精品解析：2020年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学二模试题（解析版+原卷版）

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1. 的倒数是（）
A. 2B. C. ﹣2D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数可解答.
【详解】解：根据倒数的定义，可知的倒数是-2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义．
2. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图解答即可.
【详解】根据立体图形得到：
主视图为：，
左视图为：，
俯视图为：，
故答案为：A.
【点睛】此题考查小正方体组成的几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图的视图角度及三视图的画法.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5B. （ab+1）2＝a2b2+1
C. （﹣2a2）3＝﹣6a6D. 6a2b÷（﹣2ab）＝﹣3a
【答案】D
【解析】
【分析】
把各项进行计算得到结果，即可作出判断．
【详解】A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a2b2+2ab+1，不符合题意；
C、原式＝﹣8a6，不符合题意；
D、原式＝﹣3a，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，熟知整式的运算公式是解题的关键.
4. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为( )
A. 45°B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
【详解】解：如图，作，
∴，，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．
5. 已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2），且x2＝1+x1时，y2＝y1﹣2，则k等于（ ）
A. 1B. 2C. ﹣1D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
将已知点坐标代入一次函数解析式中求出k的值即可．
【详解】解：把A（x1，y1），B（x2，y2），代入y＝kx+b中，且x2＝1+x1时，y2＝y1﹣2，
可得：kx1+b﹣2＝k（1+x1）+b，
可得：k＝﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键
6. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AF⊥BD于点E，交BC于点F，点G是AC的中点，若BC＝10，AB＝7，则EG的长为（ ）
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3.5
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先利用角平分线以及垂直性质求证△ABE≌△FBE，继而求解CF的长度，最后利用中位线性质求解EG．
【详解】∵BD平分∠ABC，AF⊥BD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴BF＝AB＝7，AE＝EF，
∴点E为AF的中点，
∵BC＝10，
∴CF＝3，
又∵点G是AC的中点，
∴EG＝CF＝．
故选：A．
【点睛】本题考查全等判定以及中位线的应用，全等判定时题干若出现诸多角等信息，ASA或AAS定理较为常用，题干中出现较多中点信息，中位线定理为潜在考点．
7. 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），下列平移方式正确的是（ ）
A. 将l1沿x轴向右平移4个单位
B. 将l1沿x轴向右平移2个单位
C. 将l1沿y轴向右平移4个单位
D. 将l1沿y轴向右平移8个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先根据平移时值不变，设直线的解析式为，将代入，求出直线的解析式，再利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，即可得出结论．
【详解】设直线的解析式为，将代入，
得，解得，
则直线的解析式为．
∵：；：，
∴将沿y轴向上平移4个单位或将沿x轴向右平移2个单位后得到直线．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的平移，解题关键在于根据待定系数法求解一次函数解析式，继而根据“上加下减，左加右减”求解即可．
8. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（ ）
A. 3B. 6C. 6D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据垂径定理得到CE＝DE，＝，再利用圆周角定理得到∠BOC＝45°，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE，从而得到CD的长．
【详解】∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，＝，
∴∠BOC＝2∠BCD＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝6×＝3，
∴CD＝2CE＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，熟知垂径定理和圆周角定理是解题的关键．
9. 如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，由BD平分∠ABC证得四边形ABCD是菱形，利用DE⊥BD得到OC∥ED求出AC，根据▱ABCD面积为24求出BD，再由勾股定理求出BC，设CF＝x，则BF＝5+x，利用BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2求出x得到DF，即可求出答案.
【详解】解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵DE⊥BD，
∴OC∥ED，
∵DE＝6，
∴OC＝，
∴AC=6，
∵ABCD的面积为24，
∴，
∴BD＝8，
∴＝＝5，
设CF＝x，则BF＝5+x，
由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，
解得x＝，
∴DF＝，
∴sin∠DCE＝．
故选：A．
【点睛】此题考查菱形的判定及性质，勾股定理，三角函数，是一道较难的四边形综合题.
10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③3a+c＞0；④若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与一元二次方程的关系进行综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝﹣，即a＝b，
因此b＜0，与y的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＞0，因此①正确；
∵a＜0，对称轴为x＝﹣，
∴当x＜﹣时，y随x的增大而增大，
因此②不正确；
由对称性可知，抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0）（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
又∵a＝b，
∴6a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c＞0，因此③正确；
∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0）（2，0），
∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，实际上就是当y＝﹣3时，函数y＝a（x+3）（x﹣2）相应的自变量x的值为m、n；，
根据图象可知，m＜﹣3且n＞2，因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11. 比较大小: ______ (填“<”、“=”或“>”)
【答案】>
【解析】
【分析】
将原数变形，利用两个负数比大小，绝对值大的数反而小进行大小比较.
