专题14.14 完全平方公式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.14  完全平方公式（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　

2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

【要点梳理】

要点一、完全平方公式

    完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

要点二、拓展、补充公式

；；

    ；.

【典型例题】

类型一、运用完全平方公式进行运算 

1．阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）两个问题．

例：计算

…………①

………………②

…………③

．

（1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的变形依据是              ，②→③的变形依据是              ．（填整式乘法公式的名称）

（2）用此方法计算： ．

【答案】（1）平方差公式，完全平方公式；（2）

【分析】

（1）根据平方差公式，完全平方公式可得出结论；

（2）转化成，根据平方差公式展开，再根据完全平方公式展开，即可求出答案．

解：（1）根据平方差公式，完全平方公式可得，其中①→②的变形依据是平方差公式，②→③的变形依据是完全平方公式．

故答案为：平方差公式，完全平方公式；

（2）原式=

＝

＝

【点拨】本题考查了平方差公式以及完全平方公式的应用，关键是把原式转化成．

举一反三：

【变式1】观察发现：

（1）比较大小：（填“＞、＜或＝”）

①12+22　 　2×1×2；

②22+32　 　2×2×3；

③32+52　 　2×3×5；

④42+42　 　2×4×4．

……

（2）请你观察上面的数量关系，用字母a、b正确表示出你发现的结论，并说明理由．

【答案】（1）＞，＞，＞，=；（2）a2+b2≥2ab，理由见解析

【分析】

（1）计算出结果进行比较；

（2）根据已知不等式，总结出规律，用字母表示即可．

 解：（1）①12+22=5＞2×1×2=4，；

②22+32=13＞2×2×3=12；

③32+52=34＞2×3×5=30；

④42+42=2×4×4．

故答案为：＞，＞，＞，=．

（2）结论：a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立），

理由：∵（a-b）2≥0（当a=b时，等号成立），

∴a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）．

【点拨】本题考查了完全平方公式的规律总结．要求学生学会由特殊到一般的方法总结规律．

【变式2】 计算：

（1）（x+1）（x﹣2）；             （2）（x﹣y）2（x+y）2．

【答案】（1）x2-x-2；（2）x4-2x2y2+y4

【分析】

（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算；

（2）先运用平方差公式，再运用完全平方公式计算．

 解：（1）原式=x2-2x+x-2

=x2-x-2；

（2）原式=（x2-y2）2

=x4-2x2y2+y4．

【点拨】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．

【变式3】代数式a2±2ab+b2称为完全平方式．

（1）若4a2+ka+9是完全平方式，那么k＝　 　；

（2）已知x、y满足x2+y2+＝2x+y，求x和y的值．

【答案】（1）±12；（2）x=1，y=

【分析】

（1）根据完全平方公式解答即可；

（2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出x、y．

 解：（1），，

，

故答案为：±12；

（2），

，

，

，，

解得：，．

【点拨】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．

类型二、运用完全平方公式变形求值 

2．同学们知道完全平方公式是：，．

（1）填空：由完全平方公式可以得出下列结论：

①_____________；

②；

（2）如果，求和值；

（3）已知满足，，求的值．

【答案】（1）①，②（或者）；（2），；（3）8

【分析】

（1）①直接用即可得到答案；② 直接用即可得到答案；

（2）根据完全平方公式进行变形求解即可；

（3），可以分别求出与的值，再进行计算即可.

 解：（1）

，

∴

故答案为：

②

∴

故答案为：

（2）解：∵，

∴

（3）解：∵，

∴

又∵

∴

∴

【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式.

举一反三：

【变式1】已知，，求及的值．

【答案】；．

【分析】根据完全平方公式对式子进行变形，并将已知条件整体代入即可．

 解：

；

．

【点拨】本题考查了完全平方式，把式子灵活变形是解题关键．

【变式2】已知，，试用，表示下列各式：

（1）；

（2）；

（3）若，，求的值．

【答案】（1）a2−2b；（2）a2−4b；（3）40

【分析】

（1）根据完全平方公式即可求出答案；

（2）根据完全平方公式即可求出答案；

（3）根据=，然后代入求值即可求解．

 解：（1）∵，，

∴＝（x＋y）2−2xy＝a2−2b；

（2）∵，，

∴＝x2＋y2−2xy═（x＋y）2−4xy＝a2−4b；

（3）∵，，

∴==40．

【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式及其变形，本题属于基础题型．

【变式3】已知，求的值．

【答案】

【分析】根据完全平方公式及其变形即可得出答案.

 解：∵，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，需要熟练掌握完全平方公式及其变形.

类型三、 完全平方公式中的参数 

3．已知m为整数，多项式x+mx+4是完全平方式，则m的值为多少？

【答案】±4.

【解析】

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．

解：∵x+mx+4=x+mx+2，

∴mx=±2×2×x，

解得m=±4.

故答案为：±4.

【点拨】此题考查完全平方式，解题关键在于计算公式.

举一反三：

【变式1】如果x2-2(m-3)x+25是一个完全平方式，那么的值是多少？

【答案】8或-2.

【分析】利用完全平方公式的特征判断即可确定出m的值．

解：∵是一个完全平方式，

∴，

解得：或．

【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

【变式2】 ①已知a2-8a+k是完全平方式，试问k的值.

②已知x2+mx+9是完全平方式，求m的值.

【答案】①k=16； ②m=±6.

 【分析】

①设m2=k，由a2-8a+k是完全平方式，即可得m=4，进而得到k的值；

②先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．

解：①设m2=k；因为a2-8a+k是完全平方式，

所以a2-8a+m2=(a-m)2= a2-2ma+m2,

所以8a=2ma,

解得m=4,

所以k=16；

②因为x2+mx+9是完全平方式，

所以x2+mx+9=(x±3)2,

所以m=±6.

