，
则此时 △PCD 的周长最小，为线段 AB 的长度；
∴PD=PA，PC=BC，
∴∠A=∠APD，∠B=∠BPC，
∴∠PDC=2∠A，∠PCD=2∠B，
∴∠CPD=180∘−2∠A+∠B，
∵∠MON+∠APB=180∘，
∴∠MON+∠APD+∠CPD+∠BPC=180∘，
∴∠A+∠B=180∘−51∘−∠CPD=129∘−∠CPD，
∴∠CPD=180∘−2129∘−∠CPD，
解得：∠CPD=78∘；
故答案为：78∘．
第三部分
17. （1） 如图，矩形 ABCD 即为所求．
（2） 对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】理由：∵ 点 O 为 AC 的中点，
∴AO=CO．
又 ∵DO=BO，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC=90∘，
∴ 平行四边形 ABCD 为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
18. （1） ∵ 反比例函数 y=mxm≠0 的图象过点 A3,1，
∴ 3=m1，
∴ m=3．
∴ 反比例函数的表达式为 y=3x．
∵ 一次函数 y=kx+b 的图象过点 A3,1 和 B0,−2．
∴ 3k+b=1,b=−2,
解得：k=1,b=−2,
∴ 一次函数的表达式为 y=x−2．
（2） 令 y=0，
∴ x−2=0，x=2，
∴ 一次函数 y=x−2 的图象与 x 轴的交点 C 的坐标为 2,0．
∵ S△ABP=3，12PC×1+12PC×2=3．
∴ PC=2，
∴ 点 P 的坐标为 0,0，4,0．
19. （1） 50
频数分布直方图如下：
（2） 16；72
（3） 500×10+850=180 名．
20. （1） 任意实数（或填“全体实数”）
（2） 2
（3） 描点，画函数图象如下图所示：
（4） 函数的最小值为 0（说明：答案不唯一，写出一条即可，其它答案合理也行）
【解析】①函数图象的对称轴为直线 x=1；
②当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大；
③当 x0，
∴x=124n+m2−m（m>0，n>0）．
22. ∵x=12 是方程 62x+m=3m+2 的解，
∴m=−43 .
∴mx+2=m1−2x ，即 −43x+2=−431−2x .
解得 x=56 .
23. Δ=b2−4ac=−42−4×1×m−1=−4m+20．
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0．
即 −4m+20=0．
∴m=5．
当 m=5 时，方程为 x2−4x+4=0．
x−22=0．
∴x1=x2=2．
答：m 的值是 5，方程的根是 2．
24. （1） 20
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴ 菱形 ABCD 的周长 =20．
（2） 垂直
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 是对角线，
∴AC⊥BD，
∴AC 与 BD 的位置关系是垂直．
（3） ∵MG∥AD，NF∥AB，
∴ 四边形 AMEN 是平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD，
∵BM=DN，
∴AB−BM=AD−DN，
∴AM=AN，
∴ 四边形 AMEN 是菱形．
25. 10%．
26. （1） 由题意得 Δ=a−12+4a=a2+2a+1=a+12≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
（2） 由求根公式，得 x=−a−1±a+12，
∴x1=1，x2=−a，
∵ 该方程有一个根是负数，
∴−a0．
27. （1） 6；8；10
【解析】门票定价为 50 元/人，那么 10 人应花费 500 元，而从图可知实际只花费 300 元，是打 6 折得到的价格，
所以 a=6；
从图可知 10 人之外的另 10 人花费 400 元，而原价是 500 元，可以知道是打 8 折得到的价格，
所以 b=8，
看图可知 m=10；
（2） 设 y1=kx，当 x=10 时，y1=300，代入其中得，
k=30，
y1 的函数关系式为：y1=30x；
同理可得，y2=50x 0≤x≤10，
当 x>10 时，设其解析式为：y2=kx+b，
将点 10,500，20,900 代入可得：10k+b=500,20k+b=900,
解得：k=40,b=100,
即 y2=40x+100；
故 y1 与 x 之间的函数关系式为：y1=30x；y2 与 x 之间的函数关系式为：y2=50x0≤x≤10,40x+100x>10,
（3） 设 A 团有 n 人，则 B 团有 50−n 人，
当 0≤n≤10 时，
50n+3050−n=1900
解得，
n=20
这与 n≤10 矛盾，
当 n>10 时，
40n+100+3050−n=1900,
解得，
n=30,50−30=20
．
答：A 团有 30 人，B 团有 20 人．
28. （1） 图①的结论是 BE=EF+DF；
图②的结论是 DF=BE+EF；
图③的结论是 EF=DF+BE．
（2） 对于图①：
∵DF⊥AP，
∴∠DAF+∠ADF=90∘．
∵∠DAF+∠BAE=90∘，
∴∠ADF=∠BAE．
∵BE⊥AP，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠AFD=90∘．
在正方形 ABCD 中，AB=AD，
∴△ABE≌△DAF．
∴BE=AF，AE=DF．
∵AF=AE+EF，
∴BE=DF+EF．
29. （1） 由对称性可得 B2,0，
设直线 BC 的表达式为 y=kx+b （ k≠0 ）
代入点 B 点 2,0，C0,−2．
得：0=2k+b,b=−2, 解得：k=1,b=−2.
∴ 直线 BC 的表达式为 y=x−2．
（2） 设 Q 点坐标为 a,0，
则 H 点坐标表示为 a,−a+1，G 点坐标表示为 a,a−2．
∴HG=−a+1−a−2=−2a+3=5．
∴−2a+3=±5．解得 a1=−1，a2=4．
Q 点的坐标 Q1−1,0，Q24,0．
（3） −2.5≤b≤4．
【解析】如图，当 y=−x+b 经过点 Q 时，交 y 轴于点 D，
易得 OD=OQ=4．
∴ 此时 b=4．
当 y=−x+b 经过点 M 时，交 y 轴于点 F，过 M 作 ME⊥y 轴于点 E，
可得：△FEM 为等腰直角三角形．
∴FE=EM=12，
∴F0,−52．
∴ 此时 b=−52．
结合图象可知，若 y=−x+b 与线段 QM 有交点，则 −52≤b≤4．