专题08 分式中的规律探究-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）

这是一份专题08 分式中的规律探究-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版），文件包含专题08分式中的规律探究原卷版-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练人教版docx、专题08分式中的规律探究解析版-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题08 分式中的规律探究 【典型例题】1．（2021·安徽长丰·一模）观察下列等式：①；②；③；……（1）请按以上规律写出第④个等式：_____________________；（2）猜想并写出第个等式：_____________________；（3）请证明猜想的正确性．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据题目中式子的特点，可以写出第④个等式；（2）根据题目中式子的特点，可以写出相应的猜想；（3）根据分式的加减法可以证明猜想成立．【详解】解：（1）∵①；②；③；…∴第④个等式：，故答案为：；（2）第n个等式为：，故答案为：；（3）证明：∵ ，∴成立．【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的加减混合运算，分式的加减混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，写出相应的猜想并证明．  【专题训练】一、解答题1．（2021·河北玉田·八年级期中）观察以下等式：，，，，……（1）依此规律进行下去，第5个等式为______；（2）猜想第n个等式为______（n为正整数）；（3）请利用分式的运算证明你的猜想．【答案】（1）5×＝5－；（2）n·＝n－；（3）见解析【分析】（1）仿照阅读材料中的等式得到第5个等式；（2）仿照阅读材料中的等式进而确定出第n个等式；（3）验证所得等式即可．【详解】解：（1）根据题意得：第5个等式为：5×＝5－，故答案为：5×＝5－；（2）根据题意得：第n个等式为：n·＝n－ ，故答案为：n·＝n－ ；（3）左边＝， 右边＝＝＝ 则左边＝右边，即 n ·＝n－．【点睛】本题考查了分式的混合运算、有理数的混合运算以及找规律题型，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．2．（2021·湖南·汨罗市弼时镇弼时初级中学八年级期中）观察下面的变形规律： ＝1－； ＝－；＝－；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想＝                ．（2）若n为正整数，请你用所学的知识证明 ；（3）求和：＋＋＋…＋．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【分析】（1）根据前面的规律，猜想计算即可；（2）利用通分，比较等号的两边即可 ；（3）运用规律计算．【详解】（1）∵ ＝1－； ＝－；＝－,∴＝．（2）∵ =，∴；（3）∵，∴＋＋＋…＋=1－+－+－+…＋=1－=．【点睛】本题考查了分式中运算规律，通分，熟练掌握发现规律的基本思路是解题的关键．3．（2021·北京·和平街第一中学八年级阶段练习）观察下列各式：42，93，255，497，648， ……（1）依据上述规律，再写出两个具有上述规律的等式 　 　；（2）用字母表示上述规律，并证明你的结论．【答案】（1）16×；36×；（2）用字母表示上述规律，证明见详解．【分析】（1）由前几项的算式，得到规律，根据规律即可写出结论；（2）由（1）的结论写出规律，再通分，合并化简即可．【详解】解：（1）16×；36×；（2）用字母表示上述规律,原式左边=，右边，故成立．【点睛】本题考查了数式规律探究问题，掌握数式规律探究中的通项，及其特征是解题关键．4．（2021·福建南靖·八年级期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第7个等式：_____________；（2）写出你猜想的第n个等式（n为正整数），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析；【分析】（1）根据题目中的等式的规律，可以写出第7个等式；（2）根据题目中的等式的规律，猜想出第n个等式，然后将等号左边的式子化简，即可证明猜想成立；【详解】解：（1）由第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；依次可得：第6个式子为：；第7个式子为：；故答案为：；（2）根据每个式子结构相同，每一项的分子分母随项数的变化规律可猜想：第n个等式为：；证明如下：∵左边=，=，=，=右边，∴成立，【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子．5．（2021·河北海港·八年级期中）观察下列各式：第式：；第式：；第式：；…（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第式：__________；（2）求和：；（3）已知与互为相反数，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接根据给出的例子找出规律即可；（2）根据（1）中的规律直接计算即可；（3）先根据相反数的定义求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．【详解】解：（1）第一式，第二式，第三式，第式．故答案为：；（2）原式；（3）与互为相反数，，即，，，原式．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．6．（2021·安徽·合肥寿春中学七年级期末）观察下列等式：①；②；③；……；根据上述等式的规律，解答下列问题：（1）请写出第④个等式____________（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．（3）应用你发现的规律，计算：【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．【分析】(1)根据题目中的例子写出第④个式子即可；(2)由所给的例子不难看出第n个等式为： ，把等式右边进行运算即可证明：(3)所求的式子先提取一个2出来，再利用发现的规律进行运算即可．【详解】解：（1）第④个等式为：，故答案为：．（2）①，整理得 ；②，整理得 ；③，整理得 ； 第n个式子为：证明：右边左边，原等式成立．（3）= = = =．【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律．7．（2021·安徽潜山·七年级期末）观察以下等式：①；②；③…，按以上规律解决下列问题：（1）第⑤个等式是　    　．（2）探究：…+＝　   　（用含的等式表示）；（3）计算：若+…＝，求n的值．【答案】（1）；（2）；（3）16【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可；（2）根据规律裂项相消即可；（3）根据（2）的规律整理出n的方程，解出n值即可．【详解】解：（1）根据规律可知，第⑤个等式是故答案为：；（2）由规律可得，故答案为：；（3）∵，，∴可以得到∴∵∴解得n＝16，经检验n＝16，是该分式方程的解，故n的值为16．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，利用规律化简分式是解题的关键.8．（2021·安徽肥东·二模）观察下列等式：第1个等式：；    第2个等式：；第3个等式：；    第4个等式：；第5个等式：；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：____________________________________．（2）写出你猜想的第个等式：_____________________．（用含的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见详解．【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式；（2）结合（1）即可写出第n个等式，再利用分式的加减法法则，进行验证，即可．【详解】解：（1），故答案为：；（2）．故答案为：．证明：左边＝＝＝==＝右边，所以等式成立．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．9．（2021·河南·三门峡市陕州区教育体育局教学研究室八年级期中）观察下列各式及证明过程：①；②；③．验证：；．（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．【答案】（1）；（答案不唯一），证明见解析；（2），证明见解析【分析】（1）直接仿照题干写出两个等式即可；（2）利用规律写出不等式并验证即可．【详解】（1）答案不唯一，如：；证明：；（2）证明：【点睛】本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．10．（2021·安徽·合肥市第四十二中学一模）观察以下等式：第1个等式：　　　　第2个等式：第3个等式：　　　　第4个等式：…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：__________________________；（2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；（2）结合题意，根据数字规律、整式混合运算的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得：故答案为：；（2）∵第1个等式：　　　　第2个等式：第3个等式：　　　　第4个等式：…∴第n个等式：∵，∴等式成立；故答案为：，证明见解析．【点睛】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算,分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解．11．（2021·安徽阜南·模拟预测）观察以下等式：第1个等式：=1，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：　　　　　　　　　． (2)写出你猜想的第n个等式：　　　　　　　　　(用含n的式子表示)，并证明其正确性．【答案】（1）；（2），证明见解析【分析】（1）根据前5个等式的规律写出第6个等式即可；（2）第n个等式是，利用分式的运算证明等式成立．【详解】解： (1)第6个等式为：．故答案为：，(2) 第n个等式：，故答案为：，证明：，∵左边=右边，∴等式成立．【点睛】本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．