【点拨】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

【变式3】如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=　_________　．

【答案】4或﹣2

【解析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．

解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，

∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b，

∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3，

解得k=4或k=﹣2．

即k=4或﹣2．

故答案为4或﹣2．

考点：完全平方式

点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

类型四、完全平方公式在几何图形中的应用 

4．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形水池．

（1）试用含，的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．

（2）求出当，时的绿化面积．

【答案】（1）；（2）    绿化面积为．

【分析】

（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；

（2）将与b=1的值代入计算即可求出值．

解：（1）根据题意得：

，

=，

=，

（2）当，时，

原式=．

【点拨】本题考查了整式的加减乘混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】下列一组图案呈一定规律排列．

（1）写出第7个等式：____________；

（2）根据图案规律，写出第n个等式，并证明．

【答案】（1）；（2）或，见解析

【分析】

（1）通过观察可知，算式有如下规律：得数是，第一个加数是，第二个加数是2n-1，代入求解即可；

（2）证明左右两边相等即可．

解：（1）通过观察可知，算式有如下规律：

得数是，第一个加数是，第二个加数是2n-1，

则第7个算式为：，

故答案为：；

（2）或，

证明如下：∵右边左边，

∴等式成立．

【点拨】本题考查规律型，解题的关键是观察找出规律．

【变式2】有两根同样长的铁丝．

（1）将两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形（无剩余）．

①若其中长方形的长为7cm，宽为3cm，则正方形的边长为      cm；

②设其中长方形的长为cm，宽为cm，则正方形的边长为 cm（用含、的代数式表示）；

③若长方形的长比宽多cm，用含的代数式表示正方形面积与长方形面积的差（写出过程）；

（2）若每根铁丝的长为32cm，现将一根铁丝剪成两段，用这两段分别围成两个正方形，拼成如图所示的形状（在同水平线上，两正方形无重叠），两个正方形面积和为，求阴影部分的面积？（单位）

【答案】（1）①5；②；③；（2）

【分析】

（1）①根据周长相等，可求出正方形的边长；②根据长方形的周长与正方形的周长相等，得出结果，③设出长方形的长，表示宽和周长，进而表示正方形的边长，
（2）设两个正方形的边长为a、b，利用面积和，周长和，列方程组求出边长，进而计算出阴影部分的面积．

（1）解：（1）①长方形的周长为：（7+3）×2=20，因此正方形的边长为：20÷4=5cm，
故答案为：5；

②由题意得，2（x+y）÷4=

故答案为：

③设长方形的长为cm，则宽为cm，则正方形的边长为：cm，

∴；

（2）设大正方形的边长为cm，小正方形的边长为cm，

由题意得，，

∴，

∵，

∴由得：

∴．

【点拨】本题考查完全平方公式的意义和应用，通过图形直观得出面积和周长的关系是解决问题的关键．

【变式3】如图1，用4个相同边长是、的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．

（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则值为__________；则的值为__________；

（2）若小长方形两边长为和，则大正方形的边长为___________；

若满足，则的值为__________；

（3）如图2，正方形的边长是，它由四个直角边长分别是，的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想，，三边的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3），理由见解析

【分析】

（1）大正方形的边长为x+y，小正方的边长为x-y，由面积可求出正方形的边长；

（2）小长方形两边之和为正方形的边长，再由完全平方公式求解即可；

（3）根据大、小正方形和4个直角三角形的面积之间的关系得出结论．

解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，

∴，，

又∵，

∴，，

故答案为：2，6；

（2）大正方形的边长为，

∵，

∴，

故答案为：5，17；

（3），，三边的数量关系为．

理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为，

由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，

，

即．

【点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，理清各个图形面积之间的关系是解决问题的关键，用代数式表示各个部分的面积是得出结论的前提.

类型五、整式的混合运算 

5．（1）计算：

（2）先化简，再求值：，其中，．

【答案】（1）；（2），

【分析】

（1）根据完全平方公式以及多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到答案；

（2）原式利用完全平方公式、平方差公式以及多项式乘以多项式运算公式化简，去括号合并得到最简结果，把x，y的值代入计算即可求出值．

解：（1）

（2）

当，时，原式．

【点拨】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】先化简，再求值：[（x＋y）2＋（2x﹣y）（x＋y）]÷3x，其中x＝3，y=（﹣1）2021．

【答案】x＋y，2

【分析】

整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值．

【详解】

解：原式=(x2＋2xy+y2＋2x2+2xy-xy-y2)÷3x

=（3x2＋3xy）÷3x

=x＋y，

当x＝3，y＝（−1）2021＝−1时，

原式＝3−1＝2．

【点拨】本题考查整式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．

【变式2】 已知，求的值．

【答案】

【分析】由可得再利用整体代入的方法把原式降到是二次多项式，再整体代入求值即可.

 解： ，

【点拨】本题考查的是利用整体思想求解代数式的值，掌握降次的思想方法是解题的关键.

【变式3】先化简，再求值．

，其中．

【答案】，8

【分析】首先，由可得：，根据两个非负数的和为零，则它们都为零，可求得a、b的值；其次，先算中括号里，分别用乘法公式及多项式的乘法法则展开，合并同类项，再算除法，即可化简原式，把所求得的a、b的值代入化简后的式子中求出值即可．

解：∵

∴

∵，，且

∴，且b+1=0

∴

当时，

原式

【点拨】本题考查了整式的混合运算，涉及多项式的乘法法则、乘法公式、多项式的除法法则，二次根式的非负性质等知识，算式比较复杂，难点在于已知条件，要转化为，根据两个非负数和为0的性质求得a、b的值，重点是二次根式的非负性质．