黑龙江省安达市第七中学校2022届高三上学期期末考试数学试卷

高三年级2021-2022学年度第一学期期末

数学试卷

一、选择题

1.命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C. D.

2.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则与相等的向量是（    ）

A.  B.

C.  D.

3.若函数的单调递减区间是，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

4.两直线和互相垂直，则的值是（    ）

A.0 B.1 C.0或1 D.

5.定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

6.已知是偶函数，当时，，则（    ）

A.0 B.1 C.2 D.6

7.直线与圆的位置关系是(    )

A.相离       B.．相切 C.相交       D.无法判断

二、多项选择题

8.下列命题正确的是（   ）

A.若，则  B.若，则

C.若，则 D.若，则

9.设正实数满足,则(   )

A.有最小值4  B.有最小值

C.有最大值 D.有最小值

10.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（    ）

A.椭圆的焦距为2

B.椭圆的短轴长为

C.的最小值为

D.过点的圆的切线斜率为

11.设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，下列说法正确的是（    ）

A.点在定圆 B.点在圆外

C.线段长的最大值为 D.的最小值为

三、填空题

12.已知函数，则_________；若，则实数________.

13.已知正数满足恒成立，则实数的最小值为__________.

14.已知是离心率的椭圆上一点，直线与相交于两点（均不与重合），若，则椭圆的方程为_________.

15.已知是定义在上的奇函数，当时，，若方程有实数根，则该方程最多有___________个不同的实数根.

四、解答题

16.已知关于的方程.

（1）当该方程有两个负根时，求实数的取值范围；

（2）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围.

17.函数的图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）求方程的解集.

18.已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴的正半轴，到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线与抛物线交于异于的两点，且.

（1）求抛物线方程和点坐标；

（2）求证：直线过定点，并求该定点坐标.

19.已知命题，；命题，

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题与均为假命题，求实数的取值范围.

20.已知以点为圆心的圆与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）设直线，判断直线与圆A的位置关系，试求为何值时，直线截圆所得弦的弦长最小，并求弦长最小值.

参考答案

1.答案：A

解析：∴原命题的否定为：.

故选：A.

2.答案：B

解析：由空间向量的线性运算可得

.

故选：B

3.答案：A

解析：函数的单调递减区间是，

所以函数的对称轴为，

则有，解得．

故选：A．

4.答案：C

解析：由题知：，解得或，

故选：C.

5.答案：C

解析：因为是偶函数，所以，

所以不等式等价于，

因为偶函数在上单调递减，所以，

所以，解得：，

所以满足不等式的的取值范围是，

故选：C.

6.答案：C

解析：由题设，可得且，又是偶函数，

∴.

故选：C.

7.答案：B

解析：由可得：，所以圆心为半径，

因此圆心到直线的距离，

所以直线与圆相切，

故选：B.

8.答案：BC

解析：A：不妨取，满足，但，故错误；

B：因为，由，故可得，即，故正确；

C：因为，不等式两边同除以不为零的常数，即可得，故正确；

D：不妨取，满足，但，故错误.

综上所述，正确的选项是：BC.

故选：BC.

9.答案：ACD

解析：(当且仅当时,等号成立),故A正确；由及均值不等式,得(当且仅当时,等号成立),,故B错误；(当且仅当时,等号成立),,故C正确；(当且仅当时,等号成立),故D正确.

10.答案：AD

解析：根据题意，作出如下所示的图形，

椭圆的长轴长与圆的直径长相等，，，

设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可知，，

，

，解得或，因为，故.

椭圆的焦距为2，即正确；

由，得椭圆的短轴长为，即错误；

，即错误；

设过点的圆的切线方程为，

则，解得，即正确．

综上所述：正确的选项是：.

故选：.

11.答案：BCD

解析：直线过定点，

直线过定点，

又，所以两直线垂直，

所以两直线的交点的轨迹是以线段为直径的圆，，

所以交点的轨迹方程为，故A错误；

圆的圆心为，半径为2，

因为，

所以圆与圆相离，

即点在圆外，故B正确；

因为为弦的中点，，所以，

所以弦的中点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，

则点的轨迹方程为，

则圆与圆相离，

所以线段长的最大值为，故C正确；

，

因为线段长的最小值为，

所以的最小值为，

即的最小值为，故D正确.

故选：BCD.

12.答案：1;1

解析：，，；

设，则，

若，则，解得：；若，则，解得：（舍）；

当，即时，

若，则，方程无解；若，则，解得：；

综上所述：.

故答案为：1;1.

13.答案：3

解析： ，

由得，

又，当且仅当时等号成立，

所以，所以．

最小值为3．

故答案为：3．

14.答案：

解析： 的中点为坐标原点，则根据

，，

∴设椭圆的方程为，代入，解的

所以椭圆的方程为．

故答案为：.

15.答案：7

解析：函数为上的奇函数，且当时，，则，

令，作出函数以及函数的图象如下图所示：

当时，，即，由图可知，，解得．

①当时，设方程的解为，则，

由图可知，方程只有1解；

②当时，方程的解为，，

由图可知，方程有三解，方程有一解；

③当时，方程有三解，分别为、、，

且，，，

方程有三解，方程有三解，方程只有一解，

此时，方程有7个不同的解；

④当时，方程的三解分别为，，，

方程有两解，方程有三解，方程有两解，

此时，方程有7个不同的解；

同理可知，当时，方程有7个不同的解；

当时，方程有4个不同的解；

当时，方程只有1解．

综上所述，当实数的取值范围是时，方程有最多7个根．

故答案为：7．

16.答案：（1）；

（2）.

解析：（1）若关于的方程有两个负根，

只需：，即；

且两根之和，即；

以及两根之积，即或.

综上所述，，

即实数的取值范围为.

（2）关于的方程有一个正根和一个负根时，

只需其对应的二次函数满足，

即，解得.

故实数的取值范围为：.

17.答案：（1）；

（2）.

解析：（1）过点，

，可得.

当时，由图得：函数在处取得最大值1.

设，由函数过点，代入得：.

∴，.

综上，.

（2）由图知，当时，，可得.

当时，则，即，可得.

综上，方程的解集为.

18.答案：（1），

（2）证明见解析，定点

解析： （1）

设抛物线的标准方程为y，，其焦点为

则，

∴

所以抛物线的方程为.

，所以，所以.

因为，所以，所以.

（2）

由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），

联立方程得

设两个交点，（，）.

所以

所以，

即

整理得，此时恒成立，

此时直线的方程为，可化为，

从而直线过定点.

19.答案：（1）；

（2）.

解析：（1）

解：因为命题，，

若命题为真命题，则且，

即，解得：，

所以实数的取值范围是.

（2）

解：因为命题，；命题，，

则，，，，

若命题与均为假命题，则和都是真命题，

由是真命题，得或，解得：，

由是真命题，得或，解得：，

联立，得，

所以实数的取值范围为.

20.答案：（1）；

（2）直线与圆相交，时，直线截圆所得最小弦长为.

解析：（1）由题意知，到直线：的距离为圆的半径r，

于是得r＝＝2，

所以圆的方程为：.

（2）显然直线恒过定点(不妨设该点为B)，

因，则点B在圆内，所以直线与圆A相交，

由圆的性质知，当直线时，直线截圆所得弦的弦长最小，而直线AB斜率为：，

因此，，

圆心到直线的距离，此时直线截圆A所得弦长为，

所以，直线与圆相交，时，直线截圆所得弦长最小，弦长最小值为.