专题12几何类比拓展探究学案

专题十二　几何类比拓展探究

类型1　图形旋转引起的探究

1．如图①，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且

∠BCD＝∠ECF＝60°.

(1)问题发现

填空：的值为__________；

(2)探究证明

将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α(0°<α<60°)，如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展运用

在菱形GECF旋转过程中，当A，G，F三点在同一条直线上时，如图③所示，连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为__________．

图①                 图②                     图③

2．(2019新乡一模)在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝

∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2.固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，连接CD，BE，点F，M，N分别为线段BE，BC，CD的中点，连接MN，NF.

问题提出：(1)如图①，当AD在线段AC上时，∠MNF的度数为__________，线段MN和线段NF的数量关系为__________；

深入讨论：(2)如图②，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；

拓展延伸：(3)如图③，在△ADE旋转的过程中，若直线EC与BD的交点为P，则△BCP面积的最小值为__________．

图①                 图②                     图③

类型2　图形形状变化引起的探究

3．(1)操作发现：

如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________；

(2)类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由；

(3)深入研究：

如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给予证明．

图①                   图②                      图③

4．(2014河南第22题)(1)问题发现

如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.

填空：①∠AEB的度数为__________；

②线段AD，BE之间的数量关系为________；

(2)拓展探究

如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)解决问题

如图③，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

 图①                    图②                      图③

类型3　动点引起的探究

5．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.

(1)如图①，△CDE的形状是__________；(填特殊三角形的名称)

(2)设OD＝t，当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由；

(3)当△DEB是直角三角形时，求线段OD的长．

图①                        图②

6．观察猜想

(1)如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是__________，BE＋BF＝__________；

探究证明

(2)在(1)中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE＋BF的值；

拓展延伸

(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，点E在线段BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE＋BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．

图①                    图②                      图③

参考答案

1．解：(1).

(2)AG＝BE.理由如下：

如图，连接CG，过点E作EK⊥CG于点K.

∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，

∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，CK＝KG＝CG.

∴△ECG∽△BCA.∴＝.∴＝.

∵∠ECB＋∠ACE＝∠GCA＋∠ACE，

∴∠ECB＝∠GCA.∴△ECB∽△GCA.∴＝.

在Rt△CEK中，＝cos 30°＝.∴＝.

∴＝，AG＝BE.

(3)3.

【提示】易得∠AGH＝∠CGF＝∠DAC＝30°，

∴∠GAC＋∠HCA＝30°，∠HAG＋∠GAC＝30°.∴∠HAG＝∠HCA.

∵∠AHG＝∠CHA，∴△HAG∽△HCA.∴HA∶HC＝HG∶HA.

∴HA2＝HG·HC.

∵CE＝2，由(2)得CG＝CE.∴GC＝2.

∵GH＝，∴HA2＝HG·HC＝×3＝9.

∵AH>0，∴AH＝3.

2．解：(1)45°，NF＝MN.

【提示】如图①，连接DB，MF，EC，延长BD交EC于点H.

∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴△BAD≌△CAE(SAS)．

∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD.

∵∠ABD＋∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，

∴∠CDH＋∠ACE＝90°.∴∠CHD＝90°.∴EC⊥BH.

∵F，M，N分别是BE，BC，CD的中点，

∴MF∥EC，MF＝EC，MN∥BD，MN＝BD.

∴MN＝MF，MN⊥MF.∴∠NMF＝90°.∴∠MNF＝45°，NF＝MN.

第2题图①              第2题图②

(2)如图②，连接MF，EC，BD.设EC交AB于点O，交BD于点H.

∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.

∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD.

∵∠AOC＋∠ACE＝90°，∠AOC＝∠BOH，

∴∠ABD＋∠BOH＝90°.∴∠BHO＝90°.∴EC⊥BD.

∵F，M，N分别是BE，BC，CD的中点，

∴MF∥EC，MF＝EC，MN∥BD，MN＝BD.

∴MN＝MF，MN⊥MF.

∴∠NMF＝90°.∴∠MNF＝45°，NF＝MN.

(3)4.【提示】如图③，以点A为圆心，AD长为半径作⊙A.设直线BD与AC交于点O.

第2题图③

当直线PB与⊙A相切时，△BCP的面积最小．

易得△BAD∽△CAE(SAS)，∠CPB＝∠BAC＝90°.

∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°.

∴四边形ADPE是矩形．

∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形．

∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2.

∴PC＝2－2，PB＝2＋2.

∴△BCP面积的最小值为PC·PB＝×(2－2)(2＋2)＝4.

3．解：(1)GM＝GN，GM⊥GN.

【提示】如图①，连接BE，CD交于点H.

