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专题14.11 整式的乘法（专项练习2）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题14.11 整式的乘法（专项练习2）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共31页。试卷主要包含了多项式乘积中不含某个字母，多项式乘以多项式中的化简求值，多项式乘多项式中的面积问题，多项式乘法中的规律问题等内容，欢迎下载使用。
专题14.11 整式的乘法（专项练习2）
一、 单选题
知识点五、多项式乘积中不含某个字母
1．已知多项式x-a与x2+2x-1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
2．如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（ ）
A．2 B． C．-2 D．
3．要使多项式不含的一次项，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．乘积为
4．若多项式x2＋x＋b与多项式x2－ax－2的乘积中不含x2和x3项，则－2的值是( )
A．－8 B．－4 C．0 D．－
知识点六、多项式乘以多项式中的化简求值
5．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
6．如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为（ ）
A．2，5，3 B．3，7，2
C．2，3，7 D．2，5，7
7．已知? + ? = 1，?? = −2，则(2 − ?)(2 − ?)的值为（ ）
A．−2 B．0 C．2 D．4
8．已知，则当，的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
知识点七、
9．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
10．如果(x－2)(x＋3)=x2＋px＋q，那么p、q的值是（ ）
A．p=5，q=6 B．p=1，q=－6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=－6
11．若（x-a）（x+b）=x2+mx+n，则m，n分别为（ ）
A．m=b-a，n=-ab B．m=b-a，n=ab C．m=a-b，n=-ab D．m=a+b，n=-ab
12．若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
知识点八、多项式乘多项式中的面积问题
13．如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A． B． C． D．
14．下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
15．在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，现将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．则S1﹣S2的值为（ ）
A．-1 B．b﹣a C．-a D．﹣b
16．如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2
知识点九、多项式乘法中的规律问题
17．仔细观察,探索规律:
则的个位数字是
A．1 B．3 C．5 D．7
18．，，······通过计算，猜想：的结果是（ ）
A． B． C． D．
19．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
20．观察下列各式及其展开式
······
请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
知识点五、多项式乘积中不含某个字母
21．若的积不含项，则___________．
22．若关于的多项式的展开式中不含项，则____________．
23．若关于a、b的多项式（a2+2a2b﹣b）﹣（ma2b﹣2a2﹣b）中不含a2b项，则m＝_____
24．如果一个一次二项式与(x2-2x-1)的积所得的多项式中不含一次项，那么这个一次二项式可以是_________（只要写出一个符合条件的多项式）．
知识点六、多项式乘以多项式中的化简求值
25．已知m﹣n=2，mn=﹣1，则（1+2m）（1﹣2n）的值为__．
26．若，那么代数式______.
27．已知,则=__________
28．若，则_______.
知识点七、
29．若对x恒成立，则n=______．
30．如图，在长为a、宽为b的长方形场地中，横向有两条宽均为n的长方形草坪，斜向有一条平行四边形的草坪，且其中一边长为m，则图中空地面积用含有a、b、m、n的代数式表示是_____．
31．已知，则的值为__________．
32．已知(x－1)(x＋2)＝ax2＋bx＋c，则代数式4a－2b＋c的值为________．
知识点八、多项式乘多项式中的面积问题
33．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用代数式表示图中阴影部分的面积_____．
34．如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是______.
35．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是
_______．
36．如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片__张．
知识点九、多项式乘法中的规律问题
37．观察下列各等式：
……
请你猜想：若，则代数式___．
38．观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，根据前面各式的规律可得（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=______（其中n为正整数）．
39．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）
根据前面各式规律，则的展开式中第4项是_________________．
40．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等.请观察图中数字排列的规律，求出代数式的值为______.
三、 解答题
知识点五、多项式乘积中不含某个字母
41． 已知与的乘积中不含和项，求的值.
42．若的积中不含与项.
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值.
知识点六、多项式乘以多项式中的化简求值
43．（1）已知，求的值．
（2）若无意义，且先化简再求的值．
44．先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣4y），其中x＝5，y＝．
知识点七、
45．（1）运用多项式乘法，计算下列各题：
①（x+2）（x+3）=_____
②（x+2）（x﹣3）=_____
③（x﹣3）（x﹣1）=_____
（2）若：（x+a）（x+b）=x2+px+q，根据你所发现的规律，直接填空：p=_____，q=_____．（用含a、b的代数式表示）
46．阅读材料：
，．这说明多项式能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当时，多项式的值为零．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）根据上面的材料猜想：已知一个多项式有因式，则说明该多项式能被______整除，当时，该多项式的值为_______；
（2）探索规律：一般地，如果一个关于的多项式，当时，的值为，试确定与代数式之间的关系；
（3）应用：已知能整除，利用上面的信息求出的值．
知识点八、多项式乘多项式中的面积问题
47．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当时的绿化面积？
48．某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建两横纵宽度均为a米的三条小路，其余部分修建花圃.(1)用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简。(2)记长方形空地的面积为S1，花圃的面积为S2,若2S2-S1=7b2,求的值.
知识点九、多项式乘法中的规律问题
49．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）= ；
（x﹣1）（x2+x+1）= ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）= ．
（2）请你利用上面的结论计算：
299+298+…+2+1
399+398+…+3+1
50．分别计算下列各式的值：
（1）填空： ；
；
；
…
由此可得 ；
（2）求的值；
（3）根据以上结论，计算：．
参考答案
1．C
【解析】
分析：先计算（x﹣a）（x2+2x﹣1），然后将含x2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a的值．
详解：（x﹣a）（x2+2x﹣1）
=x3+2x2﹣x﹣ax2﹣2ax+a
=x3+2x2﹣ax2﹣x﹣2ax+a
=x3+（2﹣a）x2﹣x﹣2ax+a
令2﹣a=0，∴a=2．
故选C．
点拨：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
2．A
【分析】
根据“代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项”可知x2系数等于0，所以将代数式整理计算后合并同类项，即可得出x2的系数，令其等于0解答即可.
