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    山东省泰安肥城市2023届高考适应性训练数学试题(三)(含解析)

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    这是一份山东省泰安肥城市2023届高考适应性训练数学试题(三)(含解析),共26页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    山东省泰安肥城市2023届高考适应性训练数学试题(三)

    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

     

    一、单选题

    1.若     

    A B C D

    2成立的(    

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    3为空间中两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列结论正确的是(    

    A.若,则

    B.若为异面直线,则过空间任一点,存在直线都垂直

    C.若,则相交

    D.若不垂直于,且,则不垂直于

    4.在实验课上,小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一:小明将克的砝码放在天平左盘,取出一些药品放在右盘中使天平平衡;实验二:小芳将克的砝码放在右盘,取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡,则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品(    

    A.大于 B.小于

    C.大于等于 D.小于等于

    5.已知为锐角,,则    

    A B C D

    6.函数的图象可能是(    

    A B

    C D

    7.腰长为的等腰的顶角为,且,将旋转至的位置得到三棱锥,当三棱锥体积最大时其外接球面积为(    

      

    A  B

    C D

    8.某人在次射击中击中目标的次数为,其中,击中奇数次为事件,则(    

    A.若,则取最大值时

    B.当时,取得最小值

    C.当时,随着的增大而增大

    D.当时,随着的增大而减小

     

    二、多选题

    9.下列说法正确的是(    

    A.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据中的一个点

    B.某中学有高一学生人,高二学生人,高三学生.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本,已知从高一学生中抽取人, 则

    C.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于

    D.已知随机变量,且,若, 则

    10.已知函数,则(    

    A有两个极值点

    B有三个零点

    C.若,则

    D.直线是曲线的切线

    11.定义为角的正矢,记作;定义为角的余矢,记作.定义:为一组数据相对于常数正弦方差”. ,一组数据相对于的:正弦方差,则的取值可能是(    

    A B C D

    12.已知抛物线为坐标原点,为抛物线的焦点,准线与轴交于点,过点作不垂直于轴的直线交于两点.设轴上一动点,的中点,且,则(    

    A.当时,直线的斜率为

    B

    C

    D.若正三角形的三个顶点都在抛物线上,则的周长为

     

    三、填空题

    13.整数______个不同的正因数.

    14.在棱长为的正方体中,点分别是的中点,则过线段且平行于平面的截面图形的周长为______.

    15.已知直线过双曲线的左焦点,与双曲线的左右两支分别交于两点,若,其中,则的取值范围为______.

    16.若,则实数最大值为______.

     

    四、解答题

    17.在中,角所对的边分别为,且

    (1)成等比数列,求角的大小;

    (2),且,求的面积.

    18.四棱锥中,底面为矩形,,平面与平面的交线为.

      

    (1)求证:直线平行于平面

    (2)求二面角的余弦值.

    19.已知为等差数列,是公比为正数的等比数列,

    (1)的通项公式;

    (2)满足 ,记的前项和为,求.

    20.已知为坐标原点,交点为.

    (1)求点的轨迹

    (2)直线和曲线交与两点,试判断是否存在定点使?如果存在,求出点坐标,不存在请说明理由.

    21.某工厂有甲、乙两条流水线加工同种产品,加工出来的产品全部为合格品. 产品可分为一级品、二级品两个级别. 产品贴上等级标识后,每件产品装一箱. 根据以往的统计数据,甲流水线生产的产品,每箱中含有件、件、件二级品的概率为,乙流水线生产的产品,每箱中含有件、件、件二级品的概率为.若箱中产品全部为一级品,则可称该箱产品为星级产品”.

    (1)从甲、乙两条生产线生产的产品中各任取箱,以产品是否为星级产品为标准,根据以往的统计数据,完成下面列联表,并依据小概率值的独立性检验,分析产品为星级产品与生产线是否有关?

    流水线

    产品级别

    合计

    星级产品

    非星级产品

    甲流水线

     

     

    乙流水线

     

     

    合计

     

     

    附:

    (2)任取甲流水线生产的箱产品,设二级产品的件数为,求的分布列及期望;

    (3)从乙流水线生产的产品中任选一箱.若箱中产品分成三层放置,层与层隔开,每层. 首先打开第一层,求该层件产品都为一级品的概率.

