2021-2022学年上学期长沙初中数学七年级期末典型试卷1

这是一份2021-2022学年上学期长沙初中数学七年级期末典型试卷1，共29页。
2021-2022学年上学期长沙初中数学七年级期末典型试卷1
一．选择题（共12小题）
1．（2020秋•南海区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（　　）
A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚
2．（2019秋•雨花区期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（﹣1）与1 B．（﹣1）2与1 C．|﹣1|与1 D．﹣12与1
3．（2012•泸州）将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）

A． B．
C． D．
4．（2019秋•雨花区校级期末）下列结论正确的是（　　）
A．abc的系数是0
B．1﹣3x2﹣x中二次项系数是1
C．﹣ab3c的次数是5
D．-23x4y2的次数是5
5．（2020秋•天心区期末）下列说法正确的是（　　）
A．a+b2是单项式 B．x2+2x﹣1的常数项为1
C．2mn3的系数是2 D．xy的次数是2次
6．（2020秋•天心区期末）将多项式﹣3x﹣4x3+9x2+6按降幂排列，正确的是（　　）
A．4x3﹣3x+9x2+6 B．6﹣3x+9x2﹣4x3
C．﹣4x3+9x2+3x+6 D．﹣4x3+9x2﹣3x+6
7．（2020秋•天心区期末）如果单项式﹣2xa﹣1y3与12x2yb+1是同类项，那么a+b的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2020秋•高明区校级期末）方程2-2x-43=x-76去分母得（　　）
A．2﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣2（2x﹣4）＝﹣x﹣7
C．12﹣2（2x﹣4）＝x﹣7 D．12﹣4x﹣8＝﹣（x﹣7）
9．（2019秋•望城区期末）把一副三角板按如图方式的位置摆放，则形成两个角，设分别是∠α，∠β，若∠α＝55°，则∠β＝（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
10．（2019秋•望城区期末）如图所示，在直线PQ上要找一点C，且使PC＝3CQ，则点C应在（　　）

A．PQ之间找
B．在点P左边找
C．在点Q右边找
D．在PQ之间或在点Q右边找
11．（2020秋•天桥区期末）一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（　　）
A．（1+50%）x×80%＝x﹣28 B．（1+50%）x×80%＝x+28
C．（1+50%x）×80%＝x﹣28 D．（1+50%x）×80%＝x+28
12．（2019•兰陵县一模）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）
A．110 B．158 C．168 D．178
二．填空题（共5小题）
13．（2019秋•雨花区校级期末）有理数2019的倒数为　 　．
14．（2010•晋江市）若∠A＝35°，则∠A的余角等于　 　度．
15．（2020秋•天心区期末）已知m2+2mn＝13，3mn+2n2＝21，则2m2+7mn+2n2﹣44的值为　 　．
16．（2020秋•天心区期末）植物园内，月季花按正方形种植，在它的周围种植牵牛花，如图反映了月季花的列数（n）和牵牛花的数量规律，那么当n＝11时，牵牛花的数量为　 　．

17．（2020秋•天心区期末）如图1，是三阶幻方（从1到9，一共九个数，它们每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数之和均相等）．如图2，已知此幻方中的一些数，则图2中9个格子中的数之和为　 　．（用含a的式子表示）

三．解答题（共8小题）
18．（2019秋•望城区期末）解方程：x+73=1+x-12．
19．（2019秋•望城区期末）已知A＝2x2+3xy﹣4，B＝x2﹣xy+8．
（1）若（x﹣2）2+|3y﹣1|＝0，求3A﹣6B的值；
（2）若3A﹣6B的值与y的值无关，求x的值．
20．（2019秋•雨花区期末）化简求值：2（3a﹣1）﹣3（2﹣5a+3a2），其中a=-13
21．（2019秋•雨花区校级期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，∠A与∠AEF互补，以下是证明CD∥EF的推理过程及理由，请你在横线上补充适当条件，完整其推理过程或理由．
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴∠ABD＝∠CDB＝　 　．（　 　）
∴∠ABD+∠CDB＝180°
∴AB∥　 　（　 　）
又∠A与∠AEF互补 （　 　）
∠A+∠AEF＝　 　
∴AB∥　 　．（　 　）
∴CD∥EF （　 　）

