专题01 集合 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题01 集合 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共33页。

目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc75946331" 常考点01 集合的基本概念 PAGEREF _Tc75946331 \h 1
\l "_Tc75946332" 常考点02 集合间的基本关系 PAGEREF _Tc75946332 \h 4
\l "_Tc75946333" 常考点03 集合的基本运算 PAGEREF _Tc75946333 \h 7
\l "_Tc75946334" 常考点04 利用集合的运算求参数 PAGEREF _Tc75946334 \h 9
\l "_Tc75946335" 常考点05 集合的新定义问题 PAGEREF _Tc75946335 \h 11
\l "_Tc75946336" 易错点01 代表元素意义不清致错 PAGEREF _Tc75946336 \h 15
\l "_Tc75946337" 易错点02 忽视集合元素的互异性致错 PAGEREF _Tc75946337 \h 16
\l "_Tc75946338" 易错点03 忽视空集致错 PAGEREF _Tc75946338 \h 17
\l "_Tc75946339" 易错点04 忽视语言转换的等价性 PAGEREF _Tc75946339 \h 18
\l "_Tc75946340" 专项训练 (共22题) PAGEREF _Tc75946340 \h 19
（专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写）
常考点01 集合的基本概念
【典例1】
1.（2021·辽宁高三模拟）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先确定集合的元素个数，接着根据公式求出集合的所有子集个数，减掉集合本身得出结果即可.
【详解】因为集合，画出如下示意图：
由图可知集合有9个元素，集合的所以子集的个数为，
所以集合的真子集的个数为，故选：A.
【点睛】集合有n个元素,则集合的所有子集个数为，集合的所有非空子集个数为，集合的所有真子集个数为，集合的所有非空真子集个数为；
【典例2】
2.（2021·江苏苏州市·高三三模）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】直接求出集合C即可.
【详解】集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，所以C={5，6，7,8}.
即C中元素的个数为4.故选：B.
【技巧点拨】
1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【变式演练1】
1.（2021·上海高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式,首先想到的是十字相乘法,但此题行不通;应该把此不等式等价转化为的形式,然后数形结合来解答,需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．
【详解】解:且 ∴
令 ∴
∴是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线;
而一次函数,图象是过一定点的动直线．
又∵．数形结合,可得:，故答案为:
【点睛】此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．
【变式演练2】
2. (2018年新课标II理)已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】A
【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
试题解析：∵x2+y2≤3，∴x2≤3，又x∈Z，∴x=-1,0,1.
当x=-1时，y=-1,0,1；当x=0时，y=-1,0,1；当x=1时，y=-1,0,1；所以共有9个，选A.
方法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
【变式演练3】
3．（2021·海原县第一中学高三月考）设，，则的元素个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】确定集合中的元素，再得集合，即可得结论．
【详解】由题意，，中有三个元素．故选：B．
【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素的属性是解题关键．
常考点02 集合间的基本关系
【典例1】
1．（2021·山东高三专题练习）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】对两个集合中的元素所具有的性质分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.
【详解】由题意可知：，集合，代表所有的偶数，代表所有的整数， 所以，即．故选：BD．
【点睛】本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.
【典例2】
2．（2021·江苏省高三三模）设，则集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由集合的描述写出集合，根据求，进而可求.
【详解】由题意，得，
∵，∴仅当时符合题意，故.故选：C.
【技巧点拨】
1）若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
【变式演练1】
1．（2021·重庆市高三模拟）集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
【详解】解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．当时，可得，
要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．
【点睛】研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.
【变式演练2】
2．（2021·广东湛江市·高三二模）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确. 故选：ABC．
【变式演练3】
3．（2021·陕西西安市·高三模拟）若集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先解方程和，进而得，，进而可得答案.
【详解】因为，所以，即，故；
因为，所以，即，故，所以.故选：C
常考点03 集合的基本运算
【典例1】
1．（2021·新高考真题1卷）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，故选：B .
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
【典例2】
2．（2021·北京高考真题）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用并集的定义可求.
【详解】由题设有=，故选：B .
