知识讲解_两角差的余弦公式_基础练习题

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两角差的余弦公式编稿：丁会敏  审稿：王静伟【学习目标】1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础.3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。【要点梳理】要点一：两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式的推导：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则由向量数量积的概念，有，结合向量数量积的坐标表示，有所以= （*）（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。为此，我们讨论如下：由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。①若，则。②若，则，且由以上的讨论可知，对于任意的，都有：=   2．公式的记忆右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。要点诠释：(1)公式中的都是任意角。(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1．逆用 =要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到。2．角变换后使用。3．移项运用4．特殊化使用5．以代即【典型例题】类型一：利用差角的余弦公式进行证明高清课堂：两角差的余弦公式 401789 例1例1．求证：（1）（2）【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开。（2）利用及两角和的余弦公式可证得。【证明】（1）=             = （2）                =                =                =                =举一反三：【变式1】证明：             =             =             =             =             =类型二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式例2．化简：【答案】 0 【解析】原式。【总结升华】化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。对于三角函数式的化简，要求：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数的种类最少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母中不含有三角函数；（5）尽量使被开方数不含有三角函数。对于本题我们看到，化简前与化简后相比，化简后显然简洁得多，而且关系也清晰得多。举一反三：【变式1】化简：。【答案】 【解析】原式=    =    =    =    = 类型三：利用差角的余弦公式求值 例3．求值：（1）（2）（3）cos(－35°)·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；【思路点拨】（1）利用求解（2）利用两角差的余弦公式（3）把－35°和25°+看作一个整体，利用两角差的余弦公式。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）            =            =（2）原式（3）原式。【总结升华】两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（3）中的（）可视为一个整体。分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型。  举一反三：【变式1】求值：cos15°cos105°+sin15°sin105°【解析】原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0【变式2】求值：【解析】原式=         =         =         =         =  例4．已知【思路点拨】若展开，又由，从而可得出关于的方程求解.经观察：，故又可直接由代入求解.【答案】【解析】由由故【总结升华】 仔细分析角与角之间的关系是利用两角差的余弦公式求值的关系，解这类题时要“一看角、二看名、三看结构”。举一反三：【变式1】已知，，求。【答案】【解析】  ∵，，∴，则。【总结升华】依据角的范围确定函数的符号，再利用差角公式求解，是一种常见的题型。【变式2】已知，，。求。【答案】【解析】  由题意得，。∴，，∴。