22．（2021•商河县校级模拟）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？
（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？
23．（2020秋•天心区期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了3小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．
24．（2020秋•天心区期末）某城乡居民使用自来水按如下标准收费：（水费按月缴纳）
户月用水量
不超过12m3的部分
超过12m3但不超过20m3的部分
超过20m3的部分
收费标准（元/m3）
a
1.5a
2a
（1）设某户每月用水量为bm3，当b不超过12m3时，该用户应缴纳的水费是　 　元；当b超过12m3但不超过20m3时，该用户应缴纳的水费是　 　元；当b超过20m3，该用户应缴纳的水费是　 　元．（用含a，b的整式表示）
（2）当a＝2时，该城市居民一个月用水多少立方米时，当月平均水费为2.8元/m3．
25．（2020秋•天心区期末）若同一平面内三条射线OA、OB、OC有公共端点，且满足∠AOC=12∠BOC时，我们称OC是（OA，OB）的“新风尚线”，但OC不是（OB，OA）的“新风尚线”．如果∠AOC=12∠BOC或者∠BOC=12∠AOC，我们称OC是OA和OB的“新风尚线”．
（1）如图（1），已知∠GON＝120°，∠MON＝60°，OE、OF是∠MON的三等分线，则射线 　 　是（OM，ON）的“新风尚线”；
（2）如图（2），若∠AOB＝30°，OC是（OA，OB）的“新风尚线”，则∠BOC＝　 　°；
（3）如图（3），若∠AOB＝80°，射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒8°的速度向射线OB旋转，求射线OP成为两条射线OA和OQ的“新风尚线”时，射线OP旋转的时间t（单位：秒）的值．（0＜t＜18）


2021-2022学年上学期长沙初中数学七年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2020秋•南海区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（　　）
A．1枚 B．2枚 C．3枚 D．任意枚
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
【解答】解：∵两点确定一条直线，
∴至少需要2枚钉子．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．
2．（2019秋•雨花区期末）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（﹣1）与1 B．（﹣1）2与1 C．|﹣1|与1 D．﹣12与1
【考点】相反数；绝对值；有理数的乘方．
【专题】计算题．
【分析】根据相反数得到﹣（﹣1），根据乘方得意义得到（﹣1）2＝1，﹣12＝﹣1，根据绝对值得到|﹣1|＝1，然后根据相反数的定义分别进行判断．
【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1，所以A选项错误；
B、（﹣1）2＝1，所以B选项错误；
C、|﹣1|＝1，所以C选项错误；
D、﹣12＝﹣1，﹣1与1互为相反数，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数：a的相反数为﹣a．也考查了绝对值与有理数的乘方．
3．（2012•泸州）将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】点、线、面、体．
【分析】根据直角梯形上下底不同得到旋转一周后上下底面圆的大小也不同，进而得到旋转一周后得到的几何体的形状．
【解答】解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕直线l旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台．
故选：D．
【点评】本题属于基础题，主要考查学生是否具有基本的识图能力，以及对点、线、面、体之间关系的理解．
4．（2019秋•雨花区校级期末）下列结论正确的是（　　）
A．abc的系数是0
B．1﹣3x2﹣x中二次项系数是1
C．﹣ab3c的次数是5
D．-23x4y2的次数是5
【考点】单项式；多项式．
【专题】整式；数感．
【分析】根据多项式和单项式的次数和系数的定义即可作出判断．
【解答】解：A、abc的系数是1，选项错误；
B、1﹣3x2﹣x中二次项系数是﹣3，选项错误；
C、﹣ab3c的次数是5，选项正确；
D、-23x4y2的次数是6，选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查的是多项式和单项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
5．（2020秋•天心区期末）下列说法正确的是（　　）
A．a+b2是单项式 B．x2+2x﹣1的常数项为1
C．2mn3的系数是2 D．xy的次数是2次
【考点】单项式；多项式．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用多项式的次数、常数项的定义、单项式的次数与系数定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、a+b2是多项式，故此选项错误；
B、x2+2x﹣1的常数项为﹣1，故此选项错误；
C、2mn3的系数是23，故此选项错误；
D、xy的次数是2次，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了多项式和单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
6．（2020秋•天心区期末）将多项式﹣3x﹣4x3+9x2+6按降幂排列，正确的是（　　）
A．4x3﹣3x+9x2+6 B．6﹣3x+9x2﹣4x3
C．﹣4x3+9x2+3x+6 D．﹣4x3+9x2﹣3x+6
【考点】多项式．
【专题】整式；模型思想．
【分析】先分清各项，然后按降幂排列的定义解答．
【解答】解：将多项式﹣3x﹣4x3+9x2+6按降幂排列为﹣4x3+9x2﹣3x+6．
故选：D．
【点评】本题考查了多项式幂的排列．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
7．（2020秋•天心区期末）如果单项式﹣2xa﹣1y3与12x2yb+1是同类项，那么a+b的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：由题意得：a﹣1＝2，b+1＝3，
∴a＝3，b＝2，
∴a+b＝3+2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项的定义．
8．（2020秋•高明区校级期末）方程2-2x-43=x-76去分母得（　　）
A．2﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣2（2x﹣4）＝﹣x﹣7
C．12﹣2（2x﹣4）＝x﹣7 D．12﹣4x﹣8＝﹣（x﹣7）
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程左右两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程去分母得：12﹣2（2x﹣4）＝x﹣7．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
9．（2019秋•望城区期末）把一副三角板按如图方式的位置摆放，则形成两个角，设分别是∠α，∠β，若∠α＝55°，则∠β＝（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
【考点】余角和补角．
【分析】根据平角定义可得∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，再利用∠α＝55°可得∠β的度数．
【解答】解：∵∠1＝90°，
∴∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，
∵∠α＝55°，
∴∠β＝35°，
故选：B．