【点睛】本题考查集合的运算，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.特别注意此题求的是并集，一般集合题考交集较多，希望同学们仔细些。
【技巧点拨】
1）进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2）注意数形结合思想的应用.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
【变式演练1】
1．（2021·全国高考乙卷真题（文））已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：，则. 故选：A.
【变式演练2】
2．（2021·江苏高三月考）已知向量集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由交集定义，得出中同一元素满足的两种表示形式，从而建立等量关系，解方程组可得.
【详解】设，则，且，则，
且.
，解得，则.故选：B.
【点睛】与集合中元素有关的题目，首先要确定集合的元素是什么，其次要明确元素满足什么限制条件，最后根据条件列关系式时要注意不同集合中相同字母参数取值的不同.
【变式演练3】
3．（2021·全国高考真题（理）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为，所以,故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
常考点04 利用集合的运算求参数
【典例1】
1．（2021·福建厦门市·高三模拟）已知集合、集合，且，则下列结论正确的是（ ）
A．有可能 B． C． D．
【答案】B
【分析】由交集结果和集合中元素的互异性可知.
【详解】，，，
若，由集合中元素互异性知：，；
若，同理可知：，；综上所述：.故选：B.
【典例2】
2．（2021·重庆八中高三模拟）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，得，从而可求出的取值范围
【详解】由题知，得，则，故选：A．
【技巧点拨】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
【变式演练1】
1．（2021·福建厦门市·高三二模）已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解对数不等式可求得集合，由子集个数可确定中元素仅有个，从而得到，由此得到的范围.
【详解】由题意得：，
有个子集，中的元素个数为个；
，，即，或，
即实数的取值范围为.故选：D.
【变式演练2】
2．（2021·海南·高三模拟）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.
【详解】，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.故选：D.
【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.
【变式演练3】
3．（2021·江西高三模拟）已知集合，若，则实数（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的定义知无实数解．由此可得的值．
【详解】因为，所以方程组无实数解．所以，．故选：A．
常考点05 集合的新定义问题
【典例1】
1.（2021·河北衡水市·高三模拟）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
【答案】B
【分析】结合非空真子集个数()的算法即可.
【详解】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.
【典例2】
2.（2021·浙江绍兴市·高三期末）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
【详解】由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，故选：D．
【点睛】关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.
【技巧点拨】
集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
【变式演练1】
1.（2021·湖北省高三模拟）定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立.
【详解】∵，，故A正确；
∵定义且，∴，，故B正确；
，故C错误；
，所以，故D正确．故选：ABD．
【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案．
【变式演练2】
2.（2020·浙江高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（ ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.故A正确.故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【变式演练3】
3．（2021·山东高三专题练习）已知为给定的非空集合，集合，其中≠，⊆，且，则称集合是集合的覆盖；如果除以上条件外，另有，其中，，且，则称集合是集合的划分.对于集合，下列命题错误的是（ ）
A．集合是集合的覆盖
B．集合是集合的划分
C．集合不是集合的划分
D．集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分
【答案】BC
【分析】根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.
【详解】对于A，集合满足⊆，⊆，
且=，故集合是集合的覆盖，选项A正确；
对于B，集合中，∩，
不满足题目定义中“”，故集合不是集合的划分，选项B错误；
对于C，集合是集合的划分，因为⊆，⊆，⊆，
且=，∩=，∩=，∩=，
满足定义中的所有要求，选项C错误；对于D，集合中，，，
故集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分，选项D正确.故选：BC.
易错点01 代表元素意义不清致错
1．（2021·湖南高三月考）若集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
【错因】此题很多同学会容易错选A，导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义， A中的元素是实数对(x，y)，而B中的元素是实数x，也就是说，集合B为数集，集合A为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集．
【答案】D
【分析】根据集合的表示方法，得到集合为点集，为数集，即可求解.
【详解】由题意，集合表示直线上的点构成的点集，
集合表示上的点的横坐标构成的数集，所以.故选：D.
2．（2021·重庆高三模拟）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【错因】此题很多同学会容易错选A，导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义，将A、B集合中的元素都视为函数的值域y，导致错选A选项。
【答案】B
【分析】先分别求出集合A、B，再求.
