2022届初中数学一轮复习 第19讲 解直角三角形及其应用 课件

这是一份2022届初中数学一轮复习 第19讲 解直角三角形及其应用 课件，共50页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，Part1，答案C，Part2，Part3，答案D，答案B，答案7或5等内容，欢迎下载使用。
命题点1　锐角三角函数1.提示:见第1讲第18题.2.提示:见第1讲第19题.
命题点2　解直角三角形3.(2020·安徽,8,4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90° ,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cs A= ,则BD的长度为(　　)
命题点3　解直角三角形的应用4.(2020·安徽,18,8分)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°,塔顶A的仰角∠ABD=42°.求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上).(参考数据:tan 36.9°≈0.75,sin 36.9°≈0.60,tan 42.0°≈0.90 )
5.(2019·安徽,19,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图①,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 41.3°≈0.66,cs 41.3°≈0.75,tan 41.3°≈0.88)
6.(2018·安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan 39.3°≈0.82,tan 84.3°≈10.02)
解法一 过点F作AB的垂线交AB于点H,交AE于点G,∴FH∥DB,∴∠1=45°,∠2=∠3=45°,∴∠FEG=90°.
7.(2017·安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A-B-D 的路线可至山顶D处,假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600 m,α=75°,β=45°,求DE的长.(参考数据:sin 75°≈0.97,cs 75°≈0.26, ≈1.41)
解 在Rt△ABC中,∵AB=600 m,∠ABC=75°,∴BC=AB·cs 75°≈600×0.26=156(m).在Rt△BDF中,∵∠DBF=45°,∴DF=BD·sin 45°=600× ≈300×1.41≈423(m).∵四边形BCEF是矩形,∴EF=BC=156(m).∴DE=DF+EF=423+156=579(m).答:DE的长为579 m.
8.(2016·安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点.某人在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°,求C,D两点间的距离.
解 ∵∠DEB=60°,∠DAB=30°,∴∠ADE=60°-30°=30°,∴∠DAB=∠ADE,∴DE=AE=20(米), (3分)如解图,过点D作DF⊥AB于点F,则∠EDF=30°,∴在Rt△DEF中,EF=DE=10(米),∴AF=AE+EF=20+10=30(米),∵DF⊥AB,∠CAB=90°,∴CA∥DF,又∵l1∥l2,∴四边形CAFD是矩形,∴CD=AF=30(米),答:C,D两点间的距离为30米.
考点一　锐角三角函数(低频考点)　1.三角函数的概念如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A.
2.特殊角的三角函数值(10年1考)
考点二　解直角三角形的一般类型(低频考点)　在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.
考点三　解直角三角形的实际应用(高频考点)　1.常见概念
2.解直角三角形的实际应用题的方法解直角三角形的实际应用问题时,要读懂题意,分析背景语言,弄清题中各个量的具体意义及各个已知量和未知量之间的关系,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题,具体方法如下:(1)紧扣三角函数的定义,寻找边角关系;(2)解直角三角形实际应用的常见模型及辅助线的作法:
(3)逐个分析相关的直角三角形,利用直角三角形的边角关系求解.
考法1锐角三角函数例1 (2020·甘肃天水)如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠AOB的值是_____________. 
解析 连接AB如图所示:设小正方形的边长为1,∴OA2=32+1=10,BA2=32+1=10,∴OB2=42+22=20,∴△ABO是直角三角形,
方法总结 求锐角的三角函数,首先要确定在哪个直角三角形中考查,其次要清楚所求的是哪两边之比.常通过“等角代换”,将所求的锐角的三角函数转化到另外的直角三角形中考查.
对应练1(2020·山东聊城)如图,在4×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB的值为(　　)
对应练2(2020·天津)2sin 45°的值等于(　　)
对应练3(2020·广东深圳)如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P,Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70°方向,则河宽(PT的长)可以表示为(　　)
考法2解直角三角形例2 (2020·四川凉山州)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值为(　　)
答案 A解析 如图,取格点E,连接BE,设小正方形的边长为1.
方法总结 锐角三角函数沟通了直角三角形边角之间的关系,当三角形不是直角三角形时,常通过做高构造直角三角形来解决问题.
对应练4(2020·黑龙江牡丹江、鸡西)如图,在△ABC中,sin B= , tan C=2,AB=3,则AC的长为(　　)
对应练5(2020·河南)如图,在△ABC中,∠ACB=90°.边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时,点D的坐标为(　　)
答案 B解析 由题意,知C(-2,0),∵四边形COED为正方形,∴CO=CD=OE,∠DCO=90°,∴D(-2,2),E(0,2).如图,当E落在AB上时,∵A(-2,6),B(7,0),∴AC=6,BC=9,
∴O'B=3,∴OO'=7-3=4,OC'=2,∴D(2,2).
对应练6(2020·黑龙江哈尔滨)在△ABC中,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=6 ,CD=1,则BC的长为_____________. 
解析 如图,∵在Rt△ABD中,∴BD=6,当D在BC之间时,BC=BD+CD=6+1=7;当D在BC延长线上时,BC=BD-CD=6-1=5.故答案为7或5.
考法3解直角三角形的应用例3(2020·四川遂宁)在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1,2号楼进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处,测得1号楼顶部E的俯角为67°,测得2号楼顶部F的俯角为40°,
此时航拍无人机的高度为60米,已知1号楼的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点,求2号楼的高度.(结果精确到0.1)(参考数据sin 40°≈0.64,cs 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin 67°≈0.92,cs 67°≈0.39,tan 67°≈2.36)
解 过点E,F分别作EM⊥AB,FN⊥AB,垂足分别为M,N,由题意,得EC=20,∠AEM=67°,∠AFN=40°,CB=DB=EM=FN,AB=60,∴AM=AB-MB=60-20=40.在Rt△AEM中,
方法总结 解这类实际应用问题,关键是要将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系,即把实际问题抽象成数学模型(构造直角三角形),然后根据直角三角形边、角以及边角关系求解.解题时应注意弄清仰角、俯角、水平距离、坡度(坡比)、坡角等概念的意义,认真分析题意,观察图形(或画图)找出要解的直角三角形,选择合适的边角关系式计算,并按照题中要求的精确度确定答案,注明单位.在一些问题中,如斜三角形问题,要根据需要添加辅助线,构造出直角三角形,从而转化为解直角三角形的问题.解题时方法要灵活,选择关系时尽量考虑用原始数据,减小误差.
对应练7(2020·四川乐山)如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°,在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°,A,C之间的距离为4 m. 则自动扶梯的垂直高度BD=_____________m.(结果保留根号) 
　　　图1　　　　　　　　　图2
解析 ∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°,∠BAC=30°,∴∠ABC=30°,∴∠ABC=∠BAC,∴BC=AC=4,
对应练8(2020·山东聊城)如图,小莹在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量.先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35 m,后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°.居民楼AB的顶端B的仰角为55°.已知居民楼CD的高度为16.6 m,小莹的观测点N距地面1.6 m.求居民楼AB的高度(精确到1 m).(参考数据:sin 55°≈0.82,cs 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
解 过点N作EF∥AC交AB于点E,交CD于点F.则AE=MN=CF=1.6,EF=AC=35,∠BEN=∠DFN=90°,EN=AM,NF=MC,则DF=CD-CF=16.6-1.6=15.在Rt△DFN中,∵∠DNF=45°,∴NF=DF=15.∴EN=EF-NF=35-15=20.在Rt△BEN中,∴BE=EN·tan∠BNE=20×tan 55°≈20×1.43=28.6.∴AB=BE+AE=28.6+1.6≈30.答:居民楼AB的高度约为30 m.