【点评】此题主要考查了余角，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
10．（2019秋•望城区期末）如图所示，在直线PQ上要找一点C，且使PC＝3CQ，则点C应在（　　）

A．PQ之间找
B．在点P左边找
C．在点Q右边找
D．在PQ之间或在点Q右边找
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】结合图形，发现：要使PC＝3CQ，则点C是线段的一个四等分点或使点C在点Q右边即可．
【解答】解：如图所示，

故选：D．
【点评】此题要注意考虑两种情况，即点C在线段PQ上或线段PQ的延长线上．
11．（2020秋•天桥区期末）一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（　　）
A．（1+50%）x×80%＝x﹣28 B．（1+50%）x×80%＝x+28
C．（1+50%x）×80%＝x﹣28 D．（1+50%x）×80%＝x+28
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】销售问题；应用意识．
【分析】根据售价的两种表示方法解答，关系式为：标价×80%＝进价+28，把相关数值代入即可．
【解答】解：标价为：x（1+50%），
八折出售的价格为：（1+50%）x×80%；
∴可列方程为：（1+50%）x×80%＝x+28，
故选：B．
【点评】考查列一元一次方程；根据售价的两种不同方式列出等量关系是解决本题的关键．
12．（2019•兰陵县一模）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）
A．110 B．158 C．168 D．178
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】观察不难发现，左上角、左下角、右上角为三个连续的偶数，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去左上角的数的差，根据此规律先求出阴影部分的两个数，再列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，
∵8＝2×4﹣0，22＝4×6﹣2，44＝6×8﹣4，
∴m＝12×14﹣10＝158．
故选：B．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
13．（2019秋•雨花区校级期末）有理数2019的倒数为　12019　．
【考点】倒数．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据倒数之积等于1可得答案．
【解答】解：2019的倒数是12019，
故答案为：12019．
【点评】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．
14．（2010•晋江市）若∠A＝35°，则∠A的余角等于　55　度．
【考点】余角和补角．
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余，据此即可求解．
【解答】解：90°﹣35°＝55°．
故答案是：55．
【点评】本题主要考查了余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键．
15．（2020秋•天心区期末）已知m2+2mn＝13，3mn+2n2＝21，则2m2+7mn+2n2﹣44的值为　3　．
【考点】代数式求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】直接利用已知将原式变形，进而代入已知数据求出答案．
【解答】解：∵m2+2mn＝13，3mn+2n2＝21，
∴2m2+7mn+2n2﹣44
＝2m2+4mn+3mn+2n2﹣44
＝2（m2+2mn）+（3mn+2n2）﹣44
＝2×13+21﹣44
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
16．（2020秋•天心区期末）植物园内，月季花按正方形种植，在它的周围种植牵牛花，如图反映了月季花的列数（n）和牵牛花的数量规律，那么当n＝11时，牵牛花的数量为　48　．

【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；整式；几何直观．
【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n＝11时的牵牛花的数量．
【解答】解：由图可得，
当n＝1时，牵牛花的数量为：4×2＝8，
当n＝2时，牵牛花的数量为：4×3＝12，
当n＝3时，牵牛花的数量为：4×4＝16，
当n＝4时，牵牛花的数量为：4×5＝20，
…，
故牵牛花的数量为4（n+1），
∴当n＝11时，牵牛花的数量为4×12＝48，
故答案为：48．
【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律．
17．（2020秋•天心区期末）如图1，是三阶幻方（从1到9，一共九个数，它们每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数之和均相等）．如图2，已知此幻方中的一些数，则图2中9个格子中的数之和为　9a﹣27　．（用含a的式子表示）