【详解】因为函数在单减，在上单增，所以，
要使函数有意义，只需，解得，
所以，所以
【错因】导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义， A中的元素是实数对(x，y)，而B中的元素是实数x，也就是说，集合B为数集，集合A为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集．
易错点02 忽视集合元素的互异性致错
1．（2021·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）设，，若，则 （ ）
A．0B．0或2C．0或D．0或
【错因】很多同学容易错选D，由题设条件知：分和两种情况，解得3个结果，
当时，A集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．
【答案】C
【分析】根据题意分和两种情况，进而对方程的根依次检验即可得答案.
【详解】当时，得，
若，则不满足集合中的元素的互异性，所以；
若，则，，满足题意，
当时，或（舍去），满足题意，∴或，故选：C．
2．（2021·辽宁高三月考）设集合，，且，中有唯一的公共元素9，则实数的值为______．
【错因】很多同学容易错填， 当时，B集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．
【答案】
【分析】先通过已知可得或，解方程求出，然后带入集合验证，满足互异性即可.
【详解】∵，，且，中有唯一的公共元素9，
∴或．
当时，，此时，，，中还有公共元素，不符合题意；
当时，，若，，集合违背互异性．
若，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合中元素的互异性，是基础题.
易错点03 忽视空集致错
1.（2021.海南高三月考）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围 ．
【错解】由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3.
【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．
原因是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．
因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现∅的可能．
【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥2，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
2．（2020·江苏南通市·启东中学高三开学考试）已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围.
【详解】因为，故；
若，即时，，符合题意；
若，即时，，解得；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.
易错点04 忽视语言转换的等价性
1.（2021.山东高三模拟）设全集,, ,则（ ）
A. B. C. D.
【错解】因为,所以,,故选A.
【错因分析】忽略了方程中.
【正解】因为,所以,故选B.
【点睛】本题易错之处是把集合A看作直线上的点的集合,实际上应除去点（2,3）.
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·全国高考真题（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.故选：C.
2．（2020·山东高考真题）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A．{x|2【答案】C
【分析】根据集合并集概念求解.
【详解】 故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．（2021·湖南永州市·高三模拟）集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算，求得集合，集合向量相等的条件，列出方程组，求得两个集合的交集.
【详解】由题意，集合，
集合，
要求解两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，
因为元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，
所以，解得，此时.故选：B.
4．（2021·重庆高三二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的运算法则判断各选项．
【详解】由题意，A错；或，B错；
或，或，C错；
，D正确．故选：D．
5．（2021·山东）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．1或2B．0或1C．0或2D．0或1或2
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据，即可求解.
【详解】解：当时，，满足，
当时，，若，或，
综上所述：或．故选：D．
6．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三模拟）集合的实部为0}，，，i为虚数单位，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出集合，，，求出补集即可得解.
【详解】由的实部为0} 则，，
所以，故选：A.
7．（2021·河北高三其他模拟）设全集为，，，那么集合等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得到或，再结合已知条件即可得到答案.
【详解】因为或，
又因为，，
所以.故选：D
8．（2021·浙江高三模拟）非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】由①可知.对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，则，所以（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.故选：C.
【点睛】本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于较难题.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·重庆高三三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】采用特值法，可设，，，根据集合之间的基本关系，对选项逐项进行检验，即可得到结果.
【详解】令，，，满足，但，，故A，B均不正确；
由，知，∴，∴，
由，知，∴，故C，D均正确.故选：CD.
10．（2021·山东济南市·高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案
【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为或，故选：AD
11．（2021·江苏南通市·高三模拟）集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则实数的取值范围为 B．存在，使
C．无论取何值，都有 D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A，要使，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出的取值范围；对于B，C，由于直线过定点，而点在圆内，从而可得；对于D，设原点到直线的距离为，则，分母有理化后可求出其最大值，从而可判断D
【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确.