【详解】
原式=
∵代数式不含x2项
∴m-2=0,解得m=2
故答案选A.
【点拨】本题考查的是多项式的乘法和不含某项的问题，知道不含某项，代表某项的系数为0是解题的关键.
3．A
【分析】
计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q相等.
【详解】
解：
∵乘积的多项式不含x的一次项，
∴p-q=0
∴p=q.
故选择A.
【点拨】此题考察整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.
4．C
【解析】
【分析】
把两个多项式的乘积展开，找到所有x2和x3项的系数，令他们分别为0，解即可求出ab的值，代入所求代数式再求值即可．
【详解】
解：∵（x2+x+b）（x2-ax-2），
=x4-ax3-2x2+x3-ax2-2x+bx2-abx-2b，
=x4-（a-1）x3-（a-b+2）x2-（ab+2）x-2b，
又∵乘积不含x2和x3项，
∴a-1=0，a-b+2=0，
则a=1，b=3，
∴−2(a−)2=-2×（1-1）2=0．
故选：C．
【点拨】本题考查多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
5．A
【分析】
将x+y=3、xy=1代入原式=1+x+y+xy，据此可得．
【详解】
解：当x+y=3、xy=1时，
原式=1+y+x+xy
=1+3+1
=5，
故选A．
【点拨】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及整体代入思想的运用．
6．C
【解析】
【分析】
根据长方形的面积=长×宽，求出长为a+3b，宽为2a+b的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张即可．
【详解】
解：长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：
（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．B
【分析】
所求式子利用多项式乘多项式法则计算，变形后，将已知等式代入计算即可求出.
【详解】
解：∵x+y=1，xy=-2，
∴（2-x）（2-y）=4-2（x+y）+xy=4-2-2=0.
故选B.
【点拨】本题考查了代数式求值及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
8．A
【分析】
把所求的式子化简成已知式子是解此类题的关键.
【详解】
,,
∴d=25
选A
【点拨】式子的变形，一定是加了多少就要减去多少才能保持不变.
9．C
【详解】
试题分析：依据多项式乘以多项式的法则，进行计算（x+2）（x-1）= +x﹣2 =+mx+n，然后对照各项的系数即可求出m=1，n=﹣2，所以m+n=1﹣2=﹣1．
故选C
考点：多项式乘多项式
10．B
【分析】
先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．
【详解】
解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，
又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，
∴x2+px+q=x2+x-6，
∴p=1，q=-6．
故选：B．
【点拨】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．
11．A
【分析】
先将式子展开，再根据展开后的式子求m和n.
【详解】
（x-a）（x+b）=x2+mx+n
故选A
【点拨】此题重点考察学生对整式乘法的理解，整式乘法的法则是解题的关键.
12．A
【解析】
【分析】
根据多项式相乘展开可计算出结果.
【详解】
=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【点拨】本题考查多项式相乘展开系数问题.
13．D
【分析】
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
【详解】
矩形的面积为：
（a+4）2-（a+1）2
=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）
=a2+8a+16-a2-2a-1
=6a+15．
故选D．
14．B
【分析】
依题意可得、、，分别可列式，列出可得答案.
【详解】
解：依图可得，阴影部分的面积可以有三种表示方式：
；
；
.
故选：B.
【点拨】本题考查多项式乘以多项式及整式的加减，关键是熟练掌握图形面积的求法，还有本题中利用割补法来求阴影部分的面积，这是一种在初中阶段求面积常用的方法，需要熟练掌握.
15．D
【分析】
利用面积的和差分别表示出S1、S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.
【详解】
∵
∴
故选D.
【点拨】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.
16．C
【详解】
根据题意得出矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2，求出即可：
矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1）=4a（cm2）．故选C．
17．C
【分析】
仔细观察，探索规律可知：22019+22018+22017+…+2+1=（22020-1）÷（2-1），依此计算即可求解．
【详解】
解：22019+22018+22017+…+2+1
=（22020-1）÷（2-1）
=22020-1，
∵2n的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505，
∵22020的个位数字是6，
∴22020-1的个位数字是5，
∴22013+22012+22011+…+2+1的个位数字是5．
故答案选：C.