【详解】解：，
∵＜
∴＞
故答案为>
【点睛】此题考查实数的大小比较，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键.
12. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度．
【答案】36°.
【解析】
【分析】
利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】，是等腰三角形，
度．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
13. 如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，已知sin∠ABO＝，则m的值为_____．
【答案】-4
【解析】
【分析】
解直角三角形求得＝2，过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上求出S△BDO＝|m|，S△AOC＝，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△ACO，根据相似三角形的性质得出＝＝4，即＝4，解得即可．
【详解】解：
过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
Rt△AOB中，sin∠ABO＝，
∴＝，
设AB＝a，则OA＝a，
∴OB＝＝＝a，
∴＝＝2，
∵顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝|m|，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝，
∴＝4，
∴|m|＝4，
∵在第二象限，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，关键是根据相似三角形的性质与判定得到线段的长，然后可直接进行求解．
14. 如图，已知四边形ABCD中，∠BCD＝60°，连接AC、BD交于点E，BE＝2ED＝4．若CE＝2AE，求AC的最大值
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC，OE，过点O作OH⊥BD于H，解直角三角形求出OE，OC，继而求出EC，AE的最大值即可求解本题．
【详解】作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC，OE，过点O作OH⊥BD于H，如下图所示：
∵BE＝2ED＝4，
∴DE＝2，BD＝4+2＝6，
∵，
∴∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∵OB＝OD=OC，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
又∵OH⊥BD，
∴BH＝HD＝3，
∴OH＝，OB＝2OH＝，
∴HE＝BE﹣BH＝4﹣3＝1，
∴OE＝＝＝2，
∵，
∴，
∴EC的最大值为，
∵EC＝2AE，
∴AE的最大值为，
∴AC的最大值为．
【点睛】本题考查圆的综合，解题关键在于辅助线的构造以及最值问题的转化，同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系需熟记于心，求解边长时勾股定理较为常用，几何题目出现60°等特殊角度时，常构建特殊的直角三角形，利用三边关系以简化运算．
三、解答题（共11小题，满分78分）
15. 计算：6sin45°+|﹣7|﹣（）﹣3+（3﹣π）0．
【答案】．
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算、指数幂的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
16. 先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则先化简，再代入求解即可求出答案．
【详解】原式＝•，
＝，
当x＝时，
原式＝．
【点睛】本题主要考查分式加减计算法则，解决本题的关键是要熟练掌握分式加减计算法则.
17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，求作⊙O，使得圆心O在直角边AC上，且⊙O经过点C，并与斜边AB相切．（要求：用尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据题意作∠ABC的角平分线交AC于O，过点O作OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18. 如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先由正方形的性质得出判定△BAE和△ADF全等的条件，再判定△BAE≌△ADF，然后由全等三角形的性质得出∠ABE＝∠DAF，从而可证得∠AGB＝90°，由垂直的定义可得结论．
【详解】解：∵四边形形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
又∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
∴在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAG＝90°，
∴∠ABE+∠BAG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴BE⊥AF．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定和性质，通过正方形的性质寻找条件证明△BAE≌△ADF是解题的关键．
19. 学习一定要讲究方法，比如幼小的预习可大幅度提高听课效率，九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：min） 进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，整理成如下所示的频数、频率分布表和频数分布扇形图：
（1）此次抽样调查的人数是 ，表中的a＝ ，b＝ ；
（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为 ．
（3）该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数．
【答案】（1）60，9，27；（2）162°；（3）800人
【解析】
【分析】
（1）根据第3组的频数和频率，可以求得本次抽查的人数，然后即可计算出a和b的值；
（2）根据频数分布表中的数据，可以计算出第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数．
【详解】（1）此次抽样调查的人数是：18÷0.30＝60（人），
a＝60×0.15＝9（人），
b＝60﹣3﹣9﹣18﹣3＝27（人），
故答案：60，9，27；
（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝162°，
故答案为：162°；
（3）1000×＝800（人），
即这些学生中每天课前预习时间不少于20min的有800人．
【点睛】本题主要考查了频数、频率分布表和频数分布扇形图的应用，熟练掌握整体与部分量的求法、扇形圆心角的求法以及用样本估计总体是解题的关键．
20. 课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度．
【答案】6.8米
【解析】
【分析】
由题意直接根据相似三角形的性质求出树冠DK，根据坡角求出CL，进而即可求出树高DL．
【详解】解：连接EF，过点B作BM⊥DL，垂足为M，交EF于点N，
由题意可知，BN＝AG＝1.5，MN＝IC＝4.5，
由EF//DK,则△BEF∽△BKD得：
＝，即＝，
解得：KD＝4.8，
∵斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，
∴CL＝HJ＝1.1，
∴DL＝DK+KC+CL＝4.8+0.9+1.1＝6.8（米），
答：树项到地面的距离DL的长度为6.8米．
【点睛】本题考查解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应高的比是解决问题的关键．
