广东省梅州市兴宁市2021-2022学年高一上学期综合能力竞赛模拟数学试题含答案

这是一份广东省梅州市兴宁市2021-2022学年高一上学期综合能力竞赛模拟数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了函数的值域为 ，已知，已知．，函数的值域为________等内容，欢迎下载使用。

满分：120分 考试时间：90分钟
参考答案
1.已知函数对任意的满足，且当时，，若有个零点，则实数的取值范围是 ．
解析：∵，∴函数是偶函数，∵，
根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，
即，∴，解得a＞2，
即实数a的取值范围（2，+∞），故答案为：（2，+∞）
2.函数的值域为 .
答案：
3.已知.若时，恒成立，则实数的取值范围为________．
解析：因为时，恒成立，
所以时，，即恒成立.
所以时，恒成立.设，则，.
由在上为增函数，知的值域为.
所以，即的取值范围为.
4.已知是锐角三角形的外接圆圆心，，若，则的值为________．
解析：设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，由tan A＝，A为锐角，得sin A＝，cs A＝.由＋＝2m两边平方得，c2＋b2＋2·＝4R2m2(R为△ABC外接圆的半径)．由正弦定理得cs2B＋cs2C＋2csBcsC·cs A＝m2，①又cs C＝－cs(B＋A)＝sin Asin B－cs A·cs B，则cs C＝sin B－cs B，② 将②代入①并化简得m2＝，由已知得m>0，∴m＝.
5.已知函数，，且对任意的，都存在，使，则实数的取值范围是__________

9.已知为递增的等比数列，且，．，数列的前项和为，求证：对一切正整数均有．
【解析】设的公比为．由，，知，． ． ．
故时，．
时，．
又时，．所以对一切正整数均有．
10.已知．
（1）当时，求；
（2）若，求当为何值时，的最小值为．
解析：（1）．
（2）
.令，
则，且，所以．
所以可化为，对称轴．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当，即时，
，
由，得，所以．因为，所以此时无解．
②当，即时
．
由，得．
③当，即时，
．
由，得，所以．
因为，所以此时无解．综上所述，当时，的最小值为．
11.已知是定义在上的奇函数，且，若 时，有.
（1）求证：在上为增函数；
（2）求不等式的解集；
（3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）证明：任取且，
则
∴，∴为增函数.
（2）
即不等式的解集为.
（3）由于为增函数，
∴的最大值为对恒成立
对的恒成立,
设，则.
又
，
.
所以实数t的取值范围为
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．
1.已知函数对任意的满足，且当时，，若有个零点，则实数的取值范围是 ．
2.函数的值域为 .
3.已知.若时，恒成立，则实数的取值范围为________．
4.已知是锐角三角形的外接圆圆心，，若，则的值为________．
5.已知函数，，且对任意的，都存在，使，则实数的取值范围是______.
6.函数的值域为________.
7.在中,,则的最小值为______.
8.在中，,的平分线交于,且有,．若，则______．
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分16分）已知为递增的等比数列，且，．，数列的前项和为，求证：对一切正整数均有．
10.（本题满分20分）已知．
（1）当时，求；
（2）若，求当为何值时，的最小值为．
11.（本题满分20分）已知是定义在上的奇函数，且，若 时，有.
（1）求证：在上为增函数；
（2）求不等式的解集；
（3）若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
6.函数的值域为________________
探究一：三角代换法
分析：由联想到，故尝试用三角函数换元法。
解：令,，
则，
设，
。
探究二：分母置换法
分析：令，经过代换可知原式是关于的二次函数，再根据二次函数的图像特征可求其取值范围。
解：设，则，且，故，
当时，，
，，
当时，，
，，
因此，。
探究三：向量法
分析：本题为根式和整式的商，联想到向量的夹角公式有：若则，因此本题可以先求其倒数的取值范围，再求原函数的值域。
解：令，则，
由，得，
记，如右图，
，为的三种情况，
经观察知，
，
，
。
7.在中,,则的最小值为______.
【答案】【解析】由，知于是
注意到
，
当且仅当时等号成立.于是，，所以，所求的最小值是.故答案为：
8.在中，,的平分线交于,且有,．若，则______．
【答案】
【解析】过点于点于点，
由题设，所以．(角平分线)
因此，所以，因此．
所以．
由此得．