【点拨】本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
18．D
【分析】
已知各项利用多项式乘以多项式法则计算，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
【详解】
（1−x）（1＋x）＝1−x2，
（1−x）（1＋x＋x2）＝1＋x＋x2−x−x2−x3＝1−x3，
…，
依此类推（1−x）（1＋x＋x2＋…＋xn）＝1−xn＋1，
故选：D．
【点拨】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，找出规律是解本题的关键．
19．A
【分析】
根据图形中的规律即可求出（a+b）64的展开式中第三项的系数．
【详解】
解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
，
∴（a+b）64第三项系数为1+2+3+…+63=2016，
故选：A．
【点拨】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
20．B
【分析】
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）10的展开式第三项的系数．
【详解】
解：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第7个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第8个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第9个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选：B．
【点拨】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
21．
【分析】
先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．
【详解】
解：
=
=
∵的积不含项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
22．m=2
【分析】
先根据多项式乘法计算法则进行展开合并同类项，再令含x2项的系数为0，计算出m的值即可．
【详解】
解：
=
=
∵关于的多项式的展开式中不含项
∴
即
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了多项式乘法计算法则，解题的关键在于熟练的掌握相关计算法则．
23．2
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，根据结果不含a2b项，求出m的值即可
【详解】
原式＝a2+2a2b﹣b﹣ma2b+2a2+b
＝3a2+（2﹣m）a2b，
由结果不含a2b项，得到2﹣m＝0
解得：m＝2
故答案为2
【点拨】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键
24．2x-1（答案不唯一）
【分析】
先设这个一次二项式是ax+b，那么（ax+b）（x2-2x-1）=ax3+（b-2a）x2+（-a-2b）x-b，由于积中不含一次项，就是说明一次项的系数为0，那么可以令a=2（也可以等于任何数），进而可求b的值．
【详解】
设这个一次二项式是ax+b，
则（ax+b）（x2-2x-1）=ax3-2ax2-ax+bx2-2bx-b=ax3+（b-2a）x2+（-a-2b）x-b，
∵所得的积中不含一次项，
∴-a-2b=0，
令a=2，则b=-1，
由于a的值有无数，故答案不唯一．
故答案为（2x-1）（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式的法则，解题的关键是理解积中不含一次项的意思．
25．9
【解析】
∵m−n=2，mn=−1，
∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m−4mn=1+2(m−n)−4mn=1+4+4=9.
故答案为9.
点拨: 本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
26．-2
【分析】
由得a2=1-a，代入整理后再次代入即可求解.
【详解】
∵，
∴a2=1-a，
∴
=
=
=4a+6-8a2-12a
=4a+6-8(1-a)-12a
=4a+6-8+8a-12a
=-2.
【点拨】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键. 对于求高次代数式的值一般采取逐步将次的方式求解.
27．2
【分析】
先根据多项式乘以多项式化简（a−2）（b−2），再把知代入化简后的式子计算即可．
【详解】
解：∵，
又∵，
∴原式＝1−2×＋4＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了整式的化简求值，掌握多项式乘多项式的运算及合并同类项法则是解题的关键．
28．11.
【分析】
先化简，再对移项得到，将其代入即可得到答案.
【详解】
化简，由得，则将代入得到11.
【点拨】本题考查多项式乘以多项式和多项式乘以单项式，解题的关键是将整体代入.
29．4．
【详解】
∵，∴ ，故，解得：n=4．故答案为4．
30．（b-2n）（a-m）
【分析】
利用平移的方法先找出空地的长和宽，再计算面积即可.
【详解】
利用平移的方法可知：空地长为a-m，宽为b-2n，图中空地面积用含有a、b、m、n的代数式表示是（b-2n）（a-m）
【点拨】解题的关键在于找到空地的长和宽，再利用长方形面积计算公式列出式子.
31．﹣5
【分析】
等式左边根据多项式的乘法法则计算，合并后对比两边系数即得答案．
【详解】
解：∵，，
∴，∴m=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法的运算法则是解题关键．
32．0
【详解】
解：（x﹣1）（x+2）
=x2﹣x+2x﹣2
=x2+x﹣2
=ax2+bx+c，
则a=1，b=1，c=﹣2．
∴原式=4﹣2﹣2=0．
故答案为：0．
【点拨】本题考查多项式乘多项式．
33．
【分析】
由图形可得，阴影部分的面积是：大正方形面积的一半与小正方形的面积之和减去以（a+b）为底边，高为b的三角形的面积之差再加上以b为底边，高为（a-b）的三角形的面积之和，从而可以解答本题．
【详解】
∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴图中阴影部分的面积是：
+b2−+=，
故答案为．
【点拨】本题考查列代数式，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
34．S4=4S3
【分析】
把两个小正方形S3、S4的边长分别设为a、b，分别表示出S1，S2，S3，S4的面积，根据与AB长度无关得出a、b的关系，进而得出S3、S4之间的关系.
【详解】
设S3的边长为a，S4的边长为b，则，
∴，
又∵2S1－S2的值与AB的长度无关，
∴2a－b=0，即2a=b，
∴，
∴S4=4S3.
【点拨】本题考查整式加减中的无关问题，正确掌握做题方法是解题的关键.
35．100．
【详解】
由题意，得图2中Ⅱ部分长为b，宽为a－b，
∴，解得．
∴图2中Ⅱ部分的面积是．
36．7
【分析】
根据长方形的面积=长×宽，求出长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积是多少，判断出需要B类卡片多少张即可．
【详解】
长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：
（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，
∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张，
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
37．
【分析】
观察一系列等式即可得到一般性规律.
【详解】
∵
∴A=
故答案为：.
【点拨】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
38．xn＋1－1
【详解】
观察其右边的结果：第一个是x2-1；第二个是x3-1；…依此类推，则第n个的结果即可求得．（x-1）（xn+xn-1+…x+1）=xn+1-1．
39．20a3b3
【分析】
根据杨辉三角的规律，得到第七行的数字为：1，6，15，20，15，6，1，进而即可得到答案．
【详解】
根据杨辉三角的规律，可知：第六行的数字为：1，5，10，10，5，1，
第七行的数字为：1，6，15，20，15，6，1
∴=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
∴的展开式中第4项是：20a3b3．
故答案是：20a3b3．
【点拨】本题主要考查数字规律，通过观察，找出杨辉三角的排列规律，是解题的关键．
40．41.
【分析】
根据每个数等于它上方两数之和，即可求出x，y，z的值，即可求解.
【详解】
解：根据图表的特征，可得x=10+10=20，y=10+5=15，z=5+1=6，故，
故本题填41.