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.∴∠CAD＝∠BAE.

∴△ACD≌△AEB.∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE.

∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋

∠ABD＝90°.

∴∠BHD＝90°.∴CD⊥BE.

∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG∥CD，MG＝CD.

同理NG∥BE，NG＝BE.∴GM＝GN，GM⊥GN.

第3题图①            第3题图②              第3题图③

(2)如图②，连接CD，BE相交于点H.

同(1)的方法得GM＝GN，GM⊥GN.

(3)△GMN为等腰直角三角形．

证明：如图③，连接EB，DC并延长，交于点H.

同(1)的方法得△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD.

∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEB－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝180°－∠AEC－

∠ACE＝180°－45°－45°＝90°.

∴∠DHE＝180°－90°＝90°.

同(1)的方法得GM＝GN，GM⊥GN.

∴△GMN为等腰直角三角形．

4．解：(1)①60°；②AD＝BE.

【提示】①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACD＝∠BCE.

∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC＝∠BEC.

∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°.

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°.

∴∠BEC＝120°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.

②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.

(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM.理由如下：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACD＝∠BCE.

∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°.∴∠BEC＝135°.

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.

∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，

∴DM＝ME＝CM.

∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.

(3)点A到BP的距离为或.

【提示】∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上．

∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如图①所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为点H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝45°，AB＝BC＝CD＝DA＝，∠BAD＝90°.∴BD＝2.

∵PD＝1，∴BP＝＝.

易得△ABE≌△ADP.∴BE＝PD＝1.

∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴A，P，D，B在以BD为直径的圆上．

∴∠APB＝∠ADB＝45°.∴△PAE是等腰直角三角形．

又△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，

∴由(2)中的结论可得BP＝2AH＋PD.

∴＝2AH＋1.∴AH＝.

第4题图①                    第4题图②

②当点P在如图②所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为点H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E.

同理可得BP＝2AH－PD.∴＝2AH－1.∴AH＝.

5．解：(1)等边三角形．

(2)存在．理由如下：当6<t<10时，由旋转的性质得BE＝AD.

∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE.

由(1)知△CDE是等边三角形，∴DE＝CD.∴C△DBE＝CD＋4.

由垂线段最短可知当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

∵△ABC是边长为4的等边三角形，

∴CD＝2.∴△BDE周长的最小值为CD＋4＝2＋4.

(3)①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意．

②当点D在线段OA上时，由旋转可知∠CAD＝∠CBE.

∵∠CAB＝∠CBA＝60°，∴∠CAD＝∠CBE＝120°.

∴∠ABE＝120°－60°＝60°.

又∠BDE<60°，∴若△DEB是直角三角形，则∠BED＝90°.

∵△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°.∴∠CEB＝30°.

∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°.

∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°.

∴DA＝CA＝4.∴OD＝OA－DA＝6－4＝2.

③当点D在线段AB上时，∵∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝∠ABC＋∠CAD＝120°>90°，

∴此时不存在直角三角形DEB.

④当点D在射线BM上时，由旋转的性质可知∠CBE＝60°，

∴∠DBE＝180°－∠CBA－∠CBE＝60°.

又∠BED<60°，∴若△DEB是直角三角形，则∠BDE＝90°.

∴∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC＝90°.∴∠BDC＝30°.

∵∠CBA＝60°，∴∠BCD＝∠BDC＝30°.∴BD＝BC＝4.∴OD＝14.

综上所述，当△DEB是直角三角形时，OD的长为2或14.

6．解：(1)BF⊥BE,3.

【提示】易得∠EAF＝∠BAC＝90°，AF＝AE，AB＝AC，

∴∠BAF＝∠CAE.∴△BAF≌△CAE.∴∠ABF＝∠C，BF＝CE.

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝∠ABF＝45°.

∴∠FBE＝∠ABF＋∠ABC＝90°，BC＝BE＋EC＝BE＋BF＝3.

(2)BF⊥BE，BE＋BF＝2.

理由如下：如图①，作DH∥AC交BC于点H.

∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形．

同(1)的方法得BF⊥BE，BF＋BE＝BH.

∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2.

∴BH＝BD＝2.∴BF＋BE＝BH＝2.

第6题图①                        第6题图②

(3)BF＋BE＝2n·sin .

【提示】如图②，作DH∥AC交BC的延长线于点H，作DM⊥BC于点M.

∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC＝∠H.∴DB＝DH.

∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE.

∵DF＝DE，∴△BDF≌△HDE.∴BF＝EH.

∴BF＋BE＝EH＋BE＝BH.

∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM＝.

∴BM＝MH＝BD·sin.

∵BD＝n，∴BF＋BE＝BH＝2BM＝2n·sin.