知识讲解_集合的基本关系及运算_基础练习题

集合的基本关系及运算

【学习目标】

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．

2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

【要点梳理】

要点一：集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

要点诠释：

（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．

（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．

真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

2.集合与集合之间的“相等”关系

，则A与B中的元素是一样的，因此A=B

要点诠释：

任何一个集合是它本身的子集，记作．

要点二：集合的运算

1.并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}

Venn图表示：

要点诠释：

（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．

（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).

2.交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：

要点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.

3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：

要点诠释：

（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．

（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．

（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．

4.集合基本运算的一些结论：

若A∩B=A，则，反之也成立

若A∪B=B，则，反之也成立

若x(A∩B)，则xA且xB

若x(A∪B)，则xA，或xB

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.

【典型例题】

类型一：集合间的关系

例1. 请判断①0{0} ；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正确的有哪些？

【答案】②③④⑧

【解析】①错误，因为0是集合中的元素，应是；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的为非空集合；⑤⑥⑦错误，是没有任何元素的集合．

【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.

举一反三：

【变式1】用适当的符号填空：

(1) {x||x|≤1}          {x|x2≤1}；

(2){y|y=2x2}         {y|y=3x2-1}；    

(3){x||x|>1}       {x|x>1}；

(4){(x，y)|-2≤x≤2}          {(x，y)|-1<x≤2}．

【答案】 (1)=   (2)   (3)   (4)  

【总结升华】区分元素与集合间的关系，集合与集合间的关系.

例2.（2015秋 确山县期中）已知A={x｜x2―4=0}，B={x｜ax―6=0}，且B是A的子集．

（1）求a的取值集合M；

（2）写出集合M的所有非空真子集．

【思路点拨】对（1）根据A集合中的元素，，分类讨论B的可能情况，再注解a，写出集合M．

根据含有n个元素的集合的真子集个数是2n－1，求解（2）．

【答案】（1）M={0，3，－3}；（2）{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}

【解析】（1）A={2，－2}．

∵B是A的子集，∴B=，{2}，{－2}，

①B=时，方程ax－6=0无解，得a=0；

②B={2}时，方程ax－6=0的解为x=2，得2a－6=0，所以a=3；

③B={－2}时，方程ax－6=0的解为x=－2，得－2a－6=0，所以a=－3．

所以a的取值集合M={0，3，－3}．

（2）M={0，3，－3}的非空真子集为{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}

【总结升华】本题考查集合的子集问题，含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1；非空真子集个数是2n－2．

举一反三：

【变式1】已知，则这样的集合有     个.

【答案】7个

【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（   ）

A. 16个    B. 15个    C.  7个    D. 6个

【答案】C

    【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.

【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.

【答案】 a=-1， a=或a=0

【解析】∵， ∴a2A，

则有：

（1）a2=1a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；

（2）a2=3a=

（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，则a=0

综上：a=-1， a=或a=0.

注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.

【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430 例2】

例3. 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足(  )

A. M=N    B. MN   C. NM   D. M∩N=

【答案】B

【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.

例4．已知若M=N，则=       ．

A．－200       B．200        C．－100          D．0

【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．

【答案】D

【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由0{0，|x|，y}可知

若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.

若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0

若，则x=y，M，N可写为

M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}

由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|

∴|x|=0或|x|=1

若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立

若|x|=1即x=±1

当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1

当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1

=-2+2-2+2+…+2=0

【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．

举一反三：

【变式1】设a，bR，集合，则b-a=(    )

【答案】2

【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：

∴当b=1时，a=-1，

当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)

∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.

类型二：集合的运算

例5.（1）（2014 湖北武汉期中）已知；，则A∩B＝（   ）

A．         B．

C．[－2，2]                     D．

（2）设集合M={3，a}，N={x|x2－2x＜0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为（   ）．

A． {1，2，a}     B． {1，2，3，a}     C． {1，2，3}   　D． {1，3}

【思路点拨】（1）先把集合A、B进行化简，再利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．

【答案】（1）C  （2）D

【解析】（1）集合A、B均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A={y|y≥－2}，B={y|y≤2}，所以A∩B={y|－2≤y≤2}，选C．

（2）由N={x|x2－2x＜0，xZ}可得：N={x|0＜x＜2，xZ}={1}，又由M∩N={1}，可知1M，即a=1，故选D．

举一反三：

【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B.

【答案】{， ，-4}

【解析】∵A∩B={}，

∴是方程2x2+px+q=0的解，则有：

   (1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)

联立方程(1)(2)得到：

∴方程(1)为2x2+7x-4=0，

∴方程的解为：x1=， x2=-4， ∴ ，

由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，

∴B={， }，则A∪B={， ，-4}.

【高清课堂：集合的运算377474 例5】

【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.

【答案】 ｛2，3，6，18｝

【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1

当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}

∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝

当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}

这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.

综上A∪B=｛2，3，6，18｝．

【高清课堂：集合的运算 377474 例6】

例6. 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.

【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}

【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}

由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.

由集合的图示可得

A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.

类型三：集合运算综合应用

例7．（2014 北京西城学探诊）已知集合A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．

（1）若（A∪B）∩C=，求实数a的取值范围；

（2）若（A∪B）C，求实数a的取值范围．

【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．

【答案】（1）a≥3 （2）a≤－4

【解析】

（1）∵A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，又（A∪B）∩C=，如图，a≥3；

（2）画数轴同理可得：a≤－4．

【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．

举一反三：

【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（  ）

 A．(-∞, -1]    B．[1, +∞）   

 C．[-1，1]                            D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）

    【答案】C

    【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴

故选C．

例8. 设集合.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【思路点拨】明确、的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.

【答案】（1）或；（2）．

【解析】 首先化简集合，得.

（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.

①若时，，解得.

②若,代入得.

当时，符合题意；

当时，也符合题意.

③若，代入得，解得或.

当时，已讨论，符合题意；

当时，，不符合题意.

由①②③，得或.

（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.

【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.

举一反三：

【变式1】（2015 源汇区一模）设A={x｜x2+4x=0}，B={x｜x2+2(a+1)x+a2－1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．

【答案】a=1或a≤－1

【解析】A={x｜x2+4x=0}={0，－4}，

∵A∩B=B知，，

∴B={0}或B={－4}或B={0，－4}或，

若B={0}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个相等的根0，则，∴a=－1，

若B={－4}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个相等的根－4，则，∴a无解，

若B={0，－4}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个不相等的根0和－4，则，∴a=1，

当时，x2+2(a+1)x+a2－1=0无实数根，Δ=[2(a+1)]2－4(a2－1)=8a+8＜0，得a＜－1，

综上，a=1或a≤－1．