对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线的距离为，则，所以的最大值，即的最大值，于是的最大值为，故D正确.故选：ACD
12．（2021·山东烟台市·高三模拟）若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（ ）
A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算
C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算
D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BCD
【分析】根据新定义，判断各选项中是否满足题中4个条件即可得．
【详解】A．时，不满足③，若，则由得，若，则在中设，由得，所以不能构成群；
B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然，对任意，，③对任意正有理数，也是正有理数，且，即，④有理数的乘数满足结合律，B中可构造群；
C．(i为虚数单位)，①可验证中任意两数（可相等）的乘积仍然属于；②，满足任意，有；③，满足任意，存在，有，实质上有；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；
D．，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于，②，满足对任意，，③，，，除以7余数为0；④加法满足交换律，又除以7的余数等于除以7的余数加除以7的余数的和再除以7所得余数，因此，，D中可构造群；故选：BCD．
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题．解题方法是根据新定义的4个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟）定义集合，则_________；_________.
【答案】
【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集、并集运算即可.
【详解】，
，
故答案为：；
14．（2021·重庆高三专题练习）设是的两个子集，对任意，定义：
①若，则对任意， _____；
②若对任意，，则的关系为_______.
【答案】0
【分析】由题意分和两种情况讨论即可求得 的值；
对任意 则的值一个为0，另一个为1，可得时，必有，或时，必有 即可得出的关系.
【详解】①∵A⊆B.则x∉A时，m=0，m(1−n)=0.x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m(1−n)=0.
综上可得：m(1−n)=0.
②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1则或，所以
且x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，所以A，B的关系为，故答案为：0；.
【点睛】解答本题时，要注意分类讨论，分类能让一个复杂的问题变得简单，把每一类搞清楚了，问题就解决了，本题分类讨论的标准是新定义中的限制条件.
15．（2021·湖北省高三月考）设，，若，则的值为______，此时______．
【答案】
【分析】根据题意可得或，解得或，将代入集合求出集合，，再利用集合的交、并运算即可求解.
【详解】∵，∴或，解得或．
当时，，，得，不符合题意，舍去！
当时，，，得，．
故答案为：；.
【点睛】本题考查了集合的基本运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16．（2021·北京市十一学校高三模拟）向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称S为“C类集”，现有四个命题：
①若S为“C类集”，则集合也是“C类集"；
②若S，T都是“C类集”，则集合也是“C类集”；
③若，都是“C类集”，则也是“C类集”；
④若，都是“C类集”，且交集非空，，也是“C类集”．
其中正确的命题有____________________（填所有正确命题的序号）．
【答案】①②④
【分析】判断集合和、是否也具有“C类集”中元素性质即可得．
【详解】①S为“C类集”， 即对于任意，以及任意，都存在，使得，因此对于任意的，以及任意，，①正确；
②若S是“C类集”，对任意的以及对任意的，，
若T是“C类集，对任意的以及对任意的，，
可得对任意的，以及任意，都有，②正确；
③若，都是“C类集”，即对任意的的，，对任意，，，但是否属于集合或不能确定，因此也不确定，③错；
④对任意，则，，因此对任意，
，，所以，④正确．故答案为：①②④
【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义及应用．实质是考查元素与集合的关系，集合是“C类集”，只要对任意，以及任意，都有即可．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（2021·辽宁高三月考）在①，②函数的图象经过点，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. (10分)
问题：已知集合，，且_________，求.
【答案】选择见解析；.
【分析】选择①，由，得到，结合集合交集的运算，即可求解；
选择②，求得，得到，结合集合交集的运算，即可求解；
选择③，求得，得到，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】选择①，因为，所以，
又因为，所以.
因为，所以.
选择②，将的坐标代入，解得，故，
因为，所以.
选择③，且，解得或（舍去），
故.
因为，所以.
18．（2021·海口市·海南中学高三月考）设全集是，集合，．（1）若，求；（2）问题：已知______，求实数的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
① ② ③
【答案】（1）；（2）具体选择见解析．
【分析】（1）解不等式得或，进而根据集合运算求解即可得答案.
（2）选①：由得，再分和时两种情况求解即可得答案；
选②：由得，解得．故所求实数的取值范围是．
选③：由， 故分和两种情况讨论即可得答案．
【详解】解： （1）解不等式得或，所以．
若，则，所以．
（2）选①：，则．
当时，则有，即；
当时，则有或，此时两不等式组均无解．
综上述，所求实数的取值范围是．
选②：，由于，则有，解得．
故所求实数的取值范围是．
选③：，由于，所以
当时，则有，即；
当时，则有解得．
综上述，所求实数的取值范围是．
【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第二问如果选择①，③解题，易错的点在于容易忽视情况而出现错误，故解题时需考虑全面.
