2021届山东省泰安肥城市高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三）

2021年高考适应性训练

数 学 试 题 （三）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．      B．        C．        D．

2．命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是

A．所有奇函数的图象都不关于原点对称     B．所有非奇函数的图象都关于原点对称

C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称   D．存在一个奇函数的图象关于原点对称

3．已知复数（为虚数单位），则的最大值为

A．             B．              C．                 D．

4．在中，,，，则

A．          B．            C．               D．

5． 已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点,若，则

A．             B．            C．              D．

6． 某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数．如果在前消除了的污染物，则污染物减少需要花费的时间为（精确到，参考数据）

A． 30              B． 31             C． 32             D． 33

7．已知某城市月平均气温为，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过，则该月平均气温在及以上的日子最多有多少天？

A．              B．             C．            D．

8. 如图，为圆锥底面直径，点是底面圆上异于的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为

A.                B.  

C.                D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且

当时，，则下列结论正确的是

A．函数是周期为4的周期函数

B．

C．当时，

D．不等式的解集为

10．请根据以下资料判断下列说法正确的有

2012-2020年我国海洋主题公园年末数量（单位：家）

2012--2020年全年游客规模（单位：万人次）

A．2020年我国平均每家海洋主题公园全年游客规模比2012年大

B．已知2013年初—2020年末我国所有开业的海洋主题公园都持续营业，则该期间我国平均约两个半月开一家海洋主题公园

C．2015—2019年间累计游客规模超过3亿人次

D．2013—2020年间，年末公园数量同比增量和游客规模同比增量最大的年份是同一个

11. 已知椭圆的左右焦点分别为 直线与圆相切于点，与椭圆相交于两点，点在轴上方，则

A．弦长的最大值是

B．若方程为，则

C．若直线过右焦点，且切点恰为线段的中点，则椭圆的离心率为

D．若圆经过椭圆的两个焦点，且，设点在第一象限，则的周长是定值

12．函数，则下列结论正确的是

A．若的最小正周期为，则

B．若，则是的一个对称中心

C．若在内单调，则

D．若在上恰有2个极值点，则

三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20 分。

13．请写出一个值域为且在上单调递减的偶函数 _______．

14．已知大于的素数只分布在和两数列中（其中为非零自然数），数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．则从以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数，一个阳性素数的概率是_______．

15．已知双曲线的左右焦点分别为，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，交双曲线的另一条渐近线于点，且满足 则双曲线的渐近线的斜率为          ．

16． 已知函数，当时，函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是______________．

四、解答题：本题共6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

在①成等比数列，②是和的等差中项，③的前项和是这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．

已知数列为公差大于的等差数列，，且前项和为，若_______，数列为等比数列，且．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.

18．（12分）

已知锐角的外接圆半径为，内角的对边分别为，的面积为且．

（1）求；

（2）求的取值范围．

19．（12分）

已知三棱柱，，，，点为中点.

（1）试确定线段上一点，使平面；

（2）在（1）的条件下，若平面平面， ，求平面 与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）

已知三点，为曲线上任意一点，满足

．

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．

21．（12分）

俗话说：“天上蟠桃，人间肥桃．”肥桃又名佛桃、寿桃，因个大，味儿美，营养丰富，被誉为“群桃之冠”，迄今已有1200多年的栽培历史，自明朝起即为皇室贡品．七月份，肥城桃——“大红袍”上市了，它满身红扑扑的，吃起来脆脆甜甜，感觉好极了，吸引着全国各地的采购商．

山东省肥城桃开发总公司从进入市场的“大红袍”中随机抽检个，利用等级分类标准得到数据如下：

（1）以表中抽检的样本估计全市“大红袍”等级，现从全市上市的“大红袍”中随机抽取个，若取到个级品的可能性最大，求值；

（2）一北京连锁超市采购商每年采购级“大红袍”，前 20年“大红袍”在此超市的实际销量统计如下表：

今年级“大红袍”的采购价为万元/吨，超市以万元/吨的价格卖出，由于桃不易储存，卖不完当垃圾处理．超市计划今年购进吨或吨“大红袍”，你认为应该购进吨还是吨？请说明理由．

22 ．（12分）

已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线．

（1）求实数的值，并证明：当时，；

（2）令，且，证明：．

2021年高考适应性训练数学试题（三）

参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

解析：

1．，，故选A  

2．全称命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是特称命题，故选C

3．||的几何意义为与两点间的距离，且在单位圆上，所以||的最大值为3． 故选C

4．由余弦定理得：,

所以，，，故选D．

5．易知，，

，所以，故选C .

6．由题意当时，，当时，，

所以，解得，所以．

当时，有，

即，解得．故选D．

7.  设平均气温度的日子有天，度以下的日子有天，

则有，化简得，

要使度及以上的日子多，气温就要低，

所以度时，天数最多,为天，取（因为不到天），

故最多有天，故选B．

8．设圆锥母线长为，则，解得，，

与所成角， ， 中，

作与圆交于点，连接，四边形为平行四边形，，连接，则为与所成角，

中，可得， ，

故选C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合

    题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

解析：

9．对于选项A，由函数为偶函数得函数的对称轴为，

故得，又，所以，从而得，所以函数是周期为4的周期函数，故选项A正确；

对于选项B，又奇函数当时，，

故得，解得，所以当时，．

所以，故选项B正确；

对于选项C，当时，，

所以，故选项C不正确；

对于选项D，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期上解的情况即可．

当时，由，解得，故得；

当时，由，解得，故得，

综上可得不等式在一个周期上的解集为，所以不等式在定义域上的解集为，故选项D正确．

综上ABD正确．

10．对于选项A，显然 故选项A正确；

对于选项B，2013年初至2020年末8年共96个月，期间新开海洋主题公园

家，所以平均个月开一家海洋主题公园，故选项B正确；

对于选项C，2015-2019年间游客数量万 亿，故选项C错误；

对于选项D，年末公园数量同比增量和游客规模同比增量最大的都是2020年，故选项D正确．

综上ABD正确.