    22.已知函数

    (1)处的切线;

    (2),证明当时,.


    参考答案:

    1C

    【分析】根据题意,求得,结合复数模的计算公式,即可求解.

    【详解】由,可得,求得

    所以.

    故选:C.

    2A

    【分析】化简成立,再结合充分条件和必要条件的定义判断.

    【详解】由可得

    化简可得

    所以成立等价于

    可推出成立

    成立不能推出

    所以成立的充分不必要条件,

    故选:A.

    3B

    【分析】根据线面平行的判定定理,线面垂直的性质定理等即可判断选项.

    【详解】对于选项A,若,则A错;

    对于选项C,若相交,C错;

    对于选项D,若不垂直于,且可能与垂直,D错;

    对于选项B,过空间一点作两条异面直线的平行线可以确定一个平面,

    过空间一点作平面的垂线有且只有一条,B正确.

    故选:B

    4C

    【分析】设出力臂和药品数量,根据杠杆原理得到,再根据均值不等式计算得到答案.

    【详解】设天平左、右两边臂长分别为,小明、小芳放入的药品的克数分别为

    则由杠杆原理得:,于是

    ,当且仅当时取等号.

     故选:C.

    5A

    【分析】由二倍角正切公式,同角关系化简,求,再求,再由两角差的正切公式求.

    【详解】因为,所以

    所以

    为锐角,

    所以

    解得

    因为为锐角,所以

    所以.

    故选:A.

    6D

    【分析】定义判断函数奇偶性,对函数求导,再求的值,应用排除法即可得答案.

    【详解】

    定义域为,所以为奇函数,排除AB

    所以,排除C

    故选:D

    7A

    【分析】在中,求得,根据题意得到三棱锥体积最大时,平面平面,取中点,得到,进而得到,设三棱锥外接球的半径为,分别求得的外接圆的半径,结合,进而求得外接球的表面积.

    【详解】在中,因为

    可得,所以

    当三棱锥体积最大时,平面平面

    因为,取中点,则

    外接圆圆心,为三棱锥外接球心,则

    再设外接圆圆心,平面,则

    设三棱锥外接球的半径为

    在直角中,可得

    因为,可得

    所以外接圆半径,所以

    因为

    所以的外接圆的半径,且

    中,可得,可得

    所以

    所以外接球的表面积为.

    故选:A.

      

    8C

    【分析】对于A,根据直接写出,然后根据取最大值列式计算即可判断;对于B,根据,直接写出即可判断;对于CD,由题意把表示出来,然后利用单调性分析即可.

    【详解】对于选项A,在次射击中击中目标的次数

    时对应的概率

    因为取最大值,所以

    ,解得

    因为,所以,即时概率最大.故A不正确;

    对于选项B,当时,取得最大值,故B不正确;

    对于选项CD

    时,为正项且单调递增的数列,所以随着的增大而增大,故C正确;

    时,为正负交替的摆动数列,所以不会随着的增大而减小,故D不正确;

    故选:C.

    【点睛】关键点睛:本题考查二项分布及其应用,其中求是难点,关键是能找到其与二项展开式之间的联系.

    9BD

    【分析】由线性回归方程过样本中心判断A;分层抽样等比例性质求样本容量判断B;由相关系数的实际意义判断C;利用方差性质求新数据方差判断D.

    【详解】A: 线性回归方程一定过样本的中心,不一定过样本数据中的点,故不正确;

    B:由题意知,抽样比为,所以,即,故正确;

    C:两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于,故不正确;

    D,故正确;

    故选:BD

    10AB

    【分析】对于A:求导,利用导数判断原函数单调性与极值,进而可得结果;对于B:结合函数图象分析判断;对于C:取特值分析判断;对于D:结合导数的几何意义分析判断.

    【详解】对于选项A:函数的定义域为

    ,得

    时,,则单调递增,

    时,,则单调递减,

    所以函数有两个极值点,故A正确;

    对于选项B:函数的极大值为,极小值为,结合函数图像可知有三个零点,故B正确;

      

    对于选项C:例如

    可得,但,故C不正确;

    对于选项D:令,得

    ,可得:

    曲线在点处的切线方程为,即

    在点处的切线方程为,即

    综上所述:直线不是曲线的切线,故D不正确;

    故选:AB.

