2020-2021学年内蒙古包头市青山区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年内蒙古包头市青山区九年级（上）期末数学试卷

一．选择题（共12小题）

1．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是　　

A． B． C． D．

2．（3分）方程的两根为　　

A．， B．， C．， D．，

3．（3分）下列命题正确的是　　

A．若锐角满足，则 

B．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为 

C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 

D．相似三角形周长之比与面积之比一定相等

4．（3分）在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是　　

A．线段 B．与原三角形全等的三角形 

C．变形的三角形 D．点

5．（3分）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

6．（3分）如图，是的直径，是上的一点，，则的度数是　　

A． B． C． D．

7．（3分）关于二次函数，下列说法正确的是　　

A．图象与轴的交点坐标为 

B．图象的对称轴在轴的右侧 

C．当时，的值随值的增大而减小 

D．的最小值为

8．（3分）如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点和，在余下的7个点中任取一点，使为直角三角形的概率是　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，在中，对角线与相交于点，点是的中点，与相交于点，则的值为　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点．若，则的取值范围是　　

A． B． C．或 D． 或

11．（3分）如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为　　

A． B． C． D．

12．（3分）在边长为2的正方形中，对角线与相交于点，是上一动点，过作，分别交正方形的两条边于点，．设，的面积为，则能反映与之间关系的图象为　　

A． B． 

C． D．

二．填空题（共8小题）

13．（3分）在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共计15个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.6，则可估计这个袋中红球的个数约为　　．

14．（3分）如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，，则的半径是　　．

15．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是　　海里．

16．（3分）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，，则的度数为　　．

17．（3分）设、是方程的两个不等实根，则的值是　　．

18．（3分）如图，点为的三等分点，，，，则图中阴影部分的面积为　　．

19．（3分）如图，在平面直角坐标系内，为坐标原点，点为直线上一动点，过作轴，交轴于点（点在原点右侧），交双曲线于点，且，则当存在时，其面积为　　．

20．（3分）如图，正方形中，点、分别在线段、上运动，且满足，、分别与相交于点、，下列说法中：①；②点到线段的距离一定等于正方形的边长；③若，则；④若，，则．其中结论正确的是　　．（将正确的序号填写在横线上）

三．解答题（共6小题）

21．如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点，

（1）求该一次函数的解析式；

（2）求的值．

22．某学校的校门是伸缩门（如图，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为（如图；校门打开时，每个菱形的锐角度数从缩小为（如图．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，．

23．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为．

（1）设为，则　　；

（2）是否存在的值，使得矩形的面积是；

（3）为何值时，有最大值？最大值是多少？

24．如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交的延长线于点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求弧的长．（结果保留

25．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接、过点作．交点，以、为邻边作矩形，连接．

（1）求证：矩形是正方形；

（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

26．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴另一交点为，顶点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴上找一点，使的周长最小，求符合条件的点坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年内蒙古包头市青山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是　　

A． B． C． D．

【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，

故选：．

2．（3分）方程的两根为　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：方程移项并化简得，

，，

△

解得，．故选：．

3．（3分）下列命题正确的是　　

A．若锐角满足，则 

B．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为 

C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 

D．相似三角形周长之比与面积之比一定相等

【解答】解：、若锐角满足，则，故本选项错误；

、在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，正确；

、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项错误；

、相似三角形周长之比等于面积比的平方，故本选项错误；

故选：．

4．（3分）在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是　　

A．线段 B．与原三角形全等的三角形 

C．变形的三角形 D．点

【解答】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，不可能是一个点，

故选：．

5．（3分）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

【解答】解：在中，，

则梯子底端到墙角的距离，

故选：．

6．（3分）如图，是的直径，是上的一点，，则的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

是直径，

，

故选：．

7．（3分）关于二次函数，下列说法正确的是　　

A．图象与轴的交点坐标为 

B．图象的对称轴在轴的右侧 

C．当时，的值随值的增大而减小 

D．的最小值为

【解答】解：，

当时，，故选项错误，

该函数的对称轴是直线，故选项错误，

当时，随的增大而减小，故选项错误，

当时，取得最小值，此时，故选项正确，

故选：．

8．（3分）如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点和，在余下的7个点中任取一点，使为直角三角形的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，，，，均可与点和组成直角三角形，

则使为直角三角形的概率是：．

故选：．

9．（3分）如图，在中，对角线与相交于点，点是的中点，与相交于点，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：点是的中点，

，

四边形是平行四边形，

，，，

，

，

，

，，

；

故选：．

10．（3分）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点．若，则的取值范围是　　

A． B． C．或 D． 或

【解答】解：由图可知，在点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时；

在点左侧，轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时．

故选：．

11．（3分）如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，

四边形是菱形，

，，

是等边三角形，

，

又是等边三角形，

，

又，

，

在和中，，

，

，

，，

，

，

故选：．

12．（3分）在边长为2的正方形中，对角线与相交于点，是上一动点，过作，分别交正方形的两条边于点，．设，的面积为，则能反映与之间关系的图象为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：四边形是正方形，