21. 某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元每千克，若一次性购买超过5千克，则超过5千克的部分的种子价格打8折，设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）某农户一次购买了一些玉米种子需付款500元，请问该农户购买了多少千克玉米种子？
【答案】（1）；（2）30千克
【解析】
【分析】
（1）由题意利用分段函数：①当0≤x≤5时，y＝20x；②当x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20进行分析求解；
（2）根据题意直接将y＝500代入y＝16x+20，进行分析运算即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，得
①当0≤x≤5时，y＝20x；
②当x＞5，y＝20×0.8（x﹣5）+20×5＝16x+20
即；
（2）把y＝500代入y＝16x+20得，
∴16x+20＝500；
解得：x＝30，
∴他购买种子的数量是30千克．
【点睛】本题考查一次函数的应用，注意掌握能够根据题意准确列出关系式，利用代入法求函数值是解题的关键．
22. 某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ；
（2）乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）甲同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果；
（2）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果．
【详解】（1）甲同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
则甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
则乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接CD，先证明AC是切线，由切线长定理得ED＝EC，再由等角的余角相等得结论；
（2）由DE与AC的关系求得AC，再由勾股定理得CD，由切割线定理求得AB，再由勾股定理求得直径，便可得半径的长度．
【详解】（1）如图，连接CD，
∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵AC⊥BC，
∴EC是⊙O的切线，
∵ED是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC+∠ADE＝∠ECD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ADE；
（2）∵DE＝5，AE＝DE＝EC，
∴AC＝2DE＝10，
∴CD＝，
∵AC是⊙O的切线，
∴AC2＝AD•AB，
∴，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）点为该抛物线上一动点P （与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+6x+5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）存在，点P的坐标为（﹣，﹣）或（0，5）
【解析】
【分析】
（1）由题意利用待定系数法将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）根据题意令y＝0，则x2+6x+5＝0，解得x得出点C，进而利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（3）根据题意分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别进行分析求解即可．
【详解】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5①．
（2）令y＝0，则x2+6x+5＝0，解得x＝﹣1或﹣5，
即点C（﹣1，0），
∵y＝（x+3）2﹣4，
∴D（﹣3，﹣4），
∵B（﹣4，﹣3），
∴BD＝＝，BC＝＝3，CD＝＝2，
∴CD2＝BD2+BC2，
∴∠CBD＝90°，
∴△CBD是直角三角形．
（3）设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），
同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP′//CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为（﹣，﹣）或（0，5）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的性质，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，同时解题时要注意分类讨论求解，避免遗漏．
25. [探索发现]（1）如图①，△ABC与△ADE为等腰三角形，且两顶角∠ABC＝∠ADE，连接BD与CE，则△ABD与△ACE的关系是 ；
[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点，在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你探究，当点E在直线AD上时，如图②所示，连接CE，判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
[拓展应用]（3）在（2）的应用下，请在图③中画出△BPE，使得点E在直线AD的右侧，连接CE，试求出点P在线段AD上运动时，AE的最小值．
【答案】（1）相似；（2）AB∥EC，理由见解析；（3）3．
【解析】
【分析】
（1）结论：相似．先判断出△BAC∽△DAE，即可得出结论．
（2）利用等腰三角形的性质证明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠ABC＝∠ECB即可．
（3）如图3中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．利用圆周角定理证明∠BCE＝∠BPE＝40°，推出AB∥CE，因为点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，所以当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．
【详解】解：（1）如图①中，
∵△ABC与△ACE为等腰三角形，且两顶角∠ABC＝∠ADE，
∴BA＝BC，DA＝DE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
故答案为：相似．
（2）如图2中，结论：AB∥EC．
理由：∵∠BPE＝80°，PB＝PE，
∴∠PEB＝∠PBE＝50°，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，
∵AE垂直平分线段BC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝40°，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝∠ECB，
∴AB∥EC．
故答案为50，AB∥EC．
（2）如图3中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴∠BCE＝∠BPE＝40°，
∵∠ABC＝40°，
∴AB∥EC．
如图4中，作AH⊥CE于H，
∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，
∴当点P运动到与点A重合时，AE值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及圆的基本性质，关键是根据题意得到三角形的相似，然后结合等腰三角形的性质得到问题答案，关键是要利用圆的基本性质求解最值问题．
组别
课前预习时间t/min
频数（人数）
频率
1
0≤t＜10
3
2
10≤t＜20
a
0.15
3
20≤t＜30
18
0.30
4
30≤t＜40
b
5
t≥40
3