专题18 等差数列与等比数列 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题18 等差数列与等比数列 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共35页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc87938489" 常考点01 等差数列的基本运算 PAGEREF _Tc87938489 \h 1
\l "_Tc87938490" 常考点02 等差数列的判定与证明 PAGEREF _Tc87938490 \h 4
\l "_Tc87938491" 常考点03 等差数列的性质及应用 PAGEREF _Tc87938491 \h 7
\l "_Tc87938492" 常考点04 等差数列中的最值问题 PAGEREF _Tc87938492 \h 10
\l "_Tc87938493" 常考点05 等比数列的基本运算 PAGEREF _Tc87938493 \h 13
\l "_Tc87938494" 常考点06 等比数列的判定与证明 PAGEREF _Tc87938494 \h 15
\l "_Tc87938495" 常考点07 等比数列的性质及应用 PAGEREF _Tc87938495 \h 18
\l "_Tc87938496" 常考点08 等比数列的最值问题 PAGEREF _Tc87938496 \h 20
\l "_Tc87938497" 常考点09 传统文化中的数列问题 PAGEREF _Tc87938497 \h 23
\l "_Tc87938498" 易错点01忽视等比数列公比的偶次方为正数 PAGEREF _Tc87938498 \h 27
\l "_Tc87938499" 易错点02求数列最值忽略n为正整数 PAGEREF _Tc87938499 \h 27
\l "_Tc87938500" 易错点03利用等比数列求和忽略q=1的情况 PAGEREF _Tc87938500 \h 27
\l "_Tc87938501" 易错点04忽略等比数列各项均不为零 PAGEREF _Tc87938501 \h 28
\l "_Tc87938502" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc87938502 \h 29
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 等差数列的基本运算
【典例1】（2020·全国高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【解析】是等差数列，且， 设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：可得
即：整理可得： 解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：.故答案为：.
【典例2】（2019·全国高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】由题知，，解得，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
【技巧点拨】1．活用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
3.等差数列的前n项和公式
若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.
【变式演练1】（2021·四川遂宁市）已知等差数列满足，则它的前8项的和（ ）
A．70B．C．D．105
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为．由，得，解得，．
所以．故选：．
【变式演练2】（2021·河南高三）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】由，得.又，所以.故选：B
【变式演练3】（2018·全国高考真题（理））设为等差数列的前项和，若，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
常考点02 等差数列的判定与证明
【典例1】（2021·全国高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】∵数列是等差数列，设公差为
∴， ∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴∴是等差数列.
【典例2】（2021·全国高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【解析】
选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列.
【详解】选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以.
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，所以公差，
所以，即，
因为，所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
【技巧点拨】
1.等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
(5)是等差数列⇔是等差数列.
2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，
即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
（2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．
（3）形如an＋1＝eq \f(kan,man＋k)的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法.
【变式演练1】（2021·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析，；
【解析】由题意知是1与的等差中项，可得，
可得，则，可得，
又由，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
可得，解得，即的通项公式.
【变式演练2】（2021·浙江温州市·高三三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析；
【解析】证明：由题知，即有，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，
当时，
，当时，也符合题意，
所以，又，所以：；
【变式演练3】（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知数列的前项和为，满足(，为常数)，且，则___________；设函数，，则数列的前17项和为___________.
【答案】 17
【解析】化简函数解析式得，由可得是首项为，公差为的等差数列，又，所以，即，再首尾相加求和即可得解.
【详解】当时，.
又当时，，满足，所以，
所以数列为等差数列，故.由题意得，
所以
，
同理，，…，.又易得，
所以数列的前17项和为. 故答案为：①；②17
常考点03 等差数列的性质及应用
【典例1】（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，则（ ）
A．64B．128C．32D．256
【答案】B
【详解】因为为常值，故，则故故答案选B
【典例2】（2021·河南洛阳市）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由等差数列的前项和性质，
得：，，也成等差数列，即，
又因，，则解得，因此.故选：C.