【点拨】本题考查探索与表达规律，解决此题时需找出图中已知数据之间的位置以及数量关系，从而得出未知数的值.
41．，．
【分析】
先把按多项式与多项式相乘的法则进行运算，再根据乘积不含和项，列出，，即可求解．
【详解】
解：
∵乘积中不含和项，
∴，，
∴，．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
42．（1）p＝3 ，q＝；（2）
【解析】
试题分析：（1）用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，再令x2与x3项的系数为0，即可得p、q的值；（2）先将p、q的指数作适当变形便于计算，再将p、q的值代入代数式中计算即可．
试题解析：
（1）
=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+x2-28x+q
=x4+（p-3）x3+（q-3p+）x2+（pq-28）x+q，
因为它的积中不含有x2与x3项，
则有，p-3=0，q-3p+=0
解得，p=3，q=；
（2）
=
=
=-8×
=-8×
=216
=．
43．（1）-1；（2）-6.
【分析】
(1)先分别对等式和代数式进行变形，即可发现解答思路.
(2)先化简，再利用作答.
【详解】
解：（1）化简为：
=
=12-2×1
=-1
（2）∵，
∴a+2=0，即a=-2
又∵
∴b=
=
=
=-5b+a
=-5×-2
=-6
【点拨】本题考查的是整式的化简求值，解此类题的关键在于对已知整式和等式进行变形或求出字母的值..
44．2x2﹣7xy，43
【解析】
【分析】
根据完全平方公式及多项式的乘法法则展开，然后合并同类项进行化简，然后把x、y的值代入求值即可.
【详解】
原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣7xy，
当x＝5，y＝时，原式＝50﹣7＝43．
【点拨】完全平方公式和多项式的乘法法则是本题的考点，能够正确化简多项式是解题的关键.
45．x2+5x+6 x2﹣x﹣6 x2﹣4x+3 a+b ab
【分析】
（1）利用多项式乘多项式法则计算后，再合并同类项即可得；
（2）利用多项式乘多项式法则计算后，再合并同类项即可得．
【详解】
（1）①（x+2）（x+3）=x2+3x+2x+6=x2+5x+6，
②（x+2）（x﹣3）=x2﹣3x+2x﹣6=x2﹣x﹣6，
③（x﹣3）（x﹣1）=x2﹣x﹣3x+3=x2﹣4x+3，
故答案为x2+5x+6、x2﹣x﹣6、x2﹣4x+3；
（2）∵（x+a）（x+b）=x2+bx+ax+ab=x2+（a+b）x+ab，
∴x2+（a+b）x+ab=x2+px+q，
∴p=a+b、q=ab，
故答案为a+b、ab．
【点拨】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则与合并同类项法则.
46．（1）x-2；0；（2）M能被整除；（3）
【分析】
（1）直接根据题干中的规律即可填写；
（2）多项式为0，说明该式子是多项式的因式；
（3）根据规律，可知x－2是多项式的因式，即x=2时，多项式为0，据此可求得k的值．
【详解】
（1）读题可知规律：一个多项式有一个因式，则说明该多项式能被该因式整除，且当这个因式为0时，该多项式为0
∴答案为：；
（2）∵x=k时，多项式为0
∴x－k是多项式的因式
∴M能被整除；
（3）能整除，
当时，，
当时，
解得：
【点拨】本题考查学习能力，解题关键是读懂题意，现场学习多项式与因式的关系．
47．（5a2+3ab）平方米，63平方米
【分析】
根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．
【详解】
解：阴影部分的面积=（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab，
当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63（平方米）．
【点拨】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
48．（1）2a2+10ab+8b2；（2）．
【分析】
（1）把三条小路使花圃的面积变为一个矩形的面积，所以花圃的面积=（4a+2b-2a）（2a+4b-a），然后利用展开公式展开合并即可；
（2）利用2S2-S1=7b2得到b=2a，则用a表示S1、S2，然后计算它们的比值．
【详解】
解：（1）平移后图形为：（空白处为花圃的面积）
所以花圃的面积=（4a+2b-2a）（2a+4b-a）
=（2a+2b）（a+4b）
=2a2+8ab+2ab+8b2
=2a2+10ab+8b2；
（2）S1=（4a+2b）（2a+4b）=8a2+20ab+8b2，
S2=2a2+10ab+8b2；
∵2S2-S1=7b2，
∴2（2a2+10ab+8b2）-（8a2+20ab+8b2）=7b2，
∴b2=4a2，
∴b=2a，
∴S1=8a2+40a2+32a2=80a2，S2=2a2+20a2+32a2=54a2，
∴．
【点拨】本题考查了生活中的平移现象：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．通过平移把不规则的图形变为规则图形．也考查了代数式．
49．答案见解析
【详解】
试题分析：（1）根据平方差公式，立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x-1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100-1；
（2）根据（1）中的结论进行计算即可.
试题解析：（1）（x-1）（x+1）=x2-1；
（x-1）（x2+x+1）=x3-1；
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，
……
故（x-1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100-1，
故答案为x2-1，x3-1，x4-1，···，x100-1；
（2）299+298+…+2+1=（2-1）×（299+298+…+2+1）=2100-1；
399+398+…+3+1=（399+398+…+3+1）= .
