知识讲解_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高练习题

指数函数、对数函数、幂函数综合

【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．

3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．

6．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）．

【知识框图】

【要点梳理】

要点一：指数及指数幂的运算

1．根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为．

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．

2．n次方根的性质：

（1）当为奇数时，；当为偶数时，

（2）

3．分数指数幂的意义：

；

要点诠释：

0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义．

4．有理数指数幂的运算性质：

（1）        （2）        （3）

要点二：指数函数及其性质

1．指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为．

2．指数函数函数性质：

要点三：对数与对数运算

1．对数的定义

（1）若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

（2）负数和零没有对数．

（3）对数式与指数式的互化：．

2．几个重要的对数恒等式

，，．

3．常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

4．对数的运算性质

如果，那么

①加法：

②减法：

③数乘：

④

⑤

⑥换底公式：

要点四：对数函数及其性质

1．对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域．

2．对数函数性质：

要点五：反函数

1．反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

2．反函数的性质

（1）原函数与反函数的图象关于直线对称．

（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

（3）若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

（4）一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

要点六：幂函数

1．幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．

2．幂函数的性质

（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．  

（2）过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

（3）单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

（4）奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．

（5）图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．

【典型例题】

类型一：指数、对数运算

例1．计算

（1） ； （2）；

（3）；（4）

【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．

【答案】（1）；（2）1；（3）3；（4）14．

【解析】（1）原式=；

（2）原式=

       =

       =1-+=1

  （3）原式=

=

=2+=3；

（4）令，两边取常用对数得

=

    =

    =

即=14．

【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．

举一反三：

【变式1】=（   ）

A．0           　B．1              C．2              D．4

【答案】C

【解析】=．

【变式2】（1）；（2）．

【答案】（1）2；（2）．

【解析】（1） 原式

           ；

（2） 原式

           ．

类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

例2．设偶函数满足，则= （    ）

A．        B．    

C．         D．

【答案】 B

【解析】且是偶函数．

或

或

解得或，故选B．

【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用．

举一反三：

【变式1】已知函数若，则的取值范围是（     ）．

A．      B． 或    C．     D． 或

【答案】A

【解析】依题意或即或，所以，故选A．

例3．设函数 若，则实数的取值范围是（     ） ．

A．            B．       

C．          D．

【答案】C

【解析】解法一：①若，则，

，得，得，解得．

②若则，

，

解得

由①②可知

解法二：特殊值验证

令

，满足，故排除A、D．

令，，

不满足，故排除B．

【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用．

【高清课堂：幂指对函数综合377495 例1】

例4．函数的单调递增区间是（　）

A．（3，+∞）     B．（－∞，3）    C．（4，+∞）     D．（－∞，2）

【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”．

【答案】D

【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D．

例5．（2016 上海模拟）已知函数（a＞0，a≠1）在区间[―1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数是单调增函数，则a=________．

【思路点拨】根据题意求出m的取值范围，再讨论a的值，求出f（x）的单调性，从而求出a的值．

【答案】

【解析】根据题意，得3－10m＞0，

解得；

当a＞1时，函数在区间[－1，2]上单调递增，最大值为，解得，最小值为，不合题意，舍去；

当1＞a＞0时，函数在区间[―1，2]上单调递减，最大值为，解得，最小值为，满足题意；

综上，．

故答案为：．

【总结升华】本题主要考查指数函数的图象与性质的应用问题，通过讨论对数函数的底数确定函数的单调性是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】已知，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成的点集组成的图形为（   ）

 A． 线段AD                 B． 线段AB

 C． 线段AD与线段CD    D． 线段AB与BC

【思路点拨】由指数函数的图象和性质，我们易构造出满足条件函数在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]的不等式组，画出函数的图象后与答案进行比照，即可得到答案．

【答案】C

【解析】∵函数的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图．

当x=1时，函数取最小值1，

若，则x=0，或x=1

而函数|在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]，

则或，

则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为

故选C．

【总结升华】本题考查的知识点是指数函数的性质，函数的值域，其中熟练掌指数函数在定区间上的值域问题，将已知转化为关于a，b的不等式组，是解答本题的关键．

【变式2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（     ）．

A．（1，10）        B．（5，6）        C．（10，12）         D．（20，24）

【答案】C

【解析】由互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设，由得即，所以，所以，故选C．

【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法．

类型三：综合问题

例6．已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围

【思路点拨】（Ⅰ）利用奇函数的定义去解。（Ⅱ）先判断函数的单调性，由单调性脱掉函数符号，转化成二次函数问题去解决。

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即

又由f（1）=－f（－1）知

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上

为减函数。又因是奇函数，从而不等式：

等价于=，因为减函数，由上式推得：

即对一切有：，

从而判别式

（或: 即对一切有：，又

∴

解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：

，

即　：，

整理得　，因底数，故：

上式对一切均成立，从而判别式

【总结升华】对于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解．

举一反三：

【变式1】已知函数，（a＞0，且a≠1）．

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）设，解不等式f（x）＞0．

【解析】（1）依题意知，解得

函数f（x）的定义域为．

（2）函数是奇函数

任取，，所以

             =0

所以函数是奇函数．

（3）因为，所以

由，得

解得

．

【高清课堂：幂指对综合377495 例5】

例7．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．

【思路点拨】由题意知，原不等式转化成在上恒成立，只要求出不等式右边部分的最大值就可以了．

【答案】

【解析】依题意，在上恒成立．

则设

只需求的最大值

任取且

            =

由于是单调递减函数

，即在上是单调递增的，

【总结升华】解决本题的关键是把转化成，转化成，这种问题以后还会碰到，希望同学们多注意．

举一反三：

【变式1】设函数．

（1）求的定义域；

（2）求使在上恒成立的实数的取值范围．

【解析】（1），即

若，则的定义域为；

若，则的定义域为；

若，则的定义域为．

（2）①当时，在的定义域内，等价于，即，于是问题等价于在上恒成立．

令，则在上递减，在上递增，，即．

另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知

由且可知．

②当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于在上恒成立．

显然这样的实数不存在．

综上所求的的取值范围为．