    【点睛】结论点睛:若,则三次函数的对称中心为.

    11BCD

    【分析】根据正矢和余矢的定义可得函数的解析式,再根据正弦方差的定义可求的范围,最后根据正弦函数的性质可求函数的值域,故可得正确的选项.

    【详解】由正矢和余矢的定义可得:

    因为,故,故

    ,故的值域为

    因为,函数的最大值是

    故函数值不可能取

    ,故

    ,故函数值可取BCD

    故选:BCD.

    12AC

    【分析】设直线的方程为,联立方程,利用根与系数的关系及k,可判断A,由点差法及垂直关系,抛物线的定义可得判断B,由可得平分,据此可判断C,根据正三角及抛物线的对称性求出DE坐标即可判断D.

    【详解】如图,

      

    对于选项A,设过焦点的直线的方程为

    ,得

    可知,代入,得

    ,得,则,故A正确.

    对于选项B,设点的坐标为,则

    ,所以,则直线的斜率为

    因为,所以直线的斜率为,则直线的方程为

    ,则,所以点的坐标为

    由抛物线的定义可知,

    所以,故B错误.

    对于选项C,因为

    所以直线与直线关于轴对称,即平分

    所以,则

    整理得,故C正确.

    对于选项D,设,因三角形为正三角形,

    .

    ,则.

    ,则.

    的周长为,故D错误.

    故选:AC

    【点睛】方法点睛:处理抛物线中焦点弦问题,根据抛物线的定义,转化为坐标问题是常用方法之一,涉及处理中点弦问题,点差法是重要方法,恰当使用可快速得出直线斜率与中点的坐标关系,注意直线关于y轴对称可转化为直线倾斜角互补即直线斜率互为相反数.

    13

    【分析】先对进行分解,找到,再根据分步相乘计数原理求解.

    【详解】的正因数必为的形式,,所以共有个不同的正因数.

    故答案为:.

    14

    【分析】结合面面平行性质定理画出截面图形,再求出截面图形的边长,即可得出答案.

    【详解】取的中点为,连接

    因为点分别是的中点,

    由正方体性质可得,所以四点共面,

    因为平面平面

    所以平面

    因为

    所以四边形为平行四边形,

    所以,又平面平面

    所以平面

    平面

    所以平面平面

    四边形即为经过线段且平行于平面的截面图,

    正方体棱长为,所以

     所以截面图形周长为.

    故答案为:.

    15

    【分析】由题意设,可得,在中,利用余弦定理和双曲线中的关系即可得到的范围.

    【详解】如图,

    则有

    不妨假设

    则有

    可得

    中,由余弦定理可知,

    ,则

    .

      

    故答案为:

    16

    【分析】二次求导,结合隐零点得到方程与不等式,变形后得到,从而,代入,得到的最大值.

    【详解】, 定义域为

    上单调递增,

    时,时,

    使得

    ,当

    上单调递减,在上单调递增,

    所以

    ,代入得,

    整理得

    的最大值为3.

    故答案为:3

    【点睛】隐零点的处理思路:

    第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,其中难点是通过合理赋值,敏锐捕捉零点存在的区间,有时还需结合函数单调性明确零点的个数;

    第二步:虚设零点并确定取范围,抓住零点方程实施代换,如指数与对数互换,超越函数与简单函数的替换,利用同构思想等解决,需要注意的是,代换可能不止一次.

    17(1)

    (2)

     

    【分析】(1)根据题意,利用数量积的定义化简得到,再由余弦定理得到,结合,求得,即可求解;

    2)由(1)知,根据题意,利用正弦定理可得,联立方程组求得的值,结合余弦定理求得,得到,利用面积公式,即可求解.

    【详解】(1)因为

    根据向量的数量积的定义,可得

    由余弦定理可得,整理得

    因为成等比数列, 所以,解得

    所以为等边三角形,所以.

    2)解:由(1)知

    又由,根据正弦定理可得

    联立方程组,解得

    因为,所以

    由余弦定理可得,所以

    所以的面积为.

    18(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】(1)根据题意证得平面,结合线面平行的性质定理证得直线,再由线面平行的判定定理,即可证得平面

    2)以点为原点,建立空间直角坐标系,设,取的方向向量,根据,利用向量的夹角公式,求得,进而求得平面和平面的一个法向量,结合向量的夹角公式,即可求解.