50．（1），，，；（2）；（3）
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式的法则分别进行计算， 利用发现的规律得到答案，
（2）利用（1）的规律把乘以，可得答案，
（3）利用（1）的规律把乘以，可得答案，
【详解】
解：（1），
，
，
根据以上计算得：
，
故答案为：，，，；
（2）
（3）
【点拨】本题考查的是多项式乘法中的规律题，根据已有的计算方法与结果得出规律是解题关键．
专题14.11 整式的乘法（专项练习2）
一、 单选题
知识点五、多项式乘积中不含某个字母
1．已知多项式x-a与x2+2x-1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
2．如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（ ）
A．2 B． C．-2 D．
3．要使多项式不含的一次项，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．乘积为
4．若多项式x2＋x＋b与多项式x2－ax－2的乘积中不含x2和x3项，则－2的值是( )
A．－8 B．－4 C．0 D．－
知识点六、多项式乘以多项式中的化简求值
5．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
6．如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类、类和类卡片的张数分别为（ ）
A．2，5，3 B．3，7，2
C．2，3，7 D．2，5，7
7．已知? + ? = 1，?? = −2，则(2 − ?)(2 − ?)的值为（ ）
A．−2 B．0 C．2 D．4
8．已知，则当，的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
知识点七、
9．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
10．如果(x－2)(x＋3)=x2＋px＋q，那么p、q的值是（ ）
A．p=5，q=6 B．p=1，q=－6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=－6
11．若（x-a）（x+b）=x2+mx+n，则m，n分别为（ ）
A．m=b-a，n=-ab B．m=b-a，n=ab C．m=a-b，n=-ab D．m=a+b，n=-ab
12．若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
知识点八、多项式乘多项式中的面积问题
13．如图，从边长为()cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A． B． C． D．
14．下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
15．在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，现将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．则S1﹣S2的值为（ ）
A．-1 B．b﹣a C．-a D．﹣b
16．如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2
知识点九、多项式乘法中的规律问题
17．仔细观察,探索规律:
则的个位数字是
A．1 B．3 C．5 D．7
18．，，······通过计算，猜想：的结果是（ ）
A． B． C． D．
19．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
20．观察下列各式及其展开式
······
请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
知识点五、多项式乘积中不含某个字母
21．若的积不含项，则___________．
22．若关于的多项式的展开式中不含项，则____________．
23．若关于a、b的多项式（a2+2a2b﹣b）﹣（ma2b﹣2a2﹣b）中不含a2b项，则m＝_____
24．如果一个一次二项式与(x2-2x-1)的积所得的多项式中不含一次项，那么这个一次二项式可以是_________（只要写出一个符合条件的多项式）．
知识点六、多项式乘以多项式中的化简求值
25．已知m﹣n=2，mn=﹣1，则（1+2m）（1﹣2n）的值为__．
26．若，那么代数式______.
27．已知,则=__________
28．若，则_______.
知识点七、
29．若对x恒成立，则n=______．
30．如图，在长为a、宽为b的长方形场地中，横向有两条宽均为n的长方形草坪，斜向有一条平行四边形的草坪，且其中一边长为m，则图中空地面积用含有a、b、m、n的代数式表示是_____．
31．已知，则的值为__________．
32．已知(x－1)(x＋2)＝ax2＋bx＋c，则代数式4a－2b＋c的值为________．
知识点八、多项式乘多项式中的面积问题
33．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用代数式表示图中阴影部分的面积_____．
34．如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是______.
35．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是
_______．
36．如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片__张．
知识点九、多项式乘法中的规律问题
37．观察下列各等式：
……
请你猜想：若，则代数式___．
38．观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，根据前面各式的规律可得（x-1）（xn+xn-1+…+x+1）=______（其中n为正整数）．
39．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）
根据前面各式规律，则的展开式中第4项是_________________．
40．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等.请观察图中数字排列的规律，求出代数式的值为______.
三、 解答题
知识点五、多项式乘积中不含某个字母
41． 已知与的乘积中不含和项，求的值.
42．若的积中不含与项.
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值.
知识点六、多项式乘以多项式中的化简求值
43．（1）已知，求的值．
（2）若无意义，且先化简再求的值．
44．先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣4y），其中x＝5，y＝．
知识点七、
45．（1）运用多项式乘法，计算下列各题：
①（x+2）（x+3）=_____
②（x+2）（x﹣3）=_____
③（x﹣3）（x﹣1）=_____
（2）若：（x+a）（x+b）=x2+px+q，根据你所发现的规律，直接填空：p=_____，q=_____．（用含a、b的代数式表示）
46．阅读材料：
，．这说明多项式能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当时，多项式的值为零．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）根据上面的材料猜想：已知一个多项式有因式，则说明该多项式能被______整除，当时，该多项式的值为_______；
（2）探索规律：一般地，如果一个关于的多项式，当时，的值为，试确定与代数式之间的关系；
（3）应用：已知能整除，利用上面的信息求出的值．
知识点八、多项式乘多项式中的面积问题
47．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当时的绿化面积？
48．某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建两横纵宽度均为a米的三条小路，其余部分修建花圃.(1)用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简。(2)记长方形空地的面积为S1，花圃的面积为S2,若2S2-S1=7b2,求的值.
知识点九、多项式乘法中的规律问题
49．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）= ；
（x﹣1）（x2+x+1）= ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）= ．
（2）请你利用上面的结论计算：
299+298+…+2+1
399+398+…+3+1
50．分别计算下列各式的值：
（1）填空： ；
；
；
…
由此可得 ；
（2）求的值；
（3）根据以上结论，计算：．
参考答案
1．C
【解析】
分析：先计算（x﹣a）（x2+2x﹣1），然后将含x2的项进行合并，最后令其系数为0即可求出a的值．
详解：（x﹣a）（x2+2x﹣1）
=x3+2x2﹣x﹣ax2﹣2ax+a
=x3+2x2﹣ax2﹣x﹣2ax+a
=x3+（2﹣a）x2﹣x﹣2ax+a
令2﹣a=0，∴a=2．
故选C．
点拨：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
2．A
【分析】
根据“代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项”可知x2系数等于0，所以将代数式整理计算后合并同类项，即可得出x2的系数，令其等于0解答即可.