19．（2020·上海市松江二中高三期中）已知，.（1）求；（2）已知集合，，，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出指数不等式的解和对数不等式的解后可求.
（2）就和分类讨论后可得实数的取值范围.
【详解】（1），
，
所以.
（2），因为，
当时，，满足题意；
当时，，所以，解得或.
所以实数的取值范围是.
【点睛】（1）解对数不等式时，注意真数大于零的要求；（2）考虑集合的包含关系时，注意对含参数的集合是否为空集分类讨论.
20．（2021·湖南省高三专题练习）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由不等式可得,讨论与的关系,即可得到结果；（2）先解得不等式,由集合M中有且仅有一个整数,当时,则M中仅有的整数为；当时,则M中仅有的整数为,进而求解即可.
【详解】解:（1）因为,所以,
当,即时,；
当,即时,；
当,即时,.
（2）由得,
当,即时,M中仅有的整数为,
所以,即；
当,即时,M中仅有的整数为,
所以,即；
综上,满足题意的k的范围为
【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.
21．（2021·北京人大附中）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.
（I）若，，，求；
（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；
（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.
【答案】（I），或，或；（II）不一定存在，见解析；（III）11.
【分析】（I）由已知得，其中，相差2，由此可求得T；
（II）当时，，则相差不可能1，2，3，4，5，6，可得结论. （III）因为，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，可得的最小值.
【详解】（I）若，则，其中，否则，
又，，，则相差2，
所以，或，或；
（II）不一定存在，当时，，则相差不可能1，2，3，4，5，6，
这与矛盾，故不都存在T.
（III）因为，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，
当时，结论都成立；
当时，不存在，，使得A中任意两个元素差不同，所以当时，结论成立；
当时，若，则不存在T，所以的最小值为11.
【点睛】本题考查集合的新定义，解决此类问题的关键在于准确理解集合的新定义，紧扣定义解决问题.
22．（2021·上海高三三模）集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.（1）判断集合、是否为“好集合”；
（2）若集合是“好集合”，求的值；
（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）为“好集合”，不是“好集合”，理由见解析；（2）；（3）最大值为，理由见解析.
【分析】（1）写出集合、所对应的集合、，结合“好集合”的定义判断可得出结论；（2）将集合所对应的集合写出来，将集合中的元素由小到大依次排列，根据等差数列的定义可求得实数的值；（3）利用反证法证明出当时，通过“好集合”的定义推出矛盾，结合（2）中的结论可得结果.
【详解】（1）集合对应的集合，故集合为“好集合”.
集合对应的集合，集合的元素个数为，且，
故集合不是“好集合”；
（2）集合对应的集合，且，
集合中的元素由小到大排列的顺序为、、、、、
或、、、、、，
若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为，
所以，，解得；
若数列、、、、、为等差数列，则这个等差数列的公差为，
则，不合乎题意. 综上所述，；
（3）“好集合”中元素个数存在最大值，理由如下：
由（2）可知，即为“好集合”，以下证明都不是好集合.
不妨设，记，
集合中所有元素从小到大排列为，构成的等差数列的公差为，
显然，，.
第一步，证明“好集合”的元素个数.
（反证法）假设，以下分和两种情况进行讨论.
①若，可得，所以，，，
所以，，，，
在此后的两项和中，最小，
所以，，可得，
余下的项中，和较小，因为，
所以，，，则，
而，这与“集合中的元素个数为”矛盾；
②若，则，，余下的项中，和较小.
（i）若，则，所以，，
这与“集合中的元素个数为”矛盾；
（ii）若，则，，
在此后的两项之和中，最小，
所以，，所以，，
同理可得，所以，，这与“集合中的元素个数为”矛盾.
综上，假设不成立，所以，.
第二步，证明也不合乎要求.
当时，显然，，，，，
所以，，则，，
故，，，
因为，所以，、、、成等差数列，故，
这与“集合中的元素个数为”矛盾.
综上所述，“好集合”中的元素个数存在最大值.
【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.