【技巧点拨】
等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n项和公式求解．要注意等差数列前n项和公式的灵活应用。
如等
【变式演练1】（2021·山西临汾市）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28B．34C．40D．44
【答案】D
【解析】因为，所以由，可得所以，
所以，故选：D
【变式演练2】（2021·全国高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为等差数列，的前项和分别为和，且，
所以可设，，
所以，，所以.故选：A
【变式演练3】（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
常考点04 等差数列中的最值问题
【典例1】（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
【典例2】（2021·全国高三其他模拟）等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A． B．的前项和中最小
C．的最小值为-49 D．的最大值为0
【答案】BC
【解析】由已知条件先计算出和，然后计算的值对A进行判断；求出的表达式，计算最小值即可对B进行判断；求出的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出的表达式对D进行判断.
【详解】设数列的公差为d，则
解得，，A错误；
，当n=5时取得最小值，故B正确；
，设函数，
则，当时，，当时，，
所以，，且，，所以最小值为-49，C正确；
，没有最大值，D错误．故选：BC
【技巧点拨】
1．求等差数列前项和的最值，常用的方法：
（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
当，时，有最大值；当满足的项数使得取最大值，
当，时，有最小值；当满足的项数使得取最小值.
（2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；递减）；
2. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
3.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
【变式演练1】（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前n项和最大.则当时，___________.
【答案】
【解析】首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】解：由题意可知，，解得，又，则，
所以，.由，得，
解得或(舍)，故故答案为：20.
【变式演练2】（2021·吉林长春市）等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，则，
又，则，则
因此，故取最大值时的n值为7故选：A.
【变式演练3】（2021·全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【解析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
常考点05 等比数列的基本运算
【典例1】（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列
∴，∴，∴.故选：A.
【典例2】（2020·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.故选：D.
【技巧点拨】
1.求解等比数列的基本量要用好方程的思想：等比数列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想解决问题.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
【变式演练1】（2021·临川一中实验学校）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比是（ ）
A．8B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】由，所以，.故选：D.
【变式演练2】（2021·陕西西安市）等比数列中，，．设为的前项和，若，则的值为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】设公比为，因为，所以，解得或，
当时，，解得；
当时，，无解，故选:B.
【变式演练3】（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
常考点06 等比数列的判定与证明
【典例1】（2021·湖北省·高三模拟）已知数列{an}满足，
（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由递推公式结合等比数列的定义证明即可；（2）累加法求数列的通项公式.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，则，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）知：则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，，
，，则，
即，所以.
【典例2】（2021·浙江金华市·高三三模）已知数列{an}满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
【答案】证明见解析，；
【解析】由已知得4an+1=3an+anan+1, ∵a1≠0，∴由递推关系可得an≠0恒成立，
∴,∴，即,
又∵,∴数列是首项为，公比为的等比数列，
，,；
【技巧点拨】等比数列的判定方法
(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；
(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；
(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．
【变式演练1】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）数列的前项和为，已知，，则___．
【答案】
【解析】由给定条件借助消去，求出即可得解.
【详解】因，，而，则，
于是得，又，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，
从而有，即，，
时，，而满足上式，
所以，.故答案为：
【变式演练2】（2021·全国高三模拟）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析；
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，，
因为，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，.
【变式演练3】（2021·四川成都市）已知各项均为正数的数列满足：，，.若，求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析；
【解析】且，，
，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
，，…，，
各式相加可得：，
，；
常考点07 等比数列的性质及应用
【典例1】（2021·全国高三模拟）等比数列中，，，则的前12项和为（ ）
A．90B．60C．45D．32
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质求得公比，然后再计算和．
【详解】设数列的公比为，则，
所以，同理，
所以．故选：C．
【典例2】（2021·全国高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列
∴，∴，∴.故选：A.
【技巧点拨】
1.等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
2.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．
3.应用等比数列性质解题时的两个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk(q≠－1)．
4.等比数列前n项和Sn相关的结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1＋q)(q≠1且q≠－1)．
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
【变式演练1】（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.故选：C.
【变式演练2】（2021·辽宁沈阳市·高三一模）在正项等比数列中，，则______．
【答案】10
【解析】因为，所以，即，
因为数列是正项数列，所以，故答案为：.