【详解】
原式=
∵代数式不含x2项
∴m-2=0,解得m=2
故答案选A.
【点拨】本题考查的是多项式的乘法和不含某项的问题，知道不含某项，代表某项的系数为0是解题的关键.
3．A
【分析】
计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q相等.
【详解】
解：
∵乘积的多项式不含x的一次项，
∴p-q=0
∴p=q.
故选择A.
【点拨】此题考察整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.
4．C
【解析】
【分析】
把两个多项式的乘积展开，找到所有x2和x3项的系数，令他们分别为0，解即可求出ab的值，代入所求代数式再求值即可．
【详解】
解：∵（x2+x+b）（x2-ax-2），
=x4-ax3-2x2+x3-ax2-2x+bx2-abx-2b，
=x4-（a-1）x3-（a-b+2）x2-（ab+2）x-2b，
又∵乘积不含x2和x3项，
∴a-1=0，a-b+2=0，
则a=1，b=3，
∴−2(a−)2=-2×（1-1）2=0．
故选：C．
【点拨】本题考查多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
5．A
【分析】
将x+y=3、xy=1代入原式=1+x+y+xy，据此可得．
【详解】
解：当x+y=3、xy=1时，
原式=1+y+x+xy
=1+3+1
=5，
故选A．
【点拨】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及整体代入思想的运用．
6．C
【解析】
【分析】
根据长方形的面积=长×宽，求出长为a+3b，宽为2a+b的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张即可．
【详解】
解：长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：
（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．B
【分析】
所求式子利用多项式乘多项式法则计算，变形后，将已知等式代入计算即可求出.
【详解】
解：∵x+y=1，xy=-2，
∴（2-x）（2-y）=4-2（x+y）+xy=4-2-2=0.
故选B.
【点拨】本题考查了代数式求值及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
8．A
【分析】
把所求的式子化简成已知式子是解此类题的关键.
【详解】
,,
∴d=25
选A
【点拨】式子的变形，一定是加了多少就要减去多少才能保持不变.
9．C
【详解】
试题分析：依据多项式乘以多项式的法则，进行计算（x+2）（x-1）= +x﹣2 =+mx+n，然后对照各项的系数即可求出m=1，n=﹣2，所以m+n=1﹣2=﹣1．
故选C
考点：多项式乘多项式
10．B
【分析】
先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．
【详解】
解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，
又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，
∴x2+px+q=x2+x-6，
∴p=1，q=-6．
故选：B．
【点拨】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．
11．A
【分析】
先将式子展开，再根据展开后的式子求m和n.
【详解】
（x-a）（x+b）=x2+mx+n
故选A
【点拨】此题重点考察学生对整式乘法的理解，整式乘法的法则是解题的关键.
12．A
【解析】
【分析】
根据多项式相乘展开可计算出结果.
【详解】
=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【点拨】本题考查多项式相乘展开系数问题.
13．D
【分析】
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
【详解】
矩形的面积为：
（a+4）2-（a+1）2
=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）
=a2+8a+16-a2-2a-1
=6a+15．
故选D．
14．B
【分析】
依题意可得、、，分别可列式，列出可得答案.
【详解】
解：依图可得，阴影部分的面积可以有三种表示方式：
；
；
.
故选：B.
【点拨】本题考查多项式乘以多项式及整式的加减，关键是熟练掌握图形面积的求法，还有本题中利用割补法来求阴影部分的面积，这是一种在初中阶段求面积常用的方法，需要熟练掌握.
15．D
【分析】
利用面积的和差分别表示出S1、S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.
【详解】
∵
∴
故选D.
【点拨】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.
16．C
【详解】
根据题意得出矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2，求出即可：
矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1）=4a（cm2）．故选C．
17．C
【分析】
仔细观察，探索规律可知：22019+22018+22017+…+2+1=（22020-1）÷（2-1），依此计算即可求解．
【详解】
解：22019+22018+22017+…+2+1
=（22020-1）÷（2-1）
=22020-1，
∵2n的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505，
∵22020的个位数字是6，
∴22020-1的个位数字是5，
∴22013+22012+22011+…+2+1的个位数字是5．
故答案选：C.
