专题14.5 积的乘方（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.5  积的乘方（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握积乘方运算法则；

2. 能用代数式和文字语言正确地表述幂的乘方运算法则，并能运用它们熟练地进行运算；
3. 能用积的乘方运算法则进行逆运算，并能运用它们熟练地进行运算；
4. 能用同底数幂相乘和幂的乘方法和积的乘方法则熟练地进行混合运算及其逆运算。

【要点梳理】

要点一、积的乘方法则

  (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

公式的推广： (为正整数).

要点二、积的乘方逆运算法则

逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：

要点三、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、积的乘方运算 

1．计算：

（1）x•x3+x2•x2．    （2）5x2y•（﹣2xy2）3．     （3）7x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4．

【答案】（1）2x4；（2）﹣40x5y7；（3）﹣2x16．

【分析】（1）先利用同底数幂的乘法运算法则计算，再合并同类项即可；

（2）先利用积的乘方运算法则进行计算，再计算单项式乘以单项式即可；

（3）先算乘方和乘法，后合并同类项即可．

解：（1）原式＝x4+x4＝2x4；

（2）原式＝5x2y•（﹣8x3y6）＝﹣40x5y7；

（3）原式＝7x4•x5•（﹣x7）+5x16＝﹣7x16+5x16＝﹣2x16．

【点拨】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂运算公式的应用．

举一反三：

【变式1】计算：

【答案】

【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方进行求解即可．

解：原式．

【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方是解题的关键．

【变式2】 2（x3）2∙x3-（3x3）3+（5x）2∙x7

【答案】0

【分析】先计算幂的乘方及积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后计算加减．

解：原式

．

【点拨】本题考查了整式的混合运算，涉及到的知识点有幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．

【变式3】计算：

（1）                 （2）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方以及合并同类项计算即可；

（2）根据同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方计算即可；

解：（1）

=

=；

（2）

=

=.

【点拨】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，解题的关键是掌握运算法则.

类型二、积的乘方的逆运算 

2．将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．

（1）_________；

（2）若，求的值；

（3）比较大小：，则的大小关系是什么？

（提示：如果，为正整数，那么）

【答案】（1）1；（2）；（3）．

【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
（2）转化为同底数幂进行计算，即可解答；
（3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．

解：（1）

故答案为：1

（2）∵，

∴，

∴，即，

∴，解得；

（3）由题可得：，，，，

∵，

∴，

即．

【点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．

举一反三：

【变式1】已知，， ．

（1）当，时，　　　，　　　．

（2）当，时，　　　，　　　．

（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论：　　  　（n为正整数）．

（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如，，…．应用上述等式，求的值．

【答案】（1）-32，-32；（2）1000000，1000000；（3）；（4）-4

【分析】（1）分别将，，代入题中计算即可；

（2）分别将，代入题中计算即可；

（3）根据（1）（2）中结论的规律解题；

（4）根据（3）中结论，即将转化成，再结合公式解题即可．

解：（1）当，时，，．

（2）当，时，，．

（3）（n为正整数）．      

（4）

【点拨】本题考查积的乘方及其逆运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式2】对于积的乘方运算，我们有：．逆用这个等式，我们可以很方便的完成一些特定计算．比如：．请仿照上述过程完成以下计算：

（1）

（2）

【答案】（1）1；（2）

【分析】（1）根据积的乘方运算逆运算即可求解；

（2）根据积的乘方运算逆运算即可求解．

解：（1）                   

=                               

=                                    

=1                                        

（2）

=

=

=

=

=．

【点拨】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方运算逆运算．

【变式3】用简便方法计算：．

【答案】

【分析】先确定符号，再利用幂的乘方的逆运算将转化成去和相乘得到1．

解：原式

．

【点拨】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算公式并能够进行简便计算．

类型三、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方综合 

3．计算：

（1）；   （2）；  （3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】(1)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则，直接运算得结果．

(2)利用积的乘方法则、同底数幂的除法法则，直接运算得结果．

(3)利用积的乘方法则、积的乘方法则，直接运算得结果．

解：，

故答案为：；

，

故答案为：；

，

故答案为：．

【点拨】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘除法法则，合并同类项等知识点．掌握幂的相关运算法则是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】计算：（1）；  （2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）先根据幂的乘方的性质计算，再合并即可；

