B 知识讲解练习题

正弦定理

编稿：张希勇　　　审稿：李霞　　

【学习目标】

1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；

2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；

（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.

【要点梳理】

要点一、学过的三角形知识

1.中

（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；

（2）；

（3）大边对大角，大角对大边，即；

     等边对等角，等角对等边，即；

（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.

2.中，，

（1），

（2）

（3），，；

，，

要点二、正弦定理及其证明

正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：

直角三角形中的正弦定理的推导

证明：，  ，  ，

即：，，，

∴．

斜三角形中的正弦定理的推导

证明：

法一：向量法

（1）当为锐角三角形时

过作单位向量垂直于，则+=

两边同乘以单位向量，得(+)=，

即

∴，

∵，，，，，

∴，   ∴，

同理：若过作垂直于得：

 ∴，

（2）当为钝角三角形时

设，过作单位向量垂直于向量，

同样可证得：．

法二：构造直角三角形

（1）当为锐角三角形时

如图，作边上的高线交于，则:

在中, ，即，

在中, ,即,

∴，即.

同理可证

∴

（2）当为钝角三角形时

如图，作边上的高线交于，则:

在中, ，即，

在中, ,即,

∴，即.

同理可证

∴

法三：圆转化法

（1）当为锐角三角形时

如图，圆O是的外接圆，直径为，则，

∴，

∴（为的外接圆半径）

同理：，

故：

（2）当为钝角三角形时

如图，.

法四：面积法

任意斜中，如图作，则

同理：，

故，

两边同除以

即得：

要点诠释：

（1）正弦定理适合于任何三角形；

（2）可以证明（为的外接圆半径）；

（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 

（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

要点三、解三角形的概念

一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.

在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.

有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.

要点四、正弦定理在解三角形中的应用

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

要点诠释：

已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；

(1)若A为锐角时：

如图：

(2)若A为直角或钝角时：

判断三角形形状

判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等

要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.

【典型例题】

类型一：正弦定理的简单应用：

【高清课堂：正弦定理 例1】

例1．已知在中，，，，求和B.

【解析】，  

∴，

∴ ，

又，

∴．

【总结升华】

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.■

举一反三：

【变式1】中，，BC＝3，则的周长为（  ）

A． B．C．  D．

【答案】由正弦定理得：，

   得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选D．

【总结升华】由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除A、B、C．而选D．

【变式2】在中，已知，，，求、.

【答案】，

根据正弦定理，∴.

【变式3】（2016  岳阳校级模拟改编）在中，A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于（     ）

【答案】在中，若，又

      所以.

       由正弦定理可知： 。

  . 例2．在，求：和，．

【解析】由正弦定理得：，

∴，

（方法一）∵，  ∴或，

当时，，（舍去）；

当时，，∴．

（方法二）∵，，  ∴，

 ∴即为锐角，  ∴，

∴．

【总结升华】

1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.

3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.

举一反三：

【高清课堂：正弦定理 例3】

【变式1】在中，， ，，求和．

【答案】∵，  ∴，

∵，   ∴或

∴当时，，；

∴当时，，；

所以，或．

【变式2】在中，，, , 求.

【答案】由正弦定理，得.

∵,   ∴，即

∴

类型二：正弦定理的综合运用

例3. （2015  湖南高考）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角。

(1)证明：

（2）求的取值范围。

【答案】（1）详见解析；（2）（，].

【思路点拨】

（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为sinB=sin（+A），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.

【解析】

（1）由a=btanA及正弦定理，得,所以sinB=cosA，即sinB=sin（+A）.

又B为钝角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=；

（2）由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A>0，所以A，于是sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2（sinA-）+，因为0<A<,所以0<sinA<,因此<-2

由此可知sinA+sinC的取值范围是（，].

【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。

举一反三：

【变式1】（2015  新课标Ⅱ文）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.

（I）求 ；

（II）若,求.

【答案】（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分∠BAC，BD=2DC，所以

    （Ⅱ）因为∠C=180°－(∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，

    所以 由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，所以，∠B=30°.

【变式2】（2016  浙江文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．

（Ⅰ）证明：A=2B；

（Ⅱ）若cos B=，求cos C的值．

【答案】 （1）由正弦定理得，

故，

于是，，

又，故，所以或，

因此，（舍去）或，

所以，.

（2）由，得，，

故，，

.

【高清课堂：正弦定理 例5】

【变式3】 在△ABC中，c= ，∠C=30°,求a+b的最大值。

【答案】因为

所以

∠A+∠B=180°－∠C=150°，

从而

所以a+b的最大值为

类型三：利用正弦定理判断三角形的形状

例4.在中，若试判断的形状。

【解析】由已知条件及正弦定理可得，

为三角形的内角，，，

或，

所以为等腰三角形或直角三角形。

【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。

【变式】在△ABC中，试判断三角形的形状

【答案】利用正弦定理将边转化为角.

∵又

∴∴ ∴

∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴  即

故此三角形是等腰三角形.