【点拨】本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
18．D
【分析】
已知各项利用多项式乘以多项式法则计算，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
【详解】
（1−x）（1＋x）＝1−x2，
（1−x）（1＋x＋x2）＝1＋x＋x2−x−x2−x3＝1−x3，
…，
依此类推（1−x）（1＋x＋x2＋…＋xn）＝1−xn＋1，
故选：D．
【点拨】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，找出规律是解本题的关键．
19．A
【分析】
根据图形中的规律即可求出（a+b）64的展开式中第三项的系数．
【详解】
解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
，
∴（a+b）64第三项系数为1+2+3+…+63=2016，
故选：A．
【点拨】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
20．B
【分析】
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）10的展开式第三项的系数．
【详解】
解：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第7个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第8个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第9个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选：B．
【点拨】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
21．
【分析】
先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．
【详解】
解：
=
=
∵的积不含项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
22．m=2
【分析】
先根据多项式乘法计算法则进行展开合并同类项，再令含x2项的系数为0，计算出m的值即可．
【详解】
解：
=
=
∵关于的多项式的展开式中不含项
∴
即
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了多项式乘法计算法则，解题的关键在于熟练的掌握相关计算法则．
23．2
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，根据结果不含a2b项，求出m的值即可
【详解】
原式＝a2+2a2b﹣b﹣ma2b+2a2+b
＝3a2+（2﹣m）a2b，
由结果不含a2b项，得到2﹣m＝0
解得：m＝2
故答案为2
【点拨】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键
24．2x-1（答案不唯一）
【分析】
先设这个一次二项式是ax+b，那么（ax+b）（x2-2x-1）=ax3+（b-2a）x2+（-a-2b）x-b，由于积中不含一次项，就是说明一次项的系数为0，那么可以令a=2（也可以等于任何数），进而可求b的值．
【详解】
设这个一次二项式是ax+b，
则（ax+b）（x2-2x-1）=ax3-2ax2-ax+bx2-2bx-b=ax3+（b-2a）x2+（-a-2b）x-b，
∵所得的积中不含一次项，
∴-a-2b=0，
令a=2，则b=-1，
由于a的值有无数，故答案不唯一．
故答案为（2x-1）（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式的法则，解题的关键是理解积中不含一次项的意思．
25．9
【解析】
∵m−n=2，mn=−1，
∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m−4mn=1+2(m−n)−4mn=1+4+4=9.
故答案为9.
点拨: 本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
26．-2
【分析】
由得a2=1-a，代入整理后再次代入即可求解.
【详解】
∵，
∴a2=1-a，
∴
=
=
=4a+6-8a2-12a
=4a+6-8(1-a)-12a
=4a+6-8+8a-12a
=-2.
【点拨】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键. 对于求高次代数式的值一般采取逐步将次的方式求解.
27．2
【分析】
先根据多项式乘以多项式化简（a−2）（b−2），再把知代入化简后的式子计算即可．
【详解】
解：∵，
又∵，
∴原式＝1−2×＋4＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了整式的化简求值，掌握多项式乘多项式的运算及合并同类项法则是解题的关键．
28．11.
【分析】
先化简，再对移项得到，将其代入即可得到答案.
【详解】
化简，由得，则将代入得到11.
【点拨】本题考查多项式乘以多项式和多项式乘以单项式，解题的关键是将整体代入.
29．4．
【详解】
∵，∴ ，故，解得：n=4．故答案为4．
30．（b-2n）（a-m）
【分析】
利用平移的方法先找出空地的长和宽，再计算面积即可.
【详解】
利用平移的方法可知：空地长为a-m，宽为b-2n，图中空地面积用含有a、b、m、n的代数式表示是（b-2n）（a-m）
【点拨】解题的关键在于找到空地的长和宽，再利用长方形面积计算公式列出式子.
31．﹣5
【分析】
等式左边根据多项式的乘法法则计算，合并后对比两边系数即得答案．
【详解】
解：∵，，
∴，∴m=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法的运算法则是解题关键．
32．0
【详解】
解：（x﹣1）（x+2）
=x2﹣x+2x﹣2
=x2+x﹣2
=ax2+bx+c，
则a=1，b=1，c=﹣2．
∴原式=4﹣2﹣2=0．
故答案为：0．
【点拨】本题考查多项式乘多项式．
33．
【分析】
由图形可得，阴影部分的面积是：大正方形面积的一半与小正方形的面积之和减去以（a+b）为底边，高为b的三角形的面积之差再加上以b为底边，高为（a-b）的三角形的面积之和，从而可以解答本题．
【详解】
∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴图中阴影部分的面积是：
+b2−+=，
故答案为．
【点拨】本题考查列代数式，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
34．S4=4S3
【分析】
把两个小正方形S3、S4的边长分别设为a、b，分别表示出S1，S2，S3，S4的面积，根据与AB长度无关得出a、b的关系，进而得出S3、S4之间的关系.
【详解】
设S3的边长为a，S4的边长为b，则，
∴，
又∵2S1－S2的值与AB的长度无关，
∴2a－b=0，即2a=b，
∴，
∴S4=4S3.
【点拨】本题考查整式加减中的无关问题，正确掌握做题方法是解题的关键.
35．100．
【详解】
由题意，得图2中Ⅱ部分长为b，宽为a－b，
∴，解得．
∴图2中Ⅱ部分的面积是．
36．7
【分析】
根据长方形的面积=长×宽，求出长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积是多少，判断出需要B类卡片多少张即可．
【详解】
长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：
（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，
∴需要A类卡片3张，B类卡片7张，C类卡片2张，
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
37．
【分析】
观察一系列等式即可得到一般性规律.
【详解】
∵
∴A=
故答案为：.
【点拨】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
38．xn＋1－1
【详解】
观察其右边的结果：第一个是x2-1；第二个是x3-1；…依此类推，则第n个的结果即可求得．（x-1）（xn+xn-1+…x+1）=xn+1-1．
39．20a3b3
【分析】
根据杨辉三角的规律，得到第七行的数字为：1，6，15，20，15，6，1，进而即可得到答案．
【详解】
根据杨辉三角的规律，可知：第六行的数字为：1，5，10，10，5，1，
第七行的数字为：1，6，15，20，15，6，1
∴=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
∴的展开式中第4项是：20a3b3．
故答案是：20a3b3．
【点拨】本题主要考查数字规律，通过观察，找出杨辉三角的排列规律，是解题的关键．
40．41.
【分析】
根据每个数等于它上方两数之和，即可求出x，y，z的值，即可求解.
【详解】
解：根据图表的特征，可得x=10+10=20，y=10+5=15，z=5+1=6，故，
故本题填41.
【点拨】本题考查探索与表达规律，解决此题时需找出图中已知数据之间的位置以及数量关系，从而得出未知数的值.