    【详解】(1)证明:因为底面是矩形,可得

    又因为平面平面,所以平面

    因为平面,且平面平面,所以直线

    又因为平面平面,所以平面.

    2)解:以点为原点,,垂直于平面的直线分别为轴、轴和轴,建立如图空间直角坐标系,则,则

    ,取的方向向量

    因为

    可得

    又因为,可得,即

    解得,即

    设平面法向量为,则

    ,可得,所以

    设平面的法向量为,则

    取取,可得,所以

    所以

    由图象可得,二面角为锐二面角,

    所以二面角的余弦值为.

      

    19(1)

    (2)

     

    【分析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求,再由通项公式求解;

    2)根据分组求和法求和.

    【详解】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,且

    由题意得:解得:   

    2)由题意知,当时,

    时,+1

      

    20(1)

    (2)存在定点坐标为

     

    【分析】(1)利用已知条件表示出点坐标,进而表示出直线的方程,联立即可得出点轨迹方程.

    2)假设存在定点,设点坐标为,联立方程组,得出,由整理得出,对恒成立,即可得出结论.

    【详解】(1)设点

    ,即

    点坐标为

    ,即

    点坐标为

    根据两点坐标可得,

    直线方程为:

    直线方程为:

    两式移项相乘得:

    整理得

    点的轨迹为以为焦点,长轴长为的椭圆,

    即其方程为.

    2)假设存在定点

    设点坐标为

    联立方程组

    直线与椭圆交于两点,

    整理得:

    ,对恒成立,

    ,得

    所以存在定点坐标为.

    21(1)列联表见解析,产品为星级产品与生产线无关

    (2)分布列见解析,

    (3)

     

    【分析】(1)结合统计数据分别求出样本中甲流水线和乙流水线的星级产品数量,并由此填写列联表,

    提出零假设,计算的值,比较其与临界值的大小,由此确定结论;

    2)确定的所有可能取值,再求取各值的概率,由此可得分布列,再由期望公式求期望,

    3)根据全概率公式求事件该层件产品都为一级品的概率值.

    【详解】(1)因为甲流水线生产的产品,每箱中含有件二级品的概率为

    所以甲生产线生产的箱产品中有星级产品

    因为乙流水线生产的产品,每箱中含有件二级品的概率为

    所以甲生产线生产的箱产品中有星级产品

    由题意,得到联表如下:

    流水线

    产品级别

    合计

    星级产品

    非星级产品

    甲流水线

    80

    20

    100

    乙流水线

    70

    30

    100

    合计

    150

    50

    200

    零假设为:产品为星级产品与生产线无关.

    根据小概率的独立性检验,没有充分的证据推断不成立,

    因此可以认为成立,即产品为星级产品与生产线无关

    2)依题意,的所有可能取值为

    所以的分布列为:

    X

    0

    1

    2

    3

    4

    P

    0.64

    0.16

    0.17

    0.02

    0.01

    3)设件产品都为一级品为事件,箱中有件二级品为

    所以该层件产品都为一级品的概率为:

    所以

    22(1)

    (2)证明见解析

     

    【分析】(1)求出,根据在点处的切线求解.

    2)主要是构造函数进行放缩,找到,所以要证只需证明,变形得,因为,所以只需证明,即

    两边同取对数得:,令

    只需要证到上恒成,.

    【详解】(1)因为,所以切线斜率为

    因为,所以切点为

    切线方程为

    2)法一:令,所以

    所以单调递增,

    所以,所以

    所以要证只需证明

    变形得

    因为

    所以只需证明,即

    两边同取对数得:

    显然递增,

    所以存在递减,

    递增;

    因为

    所以上恒成立,所以原命题成立

    法二:设

    要证:

    需证:

    即证:

    因为,需证,即证:

    必然成立

    时,因为所以只需证明

    在上为增函数

    因为

    ,所以

    所以存在,使得

    上为减函数,在上为增函数

    综上可知,不等式成立

    【点睛】此题主要的难点在于构造函数进行放缩,再进行一系列的转换,求导研究函数的最大值小于0,综合性较强,属于难题.

     

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