八年级数学秘籍——等腰三角形中的动态问题（原卷版）学案

等腰三角形中的动态问题

【典例解析】

【例1-1】（2020·安徽省泗县月考）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【例1-2】（2020·贵州六盘水期末）如图，在中，，，点D在边BC上运动（点D不与点重合），连接AD，作，DE交边AC于点E．

（1）当时，         ，       

（2）当DC等于多少时，，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．

【变式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上，且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（    ）个

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式1-2】（2020·山西初二月考）综合与探究：

在中，.点从点出发以的速度沿线段向点运动．

（1）如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形．

（2）如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形．

（3）如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点都以的速度同时出发．

①设运动时间为，那么当为何值时，是等腰三角形？

②如图4，连接.请你猜想：在点的运动过程中，和的面积之间的数量关系为______．

【例2】（2020·江苏江阴月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．

【例3-1】（2019·武汉市期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（　　）

A．32 B．64 C．128 D．256

【例3-2】（2020·浙江温州月考）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③、④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1等于…（     ）

A． B．3－ C．1－ D．＋

【变式3-1】（2020·山东牡丹期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形．若，则的边长为（    ）

A． B． C． D．

【变式3-2】（2019·贵州印江月考）如图，已知 ……，若∠A＝70°，则的度数为（ ）     

A． B． C． D．

【习题精练】

1.（2020·山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，∠AOx=40°，点P在x轴上，若△POA是等腰三角形，则满足条件的点P共有______个．

2. （2019·浙江宁波模考）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求点了，则________．

3.（2020·河北保定一模）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……，按照上面的要求一直画下去，就会得到，则

（1）_________；

（2）与线段长度相等的线段一共有__________条（不含）．

4.（2020·福建连城期中）如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．

（1）填空：______；

（2）当且点运动的速度也是时，求证：；

（3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值．

5.（2020·广东佛山月考）如图，在等边中，厘米，厘米，如果点以厘米的速度运动．

（1）如果点在线段上由点向点运动．点在线段上由点向点运动，它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等：

①经过2秒后，和是否全等？请说明理由．

②当两点的运动时间为多少秒时，刚好是一个直角三角形？

（2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过秒时点与点第一次相遇，则点的运动速度是__________厘米秒．（直接写出答案）

6.（2018·湖北广水期中）（阅读）

如图1，等边△ABC中，P是AC边上一点，Q是CB延长线上一点，若AP＝BQ．则过P作PF∥BC交AB于F，可证△APF是等边三角形，再证△PDF≌QDB可得D是FB的中点．请写出证明过程．

（运用）

如图2，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

7.（2020·乐清市月考）如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．

（1）M、N同时运动          秒后，M、N两点重合？

（2）当0＜t＜5时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？

（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由.  

8.（2020·南京月考）在中，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于．

（1）若，，求证；

（2）由（1）可知是______三角形；

（3）去掉（1）中的“”的条件，其他不变，判断的形状，并证明你的结论；

（4）当与满足怎样的数量关系时，是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．

9.（2020·长沙月考）点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动．

（1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时问为t（s），连换AQ、CP交于点M，

①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

②在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC，

①当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

②在点P，Q的运动过程中，请探究△PCD和△QCD的面积之间的数量关系．

10.（2020·广东惠来期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长．

11.（2019·哈尔滨市月考）如图，，点B关于轴的对称点为C点，点D在x轴的负半轴上，△ABD的面积是30．

（1）求点坐标；

（2）若动点从点出发，沿射线运动，速度为每秒个单位，设的运动时间为秒，的面积为，求与的关系式.

12.（2020·湖北襄州期末）已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．

图1                   图2

（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．

①当t＝2时，求∠AQP的度数．

②当t为何值时△PBQ是直角三角形？

（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．

13.（2019·连云港市期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动　   　秒后，△AMN是等边三角形？

（2）点M、N在BC边上运动时，运动　   　秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？

（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．