，，

①当在上时，即，

，

，

，

，

；

②当在上时，即，

，

，

，

即，

，

，

这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：

二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．

当系数时，抛物线开口向上；系数时，开口向下．所以由此图我们会发现，的取值，最大是．当在的左边时，；所以此抛物线开口向上，当在的右边时，抛物线就开口向下了．

故选：．

二．填空题（共8小题）

13．（3分）在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共计15个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.6，则可估计这个袋中红球的个数约为　6　．

【解答】解：

答：估计这个袋中红球的个数约为6．

故答案为：6．

14．（3分）如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，，则的半径是　　．

【解答】解：连接，

是的中点，

，，

，即，

解得，，

故答案为：．

15．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是　　海里．

【解答】解：过作于点，

，，．

在中，，，

．

在中，，

，

．

答：这时轮船与小岛的距离是海里．

故答案为：．

16．（3分）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，，则的度数为　　．

【解答】解：，

，

由折叠可得，

，

又，

，

又，

中，，

，

故答案为：

17．（3分）设、是方程的两个不等实根，则的值是　2019　．

【解答】解：、是方程的两个不等实根，

，，

，

．

故答案为：2019．

18．（3分）如图，点为的三等分点，，，，则图中阴影部分的面积为　　．

【解答】解：连接，，

点为的三等分点，，

，，

，

，

，，，

，，

图中阴影部分的面积，

故答案为：．

19．（3分）如图，在平面直角坐标系内，为坐标原点，点为直线上一动点，过作轴，交轴于点（点在原点右侧），交双曲线于点，且，则当存在时，其面积为　1　．

【解答】解：根据题意设点，，

所以，．

，

可列方程，即

解得：或1，

，或，，或，

存在，

舍去，

．

的面积．

故答案为1．

20．（3分）如图，正方形中，点、分别在线段、上运动，且满足，、分别与相交于点、，下列说法中：①；②点到线段的距离一定等于正方形的边长；③若，则；④若，，则．其中结论正确的是　①②③④　．（将正确的序号填写在横线上）

【解答】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，

由旋转的性质得，，，，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

故①正确；

过作于，

，

在与中，

，

，

点到线段的距离一定等于正方形的边长；故②正确；

，

设，，

，

设，则，，

，

，

，

；故③正确；

，，

，

设，

，，

，

，

（负值舍去），

，

．故④正确，

故答案为：①②③④．

三．解答题（共6小题）

21．如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点，

（1）求该一次函数的解析式；

（2）求的值．

【解答】解：（1）将，分别代入得，

由，

解得，，所以（3分），

（2）当时，；当时，；

故，．

在中，，，

．　（6分）

22．某学校的校门是伸缩门（如图，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为（如图；校门打开时，每个菱形的锐角度数从缩小为（如图．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，．

【解答】解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形．

根据题意，得，米．

在菱形中，，

是等边三角形，

米，

大门的宽是：（米；

校门打开时，取其中一个菱形．

根据题意，得，米．

在菱形中，，，

在△中，

（米，

米，

伸缩门的宽是：米；

校门打开的宽度为：（米．

故校门打开了5米．

23．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为．

（1）设为，则　　；

（2）是否存在的值，使得矩形的面积是；

（3）为何值时，有最大值？最大值是多少？

【解答】解：（1）①②③三块矩形区域的面积相等，

，

，，

，

；

故答案为：；

（2）设为，

由（1）得：，

由题意可得：，

，

，

，

令得：，

化简得：，

△，

方程无解，

答：不存在的值，使得矩形的面积是；

（3），

当时，有最大值，最大值是．

24．如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交的延长线于点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求弧的长．（结果保留

【解答】（1）证明：连接，如图1所示：

，

，

平分，

，

，

，

，

，

是的切线；

（2）解：作于点，连接，如图2所示：

则，，

四边形是矩形，

，，

，

，，

，

，，

，

，即，

，

在中，，

在中，，

，

，

则弧的长度为．

25．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接、过点作．交点，以、为邻边作矩形，连接．

（1）求证：矩形是正方形；

（2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）如图所示，过作于点，过作于点，

正方形，

，，

，且，

四边形为正方形，

四边形是矩形，

，，

，

又，

在和中，，

，

，

矩形为正方形，

（2）的值为定值，理由如下：

矩形为正方形，

，，

四边形是正方形，

，，

，

在和中，，

，

，

，

是定值．

26．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴另一交点为，顶点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴上找一点，使的周长最小，求符合条件的点坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，

将点、的坐标代入二次函数表达式得：

，解得：，

故函数的表达式为：，

（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时为最小，则的周长最小，

抛物线的顶点坐标为，点，

将、的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：，

当时，，

故点，，

（3）①当点在轴上方时，如图2，

，则，

过点作于点，设，

则，

由勾股定理得：，

，解得：，

则．

②当点在轴下方时，

同理可得．

综合以上可得，的值为．

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日期：2021/12/10 18:34:48；用户：初中数学2；邮箱：jse033@xyh.com；学号：39024123