【考点】列代数式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】结合图1，找到图2含a的式子的对应位置进行填写即可求解．注意9个格子中的数之和为中间数的9倍．
【解答】解：
则图2中9个格子中的数之和为9（a﹣3）＝9a﹣27．
故答案为：9a﹣27．
【点评】本题考查了列代数式，解此题的关键是找到图1和图2之间的关系．
三．解答题（共8小题）
18．（2019秋•望城区期末）解方程：x+73=1+x-12．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：去分母，可得：2（x+7）＝6+3（x﹣1），
去括号，可得：2x+14＝6+3x﹣3，
移项，可得：2x﹣3x＝6﹣3﹣14，
合并同类项，可得：﹣x＝﹣11，
系数化为1，可得：x＝11．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
19．（2019秋•望城区期末）已知A＝2x2+3xy﹣4，B＝x2﹣xy+8．
（1）若（x﹣2）2+|3y﹣1|＝0，求3A﹣6B的值；
（2）若3A﹣6B的值与y的值无关，求x的值．
【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）把A与B代入3A﹣6B中，去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值；
（2）由（1）化简的结果，根据3A﹣6B的值与y的值无关，确定出x的值即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2+|3y﹣1|＝0，
∴x＝2，y=13，
∴3A﹣6B＝3（2x2+3xy﹣4）﹣6（x2﹣xy+8）
＝6x2+9xy﹣12﹣6x2+6xy﹣48
＝15xy﹣60，
当x＝2，y=13时，
原式＝15×2×13-60
＝10﹣60
＝﹣50；
（2）由（1）知3A﹣6B＝15xy﹣60，
∴当x＝0时，3A﹣6B的值与y的值无关．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2019秋•雨花区期末）化简求值：2（3a﹣1）﹣3（2﹣5a+3a2），其中a=-13
【考点】整式的加减—化简求值．
【分析】本题的关键是化简，然后把给定的知代入求值．
【解答】解：原式＝6a﹣2﹣6+15a﹣9a2＝21a﹣9a2﹣8，
把a=-13代入，原式＝21×（-13）﹣9×（-13）2﹣8＝﹣7﹣1﹣8＝﹣16．
【点评】考查了整式的混合运算，主要考查了整式的乘法、合并同类项的知识点．注意符号的处理．
21．（2019秋•雨花区校级期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，∠A与∠AEF互补，以下是证明CD∥EF的推理过程及理由，请你在横线上补充适当条件，完整其推理过程或理由．
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴∠ABD＝∠CDB＝　90°　．（　垂直的定义　）
∴∠ABD+∠CDB＝180°
∴AB∥　CD　（　同旁内角互补，两直线平行　）
又∠A与∠AEF互补 （　已知　）
∠A+∠AEF＝　180°　
∴AB∥　EF　．（　同旁内角互补，两直线平行　）
∴CD∥EF （　平行于同一条直线的两条直线平行　）

【考点】余角和补角；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据平行线的判定与性质解答即可．
【解答】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴∠ABD＝∠CDB＝90°．（垂直的定义）
∴∠ABD+∠CDB＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
又∠A与∠AEF互补 （已知）
∴∠A+∠AEF＝180°（互补的定义）
∴AB∥EF（ 同旁内角互补，两直线平行）
∴CD∥EF （平行于同一条直线的两条直线平行）；
故答案为：90°；垂直的定义；CD；同旁内角互补，两直线平行；已知；180°；EF； 同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
22．（2021•商河县校级模拟）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？
（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，根据甲乙两种灯的总进价为37000元列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设乙型节能灯需打a折，根据利润＝售价﹣进价列出a的一元一次方程，求出a的值即可．
【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，
由题意，得25x+45（1000﹣x）＝37000
解得：x＝400
购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600（只）
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．