（2）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可；

（3）原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算，再合并即可得到结果．

解：（1）原式．

（2）

．

（3）原式

．

【点拨】本题考查了幂的乘方，积的乘方，合并同类项，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

【变式2】尝试解决下列有关幂的问题：

（1）若，求m的值；

（2）已知求的值；

（3）若n为正整数，且，求的值

【答案】（1）15；（2）；（3）512

【分析】（1）首先利用幂的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘除法运算法则求出答案；
（2）根据同底数幂的除法被幂的乘方法则解答；
（3）将利用幂的乘方和积的乘方法则变形为，再代入计算．

解：（1）∵，
∴，
∴，

∴m+1=16，
∴m=15；

（2）∵，

∴

=

=

=

=；

（3）∵，

∴

=

=

=512

【点拨】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

【变式3】如果，那么我们规定．例如：因为，所以．

（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）=         ，         ；

（2）（说理）记，，．试说明：；

（3）（应用）若，求t的值．

【答案】（1）3，－2；（2）见解析；（3）80

【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）根据定义解答即可．

解：（1）23=8，（2，8）=3，

，（2，）=-2，

故答案为：3；-2；

（2）∵（4，12）=，（4，5）=，（4，60）=，
∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）设（m，16）=，（m，5）=，（m，t）=，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴．

【点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及新定义下的实数运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．

类型四、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方综合逆运算综合 

4．计算：若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：

（1）如果，求x的值；

（2）如果，求x的值；

（3）若，，用含x的代数式表示y．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；

（2）利用积的乘方逆运算解答；

（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为，，即可得到x与y的关系式，由此得到答案．

解：（1）∵，

∴，

∴，

解得；

（2）∵，

∴，

，

，

；

（3）∵，，

∴，，

∴，

∴．

【点拨】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键．

举一反三：

【变式1】比较下列各题中幂的大小：

（1）已知，比较a、b、c的大小关系；

（2）比较这4个数的大小关系；

（3）已知，比较P，Q的大小关系；

【答案】（1）a＞b＞c；（2）；（3）P=Q

【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；

（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；

（3）利用作商法，结合积的乘方法则计算，根据结果判断．

解：（1）∵，

，

，

∴a＞b＞c；

（2），

，

，

，

∵，

∴；

（3）∵，

∴P=Q．

【点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用运算法则是解题的关键．

【变式2】（1）若，．请用含x的代数式表示y；如果，求此时y的值

（2）已知，判断和的大小．

【答案】（1）y＝x2−2x＋4，当x＝4时，y＝12；（2）ab＝a＋b，理由见详解．

【分析】（1）利用整体代入的思想即可解决问题；

（2）根据幂的乘方，可得2ab＝10b，5ab＝10a，根据积的乘方2ab×5ab＝（2×5）ab＝10ab，再结合2ab×5ab＝10a×10b＝10a＋b，根据等量代换，可得答案．

 （1）解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m＋1，

∴2m＝x−1，

∵y＝4m＋3，

∴y＝（x−1）2＋3，

即y＝x2−2x＋4．

当x＝4时，y＝42−2×4＋4＝12；

（2）解：∵2a＝10，

∴（2a）b＝10b，即：2ab＝10b①；

∵5b＝10，

∴（5b）a＝10a，即：5ab＝10a②，

②，得：2ab×5ab＝（2×5）ab＝10ab，

又∵2ab×5ab＝10a×10b＝10a＋b，

∴ab＝a＋b．

【点拨】本题考查幂的乘方、积的乘方的逆运用，解题的关键是灵活运用幂的乘方和积的乘方公式，学会用整体代入的思想解决问题．

【变式3】阅读下列材料:

若，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).

解:因为，所以，

所以.

解答下列问题:

(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_                

A.同底数幂的乘法      B.同底数幂的除法         C.幂的乘方      D.积的乘方

(2)已知，试比较x与y的大小。

【答案】＞ （1）C  （2）

【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可；

（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．

解：， 所以，

所以a>b，故答案为: >;

(1)上述求解过程中，逆用了幕的乘方，故选C;

(2) ，

，

.

【点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．

【变式4】按题目要求计算：

（1）已知，求的值；

（2）已知、，用含有、的式子表示．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）将已知变形为，再将化为底数为2的形式，然后将代入求值即可；
（2）将化为，然后代入求解即可．

解：（1）∵，

∴，

∴；

（2）

．

【点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则并灵活运用幂的乘方和积的乘方的逆运算是解答本题的关键．