11．对于选项A，当直线与圆相切于点时，由得,

此时，故选项A错误；

对于选项B ，圆心到直线的距离为，得，，故选项B正确；

对于选项C，为的中点，为的中点,且，

，由椭圆的定义知，

化简得，， 故选项C正确；

对于选项D，，圆过椭圆的两个焦点，所以，故椭圆的方程为，设，  

，

在第一象限， ,  ,

同理，

的周长，故选项D正确．

综上BCD正确.

12．

对于选项A ， ， 的最小正周期为，

的最小正周期为，，故选项A错；

对于选项B，若，则，，故选项B正确；

对于选项C，由得，，当在内单调递增时，

即，

又，得，当在内单调递减时，

即，

不等式组无解，综上所述，故选项C正确；

对于选项D，，

，由，得，在上恰有2个极值点，

在恰有2个解，

，解得，，

故选项D正确．

综上BCD正确.

三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20 分。

13.或或

（可取不超过的具体值）

（答案不唯一，写出一个满足条件的即可）．

14．15         15．           16．

解析：

14．30以内的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个．其中阴性素数有5、11、17、23、29共5个，阳性素数有7、13、19共3个．所以所求概率为．

15．由题意知，且，则，又点在直线上，故，故双曲线的渐近线的斜率为．

16． 由得，等价于函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，当时，，

设，，则，

因为，，所以，所以在区间上单调递减，

因为，，所以存在唯一的，使得，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，所以，所以的取值范围是．

四、解答题：本题共6小题，共 70 分。

17．解（1）设的公差为

选条件①：

，

或，，所以

，  …………………………………分                

选条件②：，

，即解得：，

，  …………………………………分

选条件③：的前项和是，即

解得：．

，……………………………………分

设的公比为，，，，

       ……………………………………………… 分

（2）

  ………………………………… 分

      ………………………………………………………分

．    …………………………………………………………分

18．解:（1）由

得：       ……………………………………………………1分

即：     ………………………3分

，       ……………………………………………………4分

又

．        ……………………………………………………………………5分

（2）的外接圆半径为1

，即……………………………………………………6分

又，

，      ……………………………………………………7分

………………………………………9分

又因为是锐角三角形

,即，

                         …………………………………………10分

，，，

．       …………………………………………………………12分

19．解：（1）当时, 平面      ………………………………1分

证明如下：设，连接，则， …………………2分

由，得

  ………………3分

又平面，

平面

平面…………4分

（2）取中点，连接，

,

又          ……………………………………………5分

平面平面，平面平面，平面

平面                  ……………………………………………6分

，

，

，

                           ………………………………………7分

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,，，

，,,

，，

，……………9分

设平面法向量，则

解得令，得 …………10分

取平面法向量

            ………………………………………11分

平面与平面所成锐二面角的余弦值 ．  ……………………12分

20．解：（1） ， …………………………1分

可得，

              ………………………………………2分

      ……………………………3分

由题可得，化简得，

所以曲线方程为              ……………………………………………4分

（2）若直线，则直线与曲线只有一个交点，不合题意  …………5分

设直线的方程为，联立，得

则，可得

设，则    …………………………6分

同理            ……………………………………7分

因为，所以

所以      …………………………………8分

点在曲线上，显然且

所以

所以            ……………………………………………………………9分

所以直线的方程为，因此直线过定点 ……………10分

所以，且是以为斜边的直角三角形，

所以中点满足为定值，       ……………………11分

所以存在使为定值.              ……………………………………12分

21．解：（1）由题意可知，从全市上市的“大红袍”中随机抽取1个，

取到A级品的概率                 ……………………………………1分    

从全市上市的“大红袍”中随机抽取10个,取到A级品的个数      ………………………………… 2分

      …………………………………… 3分

得

所以当时概率最大，所以．                 …………………………5分

（2）超市购进吨“大红袍”时，利润为，卖出的吨数为

的可能取值为，的可能取值为

               ………………………7分

的分布列为

             ………………………8分

超市购进吨“大红袍”时，利润为，卖出的吨数为

的可能取值为， 的可能取值为

         ………………………10分

利润的分布列为

        ……………11分

所以超市应该购进吨“大红袍”．    ………………………12分

22．解：（1）由条件可得，且，．

因为曲线和在原点处有相同的切线，

所以，解得．       ……………………………………………2分

要证，即证．

令，则，

再令，则， ……………3分

所以在上单调递减，   …………………………………………4分

所以，

所以在上单调递减，          …………………………………………5分

故．

所以．

即成立．    ………………………………………………………………6分

（2）由（1）可得当时，，

所以，即，

两边同除以，得，即．

……………………………………8分

要证，只需证，

又因为，

故只需证．……………………………9分

设，

则，

由于函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上单调递减，而，

所以当时，恒成立，

所以在区间上单调递减．     …………………………………………10分

所以当时，，

故当且时，．       …………………………………………11分

又，

所以当时，．

即，

所以，即成立．………………………………12分