（2）设乙型节能灯需打a折，
0.1×60a﹣45＝45×20%，
解得a＝9，
答：乙型节能灯需打9折．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
23．（2020秋•天心区期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了3小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】等量关系为：顺水时间×顺水速度＝逆水的时间×逆水速度，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设船在静水中的平均速度是v千米/时．
则：2（v+3）＝3（v﹣3）
解得：v＝15．
答：船在静水中的平均速度是15千米/时．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．
24．（2020秋•天心区期末）某城乡居民使用自来水按如下标准收费：（水费按月缴纳）
户月用水量
不超过12m3的部分
超过12m3但不超过20m3的部分
超过20m3的部分
收费标准（元/m3）
a
1.5a
2a
（1）设某户每月用水量为bm3，当b不超过12m3时，该用户应缴纳的水费是　ab　元；当b超过12m3但不超过20m3时，该用户应缴纳的水费是　（1.5ab﹣6a）　元；当b超过20m3，该用户应缴纳的水费是　（2ab﹣16a）　元．（用含a，b的整式表示）
（2）当a＝2时，该城市居民一个月用水多少立方米时，当月平均水费为2.8元/m3．
【考点】列代数式；代数式求值；一元一次方程的应用．
【专题】销售问题；应用意识．
【分析】（1）根据自来水收费标准列出算式计算即可求解；
（2）由题意可知，要使月平均水费为2.8元/m3，则该用户用水超过20m3，可设该城市居民一个月用水x立方米，根据水费是一定的，列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）设某户每月用水量为bm3，当b不超过12m3时，该用户应缴纳的水费是ab元；当b超过12m3但不超过20m3时，该用户应缴纳的水费是12a+1.5a（b﹣12）＝（1.5ab﹣6a）元；当b超过20m3，该用户应缴纳的水费是12a+1.5a×（20﹣12）+2a（b﹣20）＝（2ab﹣16a）元．（用含a，b的整式表示）
故答案为：ab；（1.5ab﹣6a）；（2ab﹣16a）；
（2）由题意可知，要使月平均水费为2.8元/m3，则该用户用水超过20m3，
设该市某户居民月用水y立方米时，依题意有
2.8y＝12×2+3×8+4（y﹣20），
解得y=803．
故该城市居民一个月用水803立方米时，当月平均水费为2.8元/m3．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系．
25．（2020秋•天心区期末）若同一平面内三条射线OA、OB、OC有公共端点，且满足∠AOC=12∠BOC时，我们称OC是（OA，OB）的“新风尚线”，但OC不是（OB，OA）的“新风尚线”．如果∠AOC=12∠BOC或者∠BOC=12∠AOC，我们称OC是OA和OB的“新风尚线”．
（1）如图（1），已知∠GON＝120°，∠MON＝60°，OE、OF是∠MON的三等分线，则射线 　OE，OG　是（OM，ON）的“新风尚线”；
（2）如图（2），若∠AOB＝30°，OC是（OA，OB）的“新风尚线”，则∠BOC＝　20或60　°；
（3）如图（3），若∠AOB＝80°，射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒8°的速度向射线OB旋转，求射线OP成为两条射线OA和OQ的“新风尚线”时，射线OP旋转的时间t（单位：秒）的值．（0＜t＜18）

【考点】一元一次方程的应用；角的计算．
【专题】创新题型；模型思想．
【分析】（1）算出每个角度，需要考虑新风尚线在∠MON的内部和外部两种情况．
（2）根据新风尚线的定义求解，注意分类讨论新风尚线在∠MON的内部和外部两种情况．
（3）根据OP，OQ运动到不同位置的多种可能来求解．
【解答】解：（1）∠GOM=12∠GON＝60°，
∴OG是（OM，ON）的新风尚线；
∠MOE=12∠NOE＝20°，
∴OE是（OM，ON）的新风尚线；
故答案为：OE，OG．
（2）当OC在∠AOB外部，∠AOC=12∠BOC＝∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝60°，
当OC在∠AOB内部，∠AOC=12∠BOC，
又∵∠AOB＝30°，即∠AOC+∠BOC＝30°，
∴∠BOC＝20°，
故答案为：20°或60°．
（3）情况1，OP不可能是（OA，OQ）的新风尚线，而OP是（OQ，OA）的新风尚线，
则∠QOP=12∠AOP，即80﹣18t=12（80﹣10t），
∴t=4013；
情况2，若OP是（OQ，OA）的新风尚线，则∠QOP=12∠AOP，
18t﹣80=12（80﹣10t），
∴t=12023；
若OP是（OA，OQ）的新风尚线，则∠AOP=12∠QOP，
（80﹣10t）=12（18t﹣80），
∴t=12019；
情况3，OP不可能是（OQ，OA）的新风尚线，所以 OP是（OA，OQ）的新风尚线，则有∠AOP=12∠QOP，
10t﹣80=12（18t﹣80），
∴t＝40（舍）；
情况4，OP是（OQ，OA）的新风尚线，则∠QOP=12∠AOP，
440﹣18t=12（10t﹣80），
∴t=48023（舍）；
若OP是（OA，OQ）的新风尚线，则∠AOP=12∠QOP，
10t﹣80=12（440﹣18t），
∴t=30019．
综上所述，时间（单位：秒）的值为4013，12023，12019，30019．
【点评】本题考查了新定义，准确理解新风尚线的含义是关键，再有就是和行程问题的结合，数形结合，会用行程公式列方程很重要，还要分情况讨论，避免遗漏．

考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．

【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

6．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
7．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
8．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
9．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
10．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
11．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
12．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
13．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
14．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
15．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
16．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
17．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
18．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
19．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
20．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
21．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
22．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
23．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．