八年级数学秘籍——类比与探究（解析版）学案

这是一份八年级数学秘籍——类比与探究（解析版）学案，共41页。学案主要包含了典例解析，变式1-1，变式1-2，变式2-1，变式2-2，变式3-1，习题专练等内容，欢迎下载使用。
类比与探究

【典例解析】
【例1】（2020·江苏南京月考）阅读理解
如图①，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；…．；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠， 点 Bn 与点 C 重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角． 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．
情形一：如图②，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；
情形二：如图③，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合．
探究发现
（1）△ABC 中，∠B=2∠C，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）
（2）猜想：若经过 n 次折叠后发现∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设ÐB > ÐC ）之间的等量关系为 ；
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15º、60º、l05º，发现 60º和 l05º的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是 12º，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

图① 图② 图③
【答案】（1）是；（2）ÐB = nÐC；（3）见解析.
【解析】解：（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：
小丽展示的情形二中，如图③，
由折叠知：∠B＝∠AA1B1，∠A1B1C＝∠C；
∵∠AA1B1＝∠C+∠A1B1C，
∴∠B＝2∠C，∠BAC是△ABC的好角．
故答案为：是；
（2）∠B＝n∠C；
理由如下：
由折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2，
∴∠A1A2B2＝∠C+∠A2B2C＝2∠C；
∵∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C＝∠BAC+2∠B﹣2∠C180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量系为∠B＝n∠C；
故答案为：∠B＝n∠C；
（3）由（2）知设∠A＝12°，
∵∠C是好角，
∴∠B＝12n°；
∵∠A是好角，
∴∠C＝m∠B＝12mn°，其中m、n为正整数，
而12+12n+12mn＝180
∴1+n+mn＝15
∴n(1+ m) = 14，即m=1，n=7或m=6，n=2或m=13，n=1
∴如果一个三角形的最小角是12°，三角形另外两个角的度数是24°、144°；12°、156°；84°、84°．
【变式1-1】（2020·重庆市月考）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．

【答案】（1）36°或18°；（2）（3）见解析.
【解析】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：36°或18°．
（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”．
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝．
【变式1-2】（2020·宁波市期末）若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】C
【解析】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且∠B=2∠C，
①当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，
此时可爱角为∠A=72°，
②当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴4∠C=180°，即∠C=45°，
此时可爱角为∠A=45°，
故答案为：C．
【例2】（2020·江苏泰州月考）
（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

图1 图2 图3
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：
延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵AB=AD，∠B=∠ADG=90°，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；
（2）成立，理由：
延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；
（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．
延长DC至G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AB＝AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE＝∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．
【变式2-1】（2018·河南洛阳月考）（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）过B作BN⊥AB，交DM的延长线交于N，连接CN，

∵∠EDA=∠ABN=90°，
∴DE∥BN，
∴∠DEM=∠MBN，
∵EM=BM，∠EMD=∠BMN
∴△EMD≌△BMN，
∴BN=DE=DA，MN=MD，
在△CAD和△CNB中， ，
∴△CAD≌△CNB，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，CM是底边的中线，
∴CM⊥DN，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴DM=CM.
（2）探究一
连接DM并延长，交BC于N，

∵∠EDA=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MBC，
在△EMD和△BMN中，，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD
∵AC=BC，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DM=CM.
探究二
过点B作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，

∴∠E=∠MBN=45°．
∵点M是BE的中点，
∴EM=BM．
在△EMD和△BMN中，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠DAC=∠NBC=90°
在△DCA和△NCB中 ，
∴△DCA≌△NCB（SAS），
∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DM=CM.
【变式2-2】（2020·浙江椒江期末）
（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．
（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有　　　　．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．

图1 图2 图3
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE；
（2） 在OB上截取OF=OC，连接CF

∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，
设AD与CE的交点为G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
∵OC=OF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO，
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF，若OC=OE，则OC=CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF=BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，无法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）延长DC至P，使DP=DB

∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【例3】（2020·湖南广益期中）同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象。如图 1， AB是放置在第一象限的一个平面镜，一束光线CD经过反射后的反射光线是 DE， DH是法线，法线垂直于镜面 AB．入射光线CD和平面镜所成的角ÐBDC叫做入射角，反射光线 DE与平面 镜所成的角ÐADE叫做反射角。镜面反射有如下性质：入射角等于反射角，根据以上材料完成下面问题：
（1）如图 1，法线 DH交 x轴于点 F，交 y轴于点 H，试探究ÐDFC与ÐDAH之间的数量关系并加以证明；
（2）如图 2，第一象限的平面镜 AB交 x轴于点 B，交 y轴于点 A， x轴负半轴上也放置了一块平面镜，入射光线 CD经过两次反射后得到反射光线 EG, DH是法线，射线 CD和EG的反向延长线交于点 P.
①若第一象限平面镜与 x轴夹角为26°，问入射角ÐBDC为多少时，反射光线 EG与 AB平行？
② 若ÐDCE > ÐDEC, 平面镜AB绕点D旋 转，是否存在一个定值k，使得ÐDCE - ÐDEC = kÐOHF总是成立，若存在请求出 k值，若不存在，请说明理由.

图1 图2
【答案】见解析．
【解析】解：
（1）∠DFC=∠DAH
∵DH⊥AB，∠ADH=90°
∴∠DAH+∠AHD=90°
∵∠OFH+∠AHD=90°
∴∠DAH=∠OFH
∵∠DFC=∠OFH
∴∠DFC=∠DAH
（2）①由题意得：∠DBE=26°
设∠BDC=x，则∠ADE=∠BDC=x
∵EG∥AB，
∴∠DEP=∠ADE=x
∴∠BED=∠BEP
∵∠DEP=∠BED+∠BEP=x
∴∠BED=x
由∠ADE=∠BED+∠DBE，
得：x=x+26，解得：x=52
即当∠BDC=52°时，EG∥AB
②由三角形的外角性质得：，
即，
∵入射角等于反射角，
∴∠ADE=∠BDC
∴∠DCE-∠DEC=2∠DBE
易得：∠OHF=∠DBE
∴∠DCE-∠DEC=2∠OHF
∴存在一个定值k=2，使得∠DCE-∠DEC=2∠OHF总是成立．
【变式3-1】（2020·江西期中）数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．

图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72，BD平分∠ABC，∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）如图所示：

（3）当一个三角形满足①直角三角形；②一个内角是另一个内角的2倍；③一个内角是另一个内角的3倍，这三种情况之一时，该三角形必能被过某一顶点的直线分成两个等腰三角形.
①最大内角为90°；
②36°是另一内角的2倍，最大内角为：126°
一个内角是36°的2倍，最大内角为：72°；
除36°角外的两个内角度数满足2倍关系，最大内角为96°（不合题意，舍去）；
③36°是另一内角的3倍，最大内角为：132°
一个内角是36°的3倍，最大内角为：108°；
除36°角外的两个内角度数满足3倍关系，最大内角为108°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.
【例4】（2020·山西平定期中）请阅读下列材料，并完成相应任务．
塞瓦定理
塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则．

任务：
（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点；
（2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长．
【答案】见解析.
【解析】（1）证明：∵D、E分别为边BC、AC的中点，
∴BD=CD，AE=CE
由塞瓦定理，得
∴AF=BF
即F是AB的中点.
（2）解：∵△ABC为等边三角形，AB=12
∴AB=AC=BC=12
∵AE=4
∴CE=8
∵D是BC中点
∴BD=CD=6，
∵AB=12
∴AF=12－BF
由赛瓦定理，得：=1
∴
解得：BF=8.
【习题专练】
1.（2020·湖南长沙月考）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若，则该等腰三角形的顶角为_____．
【答案】45°．
【解析】解：

∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A：∠B：∠C =2：3：3，
即∠A=180°×=45°，
∴∠A=45°．
故答案为：45°．
2.（2020·江苏鼓楼期末）在∠MAN的两边上各取点B、C，在平面上任取点P（不与点A、B、C重合），连接PB、PC，设∠BPC为∠1，∠ABP为∠2，∠ACP为∠3．请探索∠1、∠2、∠3和∠BAC这4个角之间的数量关系．
分析问题：由于点P是平面上的任意点，要考虑全面，需对点P的位置进行如下分类．
（1）若点P在∠MAN的两边上，易知点B、C将两边分成线段AB、AC，射线BM、CN四个部分，根据提示，完成表格；

