河南省邓州市2021-2022学年九年级上学期期末质量评估数学试题（word版 含答案）

邓州市2021∽2022学年第一学期期终质量评估九年级

                数学试卷

注意事项：1.本试卷共6页，三个大答题，满分120分，答题时间100分钟；

2. 请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效.

一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上.

1．sin的相反数（　　）

A．-1 B． C． D．

2．方程x（x﹣6）＝x的根是（　　）

A．x＝6 B．x1＝0，x2＝﹣7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝6

3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度=1：，坝高BC为5m，则AB的长度为（　　）

A．10m      B．5m    C．m     D．m

4．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由56元降为31.5元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）

A．56（1﹣2x）＝31.5         B．56（1﹣x）2＝31.5

C． 31.5（1+x）2＝56         D．31.5（1+2x）＝56

5．如图是智慧小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）

A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上 

B．投掷一个质地均匀正六面体的骰子，出现2点朝上 

C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花D．从装有大小和质地都相同的1个红球和2个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球

6．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝3cm，则AB的长是（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

7．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA'：OA'＝2：3，则下列说法错误的是（　　）

A．△A'OB'∽△AOB        

B．A'B'//AB 

C．点O到A'B'与AB的距离之比为3:5

D．△A'B'C'与△ABC的面积之比为3：5

8．将二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象先沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度得到的函数解析式是（　　）

A．y＝x2+2            B．y＝（x﹣4）2+2     C．y＝（x+4）2+2   D．y＝x2﹣8

9．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝5，BC＝6，则tan∠BOD的值是（　　）

A．        B．2   C．      D．

10．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD=3，CD=4，点P沿折线C→A→D以每秒1个单位长度的速度运动(运动到D点停止)，过点P作PE⊥BC于点,则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是(     )

二、填空题：（每小题3分，共15分）

11．若使代数式有意义，则的取值范围是 　        　．

12．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣7x+12＝0的根，则该三角形的周长为　   　．

13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝a﹣b，N＝4a+2b．则M、N的大小关系为M　  　N．（填“＞”、“＝”或“＜”）

14.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a,c,则关于的一元二次方程+6x+c=0没有实数根的概率为　   　   ．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝　                　．

三、解答题：（本大题8个小题，共75分）

16.(每小题4分，共8分）计算或解方程

（1）+4cos30°；

（2）（x+2）（1﹣3x）＝1．

17．（9分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．

（1）求证：△ABC∽△DEC；

（2）若AB=8，CE=3，求△ABC的周长.

18．（9分）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，邓州市某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温(如图1)，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节(如图2)，已知探测最大角(∠OBC)为61.0°，探测最小角(∠OAC)为26.6°.若该校要求测温区域的宽度AB为2.60米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC.(结果精确到0.1米，参考数据： sin 6 1 . 00 . 8 7 ， cos 6 1 . 0 0 . 4 8， tan 6 1 . 0 1 . 8 0 ， sin 2 6 . 6 0 . 4 5 ， cos 2 6 . 6 0 . 8 9 ， tan 2 6 . 6 0 . 5 0 ) .

19.（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

【定理证明】

(1)请根据教材内容结合图1，写出证明过程．

【定理应用】

(2)  如图2，在△ABC中AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若AB＝4，BC＝7，直接写出EF的长　   　．

(3)如图3，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．若△ADE的面积为15，则四边形DEFG的面积为 　   　．

20.（9分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点M是BC边上的动点，点M从点B出发，运动到点C停止，N是CD边上一动点，在运动过程中，始终保持,设

（1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围  　                  　.            

（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线．直接写出m=    　，

(3)结合图象，指出M、N在运动过程中，当CN达到最大值时，BM的值是     　；并写出在整个运动过程中，点N运动的总路程                        　.

21．（10分）万德隆超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本价．

（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）

（2）若使该商品每月的销售利润为3375元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？

（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？

22.（10分）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n（m≠0）交y轴于同一点，且抛物线的顶点在直线y＝mx+n上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一．

（1）求抛物线y＝x2+2x﹣3的“伙伴函数”表达式；

（2）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为（﹣k，t）且kt＝4，它的一个“伙伴函数”表达式为y＝4x+8，求该抛物线表达式.

（3）在若点P（m，y1）和Q（2，y2）在（2）中所求的抛物线上，且y1＞y2时，请直接写出实数m的取值范围是 　           ．

23.（11分）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在斜边BC上，且满足BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．

（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系             ；

（2）当0°＜α＜180°时，

①如图2，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②当B，E，F三点共线时，如图3，连接AE，若AE=3，请直接写出cos∠EFA的值及线段BC的值.

