课时质量评价26　正弦定理和余弦定理练习题

这是一份课时质量评价26　正弦定理和余弦定理练习题，共9页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．(2020·合肥模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若b＝3，c＝eq \r(3)，B＝eq \f(π,3)，则角C＝( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,2)
B 解析：由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
所以eq \f(3,sin\f(π,3))＝eq \f(\r(3),sin C).所以sin C＝eq \f(1,2).
因为b>c，所以B>C．
又因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,6).故选B．
2．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则tan B＝( )
A．eq \r(5)B．2eq \r(5)
C．4eq \r(5)D．8eq \r(5)
C 解析：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
则c2＝a2＋b2－2abcs C＝9＋16－2×3×4×eq \f(2,3)＝9.所以c＝3.所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,9).所以sin B＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(2))＝eq \f(4\r(5),9).所以tan B＝4eq \r(5).故选C．
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2eq \r(2)，c＝2，cs eq \f(A,2)＝eq \f(\r(14),4)，则b＝( )
A．1B．eq \r(3)
C．2D．4
D 解析：因为a＝2eq \r(2)，c＝2，cs eq \f(A,2)＝eq \f(\r(14),4)，所以cs A＝2cs2eq \f(A,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(14),4)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(3,4).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得(2eq \r(2))2＝b2＋22－2×b×2×eq \f(3,4)，即b2－3b－4＝0，解得b＝4或b＝－1(舍)．故选D．
4．(2020·泉州一模)在△ABC中，BC＝2eq \r(5)，D为BC的中点，∠BAD＝eq \f(π,4)，AD＝1，则AC＝( )
A．2eq \r(5) B．2eq \r(2) C．6－eq \r(5) D．2
D 解析：在△ABD中，由余弦定理得，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcs∠BAD，
即5＝AB2＋1－eq \r(2)AB，
解得AB＝2eq \r(2)或AB＝－eq \r(2)(舍)．
由正弦定理得eq \f(1,sin∠ABD)＝eq \f(\r(5),sin\f(π,4))，
所以sin∠ABD＝eq \f(\r(10),10)，cs∠ABD＝eq \f(3\r(10),10).
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs∠ABC
＝(2eq \r(2))2＋(2eq \r(5))2－2×2eq \r(2)×2eq \r(5)×eq \f(3\r(10),10)＝4，
解得AC＝2.故选D．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
C 解析：因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.因为(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，所以△ABC是等边三角形．
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－eq \f(1,4)，则b＝________.
4 解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accs B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))，整理得15b－60＝0，所以b＝4.
7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝eq \f(π,4)，b2sin C＝4eq \r(2)sin B，则△ABC的面积为________．
2 解析：因为b2sin C＝4eq \r(2)sin B，所以b2c＝4eq \r(2)b，所以bc＝4eq \r(2)，S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
8．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A＝60°.若S△ABC＝eq \f(3\r(3),2)，2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于________．
5＋eq \r(7) 解析：因为2sin B＝3sin C，所以由正弦定理得2b＝3c.由S△ABC＝eq \f(3\r(3),2)＝eq \f(1,2)bcsin A，得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝7，所以a＝eq \r(7).故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋eq \r(7).
9．(2020·泰安高三一轮检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8cs2eq \f(B＋C,2)－2cs 2A＝3.
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC面积的最大值为eq \r(3)，求△ABC周长的取值范围．
解：因为8cs2eq \f(B＋C,2)－2cs 2A＝3，
所以4[1＋cs(B＋C)]－2cs 2A＝3，
整理得4cs2A＋4cs A－3＝0，
解得cs A＝eq \f(1,2)或cs A＝－eq \f(3,2)(舍去)．
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).
(2)由题意知S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc≤eq \r(3)，
所以bc≤4.
又b2＋c2－a2＝2bccs A，a＝2，所以b2＋c2＝4＋bc，
所以(b＋c)2＝4＋3bc≤16.
又b＋c>2，所以2