（2）点P在∠MAN的内部，如图1，线段BC将内部分成线段BC，区域①，区域②三个部分．若点P在线段BC上，则所求数量关系：∠1=180°且∠2+∠3+∠BAC=180°；
若点P在区域①中，则所求数量关系为： ；
若点P在区域②中，写出这4个角之间的数量关系，并利用图2加以证明．

图1 图2 备用图
类比解决：
（3）点P在∠MAN的外部时，直接写出当点P在该部分时这4个角之间的数量关系．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）Ð3=0°且Ð1=Ð2+ÐBAC；
Ð3=180°且Ð1+Ð2+ÐBAC=180°；
（2）若点P在区域①中，Ð1+Ð2+Ð3+ÐBAC=360°，
若点P在区域②中，Ð1=Ð3+Ð2+ÐBAC，
延长BP，交射线AN于点D
∵ÐPDC是△ABD的外角
∴ÐPDC=Ð2+ÐBAC
∵Ð1是△PCD的外角
∴Ð1=Ð3+Ð2+ÐBAC

（3）9种情况，可得：

①Ð2=Ð1+ÐBAC+Ð3
②Ð1=0°且Ð2=Ð3+ÐBAC
③Ð1+Ð2=Ð3+ÐBAC
④Ð3=0°且ÐBAC=Ð1+Ð2
⑤ÐBAC=Ð1+Ð2+Ð3
⑥ÐBAC=Ð1+Ð3且Ð2=0°
⑦Ð1+Ð3=Ð2+ÐBAC
⑧Ð1=0°且Ð3=Ð2+ÐBAC
⑨Ð3=Ð1+ÐBAC+Ð2
3.（2019·湖北房县）请按照研究问题的步骤依次完成任务．
（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．

（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为 ；
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 （用x、y表示∠P） ；
（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论 ．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由（1）的结论得：，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=23°；
（3）解：

∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；
故答案为：26°；
（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，
即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，
∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+∠BAP=∠P+∠PDB，
∴y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），
∴y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），
∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB
= y+（∠CAB-∠CDB）
=y+（x-y）
=
故答案为：∠P=；
（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，
∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，
∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，
∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，
∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，
∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D
=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D
=90°+（∠B-∠D）+∠D
=.
4.（2019·南京师范大学附属中学期中）（约定）若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为Ⅰ类美丽三角形；若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为Ⅱ类美丽三角形；若一个三角形中有一个角是另一个角的3倍，称此三角形为Ⅲ类美丽三角形；Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形合称为美丽三角形．
如图1中的△ABC中，ÐC =，则△ABC 是Ⅰ类美丽三角形；
如图2中的△ABC中，ÐC =2ÐB= 2a，则△ABC是Ⅱ类美丽三角形；
如图3中的△ABC中，ÐC =2ÐB= 3a，则△ABC是Ⅲ类美丽三角形；
（结论1）美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形．
（1）请在图1、2、3 中分别画出分割线，并标出相等的角（用a表示）或相等的边．
（应用1）（2）如图4，一个含有和角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形，图5就是其中的一种拼法．请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数．
（结论2）如果过一个三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形一定是美丽三角形．
（应用2）（3）如图6，如果在图4中的最短边AC上拼上一个三角形后所形成的△BCD 能被两条直线分割成三个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边为BC、底角为ÐB，设所拼三角形中与角相邻的角为a，请直接写出所有a的大小．



【答案】见解析.
【解析】解：（1）分割线如图所示：

（2）拼接的三角形如图所示：依次分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类美丽三角形；

（3）能分割两个等腰的三角形要满足三个条件中一个：
①有90°角；②有一个角是另一个角的两倍（单倍角要小于45°）③有一个角是另一个角的三倍（单倍角要小于45°）
∴α的大小可为5°或55°或130°或85°或135° 或10°或65°．
5.（2020·湖南广益期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“属派生点”为，即．

