甘肃省兰州市教育局第四片区2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

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高二年级理科数学试卷
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上；
2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，填涂在答题卡相应的位置，写在本试卷上无效；
3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题卡区域内做答，超出答题卡区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,为非零实数，若且，则下列不等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，已知，，则等于 （ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
已知各项为正数的等比数列中，，，则
等于 （ ）
A．5eq \r(2) B．7 C．6 D．4eq \r(2)
4.中内角的对边分别为.若，，则A＝ （ ）
A． B． C． D．
5．设变量满足约束条件： 则的最小值为 ( )
A. -2 B. -4 C. -6 D. -8
（高二年级理科数学共4页，第1页）
6．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为 ( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
7.等差数列中，，，则当取最大值时，的值为 ( )
A．6 B．6或7 C．7 D．不存在
8．下列命题错误的是 ( )
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”.
B．命题“若，则”的否命题为“若，则”.
C．若命题p:或；命题q:或，则是的必要不充分条件.
D．“ ”是“”的充分不必要条件.
9.已知椭圆的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于两点.若△的周长为，则的方程为 ( )
A． B． C． D．
10．下列命题中正确的是 （ ）
A．函数的最小值为2.
B．函数的最小值为2.
C．函数的最小值为
D．函数的最大值为
11.设点P是双曲线,与圆在第一象限的交点,
、分别是双曲线的左、右焦点,且,则此双曲线的离心率为( )
（高二年级理科数学共4页，第2页）
A． B． QUOTE C． D．3
12.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程． ( )
A.x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1) B.x2－eq \f(y2,8)＝1 C.x2－eq \f(y2,8)＝1(x1) D. eq \f(y2,8)－x2＝1
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应的横线上.）
13.命题的否定是_________________________________.
14.若不等式的解集为，则__________．
15.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是______.
16.点P(8,1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_______．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，第17题10分，其他每题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题10分）
已知方程表示焦点在轴上的双曲线；方程
无实根.又为真，为真.求实数的取值范围.
18.（本题12分）
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.
19.（本题12分）
中，角所对的边分别为.已知，，.
（1）求的值；
（高二年级理科数学共4页，第3页）
（2）求的面积．
20．（本题12分）
已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求.
21.（本题12分）
若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为(－2eq \r(2)，0)和(2eq \r(2)，0)，且该双曲线经过点P(3,1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且＋2＝0，求直线l的斜率．
22.（本题12分）
已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
（高二年级理科数学共4页，第4页）
-2022学年第一学期联片办学期末考试高二年级
理科数学答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 2．B 3．A 4. D 5 D 6. C 7. B 8. C 9. B 10．D 11. C 12．A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应的横线上.）
13.命题的否定是:≤
14．若不等式的解集为，则-10.
15．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是:-=1
16．点P(8,1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是:2x+y－17＝0
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，第17题10分，其他每题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题10分）已知方程表示焦点在轴上的双曲线；方程无实根.又为真，为真.求实数的取值范围.
解:∵方程 QUOTE + QUOTE =1表示焦点在y轴上的双曲线,
∴ QUOTE 即m＞2. 故命题p：m>2； 4分
∵方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根, ∴Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0,
即m2-4m+3<0,∴1∵又p∨q为真,q为真, ∴p真q假. 即 QUOTE 解得m≥3.
综上所述,实数m的取值范围是{m| m≥3}. 10分
18.（本题12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度.
解（1） 5分
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为② 7分
把②代入①得化简并整理得
∴ 10分
又12分
19.(本题12分)中，角所对的边分别为.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的面积．
解：（1）∵，,
∴必为锐角，，,
由正弦定理知：. 6分
（2）∵，∴为钝角，，
∴
∴. 12分
20．（本题12分）已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求.
解：（1）设等比数列的首项，公比为.
依题意，有，代入，
可得，，∴
解之得 或，又数列单调递增，
∴，，∴数列的通项公式为.6分
（2）∵， 8分
∴，①
.②
－ ②，得
. 12分
21.( 本题12分) 若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为(－2eq \r(2)，0)和(2eq \r(2)，0)，且该双曲线经过点P(3,1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且＋2＝0，求直线l的斜率．
解：(1)依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝c2＝8,\f(9,a2)－\f(1,b2)＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝6,b2＝2)).
于是，所求双曲线的方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,2)＝1. 5分
(2)∵点F的坐标为(2eq \r(2)，0)，∴可设直线l的方程为y＝k(x－2eq \r(2))，令x＝0，得y＝－2eq \r(2)k ，即M(0，－2eq \r(2)k)．
设Q(x0，y0)，由＋2＝0，得
(x0，y0＋2eq \r(2)k)＋2(2eq \r(2)－x0，－y0)＝(0,0)，
即(4eq \r(2)－x0,2eq \r(2)k－y0)＝(0,0)，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝4\r(2),y0＝2\r(2)k)).
又Q是双曲线上的一点，∴eq \f(x\\al(2,0),6)－eq \f(y\\al(2,0),2)＝1，
即eq \f((4\r(2))2,6)－eq \f((2\r(2)k)2,2)＝1，解得k2＝eq \f(13,12)，∴k＝±eq \f(\r(39),6).
故直线l的斜率为±eq \f(\r(39),6). 12分
22．(本题12分)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF1，由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，∴|PF1|＝eq \r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，故椭圆C的离心率是e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1. 5分
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在．当且仅当eq \f(1,2)|y|·2c＝16，eq \f(y,x＋c)·eq \f(y,x－c)＝－1，eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，③
由②③及a2＝b2＋c2，得y2＝eq \f(b4,c2)，又由①，知y2＝eq \f(162,c2)，故b＝4.
由②③，得x2＝eq \f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq \r(2).
当b＝4，a≥4eq \r(2)时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4eq \r(2)，＋∞)． 12分