【变式演练3】（2021·陕西渭南市）在等比数列中，是方程的根，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】因为在等比数列中，是方程的根，
所以，所以，
由等比数列的性质得，所以，
所以，故选：B
常考点08 等比数列的最值问题
【典例1】（2021·全国高三二模）已知数列是等比数列，若，则（ ）
A．有最小值B．有最大值C．有最小值D．有最大值
【答案】C
【解析】根据等比中项的性质得，，，代入构造基本不等式的形式，运用基本不等式求得最值.
详解：设等比数列的公比，∵，∴，
∴，∴，，
∴，
当且仅当，即时，取等号，故选：C.
【典例2】（2021·川附属外国语学校高一期末）已知数列满足递推公式.设为数列的前项和，则__________，的最小值是__________.
【答案】；
【解析】因为，所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以；
所以，
所以，
由对勾函数的性质可得，当时，，；
当时，，所以单调递增，
当时，；
所以的最小值是.故答案为：；.
【技巧点拨】
1.在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．
2.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．
3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
【变式演练1】（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
【变式演练2】（2021·全国高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A．S20190.忽略了此隐含条件,就产生了增解－200.
【正解】记b1＝S10,b2＝S20－S10,b3＝S30－S20,b4＝S40－S30,b1,b2,b3,b4是以公比为r＝q10>0的等比数列．∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70,∴r2＋r－6＝0,
∴r＝2,r＝－3(舍去),∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝eq \f(101－24,1－2)＝150.
【纠错笔记】若等比数列{an}的各项为实数,则同号,同号,
易错点02求数列最值忽略n为正整数
【例】已知数列{an}满足a1＝33,an＋1－an＝2n,则eq \f(an,n)的最小值为________．
【错解】2eq \r(33)－1
【错因分析】忽视了n为正整数,直接利用基本不等式求最值.
【正解】an＝n2－n＋33,∴eq \f(an,n)＝n＋eq \f(33,n)－1.又f(x)＝x＋eq \f(33,x)－1(x>0)在[eq \r(33),＋∞)上为增函数,在(0,eq \r(33)]上为减函数．又n∈N*,f(5)＝eq \f(53,5),f(6)＝eq \f(21,2),∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))min＝f(6)＝eq \f(21,2).
【纠错笔记】关于正整数n的对勾函数,使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得,代入检验,便可确定最值．
易错点03利用等比数列求和忽略q=1的情况
【例】求数列的前n项和．
【错解】
【错因分析】忽略考虑的情况
【正解】当时,；
当时,由于,[
两式相减得=
.所以
【纠错笔记】在等比数列求和公式中,若公比未知,则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
易错点04忽略等比数列各项均不为零
【例】若数列是等比数列,则数列 （ ）
A.一定是等比数列 B.一定不是等差数列
C. 可能是等差数列 D.不可能既是等差数列又是等比数列
【错解】A
【错因分析】当时,数列不是等比数列.
【正解】当时,数列不是等比数列,是等差数列,ＡＢ不正确,Ｃ正确,当时数列既是等差数列又是等比数列,故选Ｃ.
【纠错笔记】若数列是等比数列,则时,数列是等比数列.
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2020·全国高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，因此.故选：B.
2.（2021·重庆高三课时练习）以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；
②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
③中，当时，不是等比数列；
④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.
3．（2021·林芝市第二高级中学）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据等差数列公式及性质可得，
所以，所以.故选：D
4．（2021·北大附中深圳南山分校高三一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】，例如，但是数列不单调递增，故不充分；
数列单调递增，例如，但是，故不必要；故选：D
5.（2021·河北省高三期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）
A．6里B．24里C．48里D．96里
【答案】D
【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解可得，则；
即此人第二天走的路程里数为96；故选：D．
6．（2021·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得
.故选：B
7. （2021·全国高三模拟（理））数列中，，，则（ ）
A．2019B．2020C．4039D．4040
【答案】B
分析：根据题中所给的条件，类比着写出，两式相减可得，从而可得数列隔项成等差数列，即其偶数项成等差数列，利用题中条件求得，利用通项公式求得，得到结果.
【解析】∵①，∴②，
②①得，∴数列的偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.
∴.故选：B.