41．，．
【分析】
先把按多项式与多项式相乘的法则进行运算，再根据乘积不含和项，列出，，即可求解．
【详解】
解：
∵乘积中不含和项，
∴，，
∴，．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
42．（1）p＝3 ，q＝；（2）
【解析】
试题分析：（1）用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，再令x2与x3项的系数为0，即可得p、q的值；（2）先将p、q的指数作适当变形便于计算，再将p、q的值代入代数式中计算即可．
试题解析：
（1）
=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+x2-28x+q
=x4+（p-3）x3+（q-3p+）x2+（pq-28）x+q，
因为它的积中不含有x2与x3项，
则有，p-3=0，q-3p+=0
解得，p=3，q=；
（2）
=
=
=-8×
=-8×
=216
=．
43．（1）-1；（2）-6.
【分析】
(1)先分别对等式和代数式进行变形，即可发现解答思路.
(2)先化简，再利用作答.
【详解】
解：（1）化简为：
=
=12-2×1
=-1
（2）∵，
∴a+2=0，即a=-2
又∵
∴b=
=
=
=-5b+a
=-5×-2
=-6
【点拨】本题考查的是整式的化简求值，解此类题的关键在于对已知整式和等式进行变形或求出字母的值..
44．2x2﹣7xy，43
【解析】
【分析】
根据完全平方公式及多项式的乘法法则展开，然后合并同类项进行化简，然后把x、y的值代入求值即可.
【详解】
原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣7xy，
当x＝5，y＝时，原式＝50﹣7＝43．
【点拨】完全平方公式和多项式的乘法法则是本题的考点，能够正确化简多项式是解题的关键.
45．x2+5x+6 x2﹣x﹣6 x2﹣4x+3 a+b ab
【分析】
（1）利用多项式乘多项式法则计算后，再合并同类项即可得；
（2）利用多项式乘多项式法则计算后，再合并同类项即可得．
【详解】
（1）①（x+2）（x+3）=x2+3x+2x+6=x2+5x+6，
②（x+2）（x﹣3）=x2﹣3x+2x﹣6=x2﹣x﹣6，
③（x﹣3）（x﹣1）=x2﹣x﹣3x+3=x2﹣4x+3，
故答案为x2+5x+6、x2﹣x﹣6、x2﹣4x+3；
（2）∵（x+a）（x+b）=x2+bx+ax+ab=x2+（a+b）x+ab，
∴x2+（a+b）x+ab=x2+px+q，
∴p=a+b、q=ab，
故答案为a+b、ab．
【点拨】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则与合并同类项法则.
46．（1）x-2；0；（2）M能被整除；（3）
【分析】
（1）直接根据题干中的规律即可填写；
（2）多项式为0，说明该式子是多项式的因式；
（3）根据规律，可知x－2是多项式的因式，即x=2时，多项式为0，据此可求得k的值．
【详解】
（1）读题可知规律：一个多项式有一个因式，则说明该多项式能被该因式整除，且当这个因式为0时，该多项式为0
∴答案为：；
（2）∵x=k时，多项式为0
∴x－k是多项式的因式
∴M能被整除；
（3）能整除，
当时，，
当时，
解得：
【点拨】本题考查学习能力，解题关键是读懂题意，现场学习多项式与因式的关系．
47．（5a2+3ab）平方米，63平方米
【分析】
根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．
【详解】
解：阴影部分的面积=（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab，
当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63（平方米）．
【点拨】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
48．（1）2a2+10ab+8b2；（2）．
【分析】
（1）把三条小路使花圃的面积变为一个矩形的面积，所以花圃的面积=（4a+2b-2a）（2a+4b-a），然后利用展开公式展开合并即可；
（2）利用2S2-S1=7b2得到b=2a，则用a表示S1、S2，然后计算它们的比值．
【详解】
解：（1）平移后图形为：（空白处为花圃的面积）
所以花圃的面积=（4a+2b-2a）（2a+4b-a）
=（2a+2b）（a+4b）
=2a2+8ab+2ab+8b2
=2a2+10ab+8b2；
（2）S1=（4a+2b）（2a+4b）=8a2+20ab+8b2，
S2=2a2+10ab+8b2；
∵2S2-S1=7b2，
∴2（2a2+10ab+8b2）-（8a2+20ab+8b2）=7b2，
∴b2=4a2，
∴b=2a，
∴S1=8a2+40a2+32a2=80a2，S2=2a2+20a2+32a2=54a2，
∴．
【点拨】本题考查了生活中的平移现象：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．通过平移把不规则的图形变为规则图形．也考查了代数式．
49．答案见解析
【详解】
试题分析：（1）根据平方差公式，立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x-1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100-1；
（2）根据（1）中的结论进行计算即可.
试题解析：（1）（x-1）（x+1）=x2-1；
（x-1）（x2+x+1）=x3-1；
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，
……
故（x-1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100-1，
故答案为x2-1，x3-1，x4-1，···，x100-1；
（2）299+298+…+2+1=（2-1）×（299+298+…+2+1）=2100-1；
399+398+…+3+1=（399+398+…+3+1）= .
50．（1），，，；（2）；（3）
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式的法则分别进行计算， 利用发现的规律得到答案，
（2）利用（1）的规律把乘以，可得答案，
（3）利用（1）的规律把乘以，可得答案，
【详解】
解：（1），
，
，
根据以上计算得：
，
故答案为：，，，；
（2）
（3）
【点拨】本题考查的是多项式乘法中的规律题，根据已有的计算方法与结果得出规律是解题关键．
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