邓州市2021∽2022学年第一学期期终质量评估九年级数学试卷

 参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.C   2.C   3.A   4.B  5.D   6.A   7. D  8. C  9.B    10.D

二、填空题：（每小题3分，共15分）

11.  x≤3且x≠0    12.  11   13.＞    14.      15.  或

三、解答题（本大题8个小题，共75分）

16.(每小题4分，共8分）

（1）解：原式＝2-1+4×﹣5.......................2分

＝1+2﹣5.......................3分

＝1﹣3．......................4分

（2）解：原方程整理为一般形式，得：3x2+5x﹣1＝0，.......................1分

∵a＝3，b＝5，c＝﹣1，

∴Δ＝52﹣4×3×（﹣1）＝37，.......................2分

则x＝＝，.......................3分

∴＝，＝．......................4分

17.（9分）（1）证明：∵AC∥DE，∴∠CDE＝∠ACD，

∵CD是 Rt△ABC斜边AB中线，∴CD＝AD，

∴∠A＝∠ACD＝∠CDE，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC；.........................5分

（2）解∵CD是Rt△ABC斜边AB中线，

∴AB＝2CD＝8，∴CD=4

∵CD⊥CE，CE=3

∴DE＝5 ∴△DCE的周长为3+4+5=12

∵△ABC∽△DEC，

∴=，

∴ABC的周长＝×12＝=19.2   .........................9分

18. （9分）解：设OC=x米，

在Rt△OAC中AC==2x .........................2分

Rt△OBC中,BC==x .........................4分

∵AB = AC - BC 2x -x=2.6 .......................6分

解得：x=1.8 .........................8分

答：该设备的安装高度为1.8米 .........................9分

19.（9分）（1）三角形中位线定理的证明方法不唯一，除了教材第77页的证法外，再提供一种证法：

证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，

在△AED和△CEF中，

，

∴△AED≌△CEF（SAS），

∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，

∴AB∥CF，

∵AD＝DB，

∴BD＝CF，

∴四边形DBCF为平行四边形，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∴DE∥BC，DE＝BC；........................5分

(2)EF=1.5 ；  ........................7分

(3)四边形DEFG的面积为20.  ........................9分

20.（9分）解（1）：x  ( 0)..................3分（不写自变量扣1分）

（2）：描点法画图如下：........................6分

m=,........................7分

（3）当CN达到最大值时，BM的值是5；在整个运动过程中，点N

运动的总路程是       ........................9分（每空1分）

21.解：（1）∵依题意，得：y＝50 + ×10＝﹣5x+550，

∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；......................2分

（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝3375，

即（﹣5x+550）（x﹣50）＝3375，

解得：x1＝65，x2＝95(不合题意，舍去），

答：当该商品每月销售利润为3375，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为65元；......................6分

（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）

＝（﹣5x+550）（x﹣50）

＝﹣5x2+800x﹣27500

＝﹣5（x﹣80）2+4500，

∵﹣5＜0，此图象开口向下，

∴当x＝80时，w有最大值为4500元，

答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．......................10分

22.(10分）解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴顶点为（﹣1，﹣4），

∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴的交点为（0，﹣3），

代入“伙伴函数”y＝mx+n得，

∴抛物线y＝x2+2x﹣3的“伙伴函数”表达式为y＝x﹣3；...........................4分

（3）由互为“伙伴函数”的概念可知，t＝﹣4k+8，

∴，解得，∴该抛物线顶点坐标为（﹣1，4）............................6分

于是设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，

∵直线y＝4x+8与y轴的交点坐标为（0，8），

∴抛物线y＝a（x+1）2+4与y轴的交点坐标也为（0，8），

∴a+4＝8，

∴a＝4，

∴抛物线表达式为y＝4（x+1）2+4=4，......................8分（写顶点式也给满分）

（3）m＜﹣4或m＞2　.........................10分

23.(11分）解：（1）BE＝2AF，.....................................2分

（2）①结论仍然成立，理由如下：

∵在RtABC中，sin∠ABC=sin==

在RtCEF中，sin∠CEF=sin== 

∴=  .....................................4分

∵∠ACB＝∠ECF＝60°，

∴∠BCE＝∠ACF，

∴△BCE∽△ACF，.....................................6分

∴==，

∴BE＝2AF；....................................8分

②cos∠EFA=  ....................................9分

BC=2...................................11分