8．（2021·通辽新城第一中学高三）已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最小值
【答案】C
【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；
对于C选项，由可得，，C选项错误；
对于D选项，由可得，且，，，
所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；
对于B选项，，，当时，，
所以，，B选项正确.故选：C.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·广东惠州·高三月考）记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】先由，以及等差数列的性质可得，，然后根据等差数列通项公式，求和公式依次判断即可.
【详解】由，得，
设等差数列的公差为，则有，所以，
所以，所以，，
，由，得，故选：ACD.
10．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高（称为“中央C”）.将每个“八度”（ 如与之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的键调为标准音440Hz时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz）的音可以是此时的钢琴发出的音（ ）
（参考数据：，，，，，）
A．110B．233C．505D．1244
【答案】ABD
【分析】A.由可得答案；对于BCD，通过求出相邻音阶的公比，逐一检验选项即可.
【详解】∵A4 = 440，，故110Hz是A4往左两个“八度”A2键的音，A正确.
设相邻音阶的公比为，则，∴.
而A3 = 220，A4 = 440，A5 = 880，，B正确；
（n∈N*），C不正确；，D正确.故选：ABD.
11．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断错误的有（ ）
A．为等比数列B．为等差数列
C．为等比数列D．若，则
【答案】BC
【分析】对于选项A，利用等比数列的定义判断即可；对于选项B，C，利用举反例的办法判断即可，对于选项D，先求出，，的值，再利用即可求出的值．
【详解】解：令，则，所以是等比数列，选项A正确；
若，则无意义，所以选项B错误；
当时，，此时不是等比数列，所以选项C错误；
若，则，，，
由是等比数列，得，即，解得，所以选项D正确．故选：BC．
12．（2021·湖北·高三期中）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则数列的前10项和为49
C．若，则的最大值为25
D．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为2021
【答案】CD
【分析】由与的关系求出，可判断A；由题意求出数列的前10项可判断B；由等差数列的和结合二次函数的性质可判断C；由等差数列的性质与求和公式可判断D
【详解】对于A：当时，，
当时，，
检验时，所以，故A错误；
对于B：因为，则，
所以数列的前10项和为，故B错误；
对于C：由可知数列是等差数列，则，
易知时，的最大值为25，故C正确；
对于D：由数列为等差数列，且，，所以，
，所以当时，的最大值为2021，故D正确；
故选：CD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】.
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
14.（2021·合肥一六八中学高三模拟）设数列的前n项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式________．
【答案】
【解析】根据偶函数的对称性可以判定函数为唯一零点的横坐标必然为0，进而得到数列的和与项的关系式，利用作差法消和得到项的递推关系，结合首项的求解结果，可以判定此数列是等比数列，然后写出通项公式即可.
【详解】函数在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，为偶函数，其图象关于轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0，（否则公共点则成对出现），即,取得,s所以,当时得到,,即,∴数列为首项为1，公比为2的等比数列，∴,
故答案为：.
15.（2021·浙江湖州高三模拟）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，________．
【答案】3 4
【解析】因为是等差数列，所以 ，解得 ，
所以，
因为的图象开口向上，对称轴为，
由，所以当时，取最小值.故答案为:;.
16．（2018·江苏高考真题）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
详解：设，则
由得
所以只需研究是否有满足条件的解，此时，
，为等差数列项数，且.
由
得满足条件的最小值为.
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（2018·全国高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．
（1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
18．（2021·全国高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.
19.（2019·全国高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
根据题意有，解答，所以，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由条件，得，即，
因为，所以，并且有，所以有，
由得，整理得，
因为，所以有，即，
解得，所以的取值范围是：
20．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；（2）求.
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，，数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
21. （2021·浙江高三模拟）数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．
【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析
【解析】Ⅰ，
当时，，
得，
又，，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，；
证明：Ⅱ，，
时，，，
同理：，故：．
22．（2021·辽宁·高三月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；
（3）若是递增数列，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）由，变形为，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；
（3）根据是递增数列，由,恒成立求解.
【详解】（1）因为，所以，即，
又因为，所以，所以，所以是等比数列．
（2）由，公比为2，得，所以．
（3）因为，所以，
所以，
因为是递增数列，所以成立，
故，成立，即，成立，
因为是递减数列，所以该数列的最大项是，所以的取值范围是．