（1）若点的“属派生点”的坐标为，求点的坐标；
（2）若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的倍，求的值；
（3）如图，已知点，点是轴上一点，且是点的“属派生点”，以线段为一边，在其一侧作如图所示等边三角线．现点沿轴运动，当点运动到原点处时，记的位置为．问三角形的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设点P的坐标为P（a,b），
由题意得：，
解得，
∴点P的坐标为P(0,2)；
（2）设点P的坐标为P（m，0），m>0
由“k属派生点”的定义得：点P’的坐标为(m,km)，
则|k|m=2m，解得：k=±2；
（3）△ABQ的面积是一个定值
设点P的坐标为P（m，0），
∵点（2,4）的“k属派生点”的为(2+4k,2k+4)，
∴，解得，
即P（-6,0），OP=6，
∵OA=2，
△APQ和△AOB是等边三角形
∴AP=AQ，∠PAQ=∠OAB，AO=AB
∴∠PAQ－∠OAQ=∠OAB－∠OAQ，即∠PAO=∠QAB
∴△AOP≌△ABQ
∴S△ABQ=S△AOP=OP·OA=6
故△ABQ的面积是一个定值，为6．
6. 在等腰三角形中，过其中的一个顶点的直线如果能把这个等腰三角形分成两个小的等腰三角形，我们称这种等腰三角形为“少见的三角形”，这条直线称为分割线，下面我们来研究这类三角形．
（1）等腰直角三角形是不是“少见的三角形”？
（2）已知如图所示的钝角三角形是一个“少见的三角形”，请你画出分割线的大致位置，并求出顶角的度数；
（3）锐角三角形中有没有“少见的三角形”？如果没有，请说明理由；如果有，请画出图形并求出顶角的度数．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）如图，

AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°
即x+x+x+x=180，
解得：x=45，
则顶角是90°；
∴△ABC是等腰直角三角形，即等腰直角三角形是“少见的三角形”；
（2）如图，

AC=CD=AB，BD=AD，
设∠B=x°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=DC，
∴∠ADC=∠CAD=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，
则顶角∠BAC=108°．
（3）如图，

AC=BC，AB=AD=CD，
设∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，x=36°，
则顶角是36°．
7.（2019·湖南天心期末）定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．
（1）如图1，已知A（3，2），B（4，0），请在x轴上找一个C，使得△OAB与△OAC是偏差三角形．你找到的C点的坐标是______，直接写出∠OBA和∠OCA的数量关系______．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D+∠B=180°，问△ABC与△ACD是偏差三角形吗？请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=DC，AC与BD交于点P，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC＜90°，且点C到直线BD的距离是3，求△ABC与△BCD的面积之和．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）

∵AC=AB，△OAB与△OAC是偏差三角形，A(3，2)，B(4，0)，
∴点C的坐标为（2，0），
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠OCA+∠ACB=180°，
∴∠OBA+∠OCA=180°，
故答案为：(2，0)，∠OBA+∠OCA=180°；
（2）△ABC与△ACD是偏差三角形
在AD上截取AH=AB

∵AC平分∠BAD，
∴∠CAH=∠CAB，
又∵ AC=AC，
∴△CAH≌△CAB（SAS），
∴CH=CB，∠B=∠AHC，
∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°，
∴∠D=∠CHD，
∴CH=CD，
∴CB=CD，
∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等，
∴△ABC与△ACD是偏差三角形；
（3）延长CA至E，使AE=BD，连接BE，

∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°，
∴∠BDC=∠BAE，
又∵AB=CD，
∴∆BDC≌∆EAB，
∴EA=BD，
∵点C到直线BD的距离是3，
∴点B到直线EA的距离是3，
∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=∙（AC+EA）×3 =∙（AC+BD）×3 =×9×3=．
8.（2020·湖北京山期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；
（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，
可得2x＝，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°；
（2）有两种情况，
①如图

②如图

（3）如图

①当AD＝AE时，
∵2x+x＝30°+30°，
∴x＝20°；
②当AD＝DE时，
∵30°+30°+2x+x＝180°，
∴x＝40°；
综上所述，∠C为20°或40°的角．
9.（2020·北京初二期末）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点.
（1）如图1，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

图1
（2）如图2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙点P （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出∠BPC的度数是 .

图2
（3）等边三角形的巧妙点的个数有（ ）
A．2 B．6 C．10 D．12
【答案】见解析.
【解析】解：（1）作BC边的垂直平分线：分别以B、C为圆心，大于的长为半径画弧，连接其圆弧的交点；
同理作AB边的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于的长为半径，连接其圆弧的交点；
AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线的交点即为巧妙点P.

∴点P为所求.
（2）如图所示

∠BP1C=40°，∠BP2C=160°，∠BP3C=140°，∠BP4C=80°
（3）分别等边三角形三条边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，两者的交点即为等边三角形的巧妙点.
如图，巧妙点P有10个.