八年级数学秘籍——与角度、面积等相关的动态问题（解析版）学案

这是一份八年级数学秘籍——与角度、面积等相关的动态问题（解析版）学案，共25页。学案主要包含了典例解析，变式1-1，变式1-2，变式2-1，习题专练等内容，欢迎下载使用。
与角度、面积等相关的动态问题

【典例解析】
【例1】（2020·四川遂宁期末）Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；
（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．


【答案】见解析.
【解析】解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
由∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，
故答案为：150；
(2) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α，
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α． 理由如下：如图3，

设DP与BE的交点为F，
∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．
(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，

设PE与AC的交点为G，
∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α．
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．
【变式1-1】（2020·福建龙岩期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的边从边开始绕点顺时针旋转，设旋转的角度为．

（1）当时；
①若，则的度数为 ；
②若，求的度数；
（2）由（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）当时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①150°；②50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°；（3）当α=30°时，AD⊥CE，当α=90°时，AC⊥CE，当α=75°时，AD⊥BE，当α=45°时，CD⊥BE．
【解析】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°−30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，
故答案是150°；
②∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=130°−90°=40°，
∴∠DCE=90°−40°=50°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
①当0≤α＜90°时，如图，

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
②当α=90°时，∠ACB+∠DCE=180°，成立；
③当90°＜α＜360°时，如图，

∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．
综上所述：∠ACB+∠DCE=180°；
(3)存在，理由如下：
①若AD⊥CE时，如图

则α=90°-∠A=90°-60°=30°，
②若AC⊥CE时，如图

则α=∠ACE=90°，
③若AD⊥BE时，如图

则∠EMC=90°+30°=120°，
∵∠E=45°，
∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，
∴α=90°-15°=75°，
④若CD⊥BE时，如图

则AC∥BE，
∴α=∠E=45°．
综上所述：当α=30°时，AD⊥CE，当α=90°时，AC⊥CE，当α=75°时，AD⊥BE，当α=45°时，CD⊥BE．
【变式1-2】（2019·上海市市期中）结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______；
（2）若灯射线先转动60秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

【答案】（1）120；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2:1
∴∠BAM=120°，∠BAN=60°
∵PQ∥MN
∴∠ABP=∠BAM=120°
故答案为：120；
（2）设A灯转动时间为t秒，
灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ所需时间为180秒，
灯B射线从BP开始顺时针旋转至AB所需时间为120秒，
灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN所需时间为90秒
则t的取值范围为：0