专题06 因式分解-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）
专题06 因式分解
【典型例题】
1．（2021·河南·漯河市实验中学八年级期中）因式分解
（1）12a2b（x－y）－4ab（y－x）
（2）（3m＋2n）2－（m－n）2
（3）（x＋y）4－18（x＋y）2＋81
【答案】（1）4ab（3a＋1）（x－y）；（2）（4m＋n）（2m＋3n）；（3）（x＋y＋3）2（x＋y－3）2
【分析】
（1）利用提公因式法求解；
（2）先利用完全平方公式去括号，合并同类项再根据十字相乘法分解因式；
（3）根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解即可．
【详解】
解：（1）12a2b（x－y）－4ab（y－x）
=4ab（3a＋1）（x－y）；
（2）（3m＋2n）2－（m－n）2
=
=
=（4m＋n）（2m＋3n）；
（3）（x＋y）4－18（x＋y）2＋81
=
=（x＋y＋3）2（x＋y－3）2．
【点睛】
此题考查因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），熟记公式并熟练应用是解题的关键．


【专题训练】
一、 选择题
1．（2022·浙江·九年级专题练习）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 D．x2+1＝x（x+）
【答案】C
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查因式分解的识别，解题的关键是熟知因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式．
2．（2021·山东·招远市教学研究室八年级期中）已知a+b=3，ab=2，则a3b+2a2b2+ab3 的值为（ ）
A．5 B．6 C．18 D．12
【答案】C
【分析】
将a3b+2a2b2+ab3因式分解为ab（a+b）2，然后将a+b=3，ab=2，代入即可．
【详解】
解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，
∵a+b=3，ab=2，
∴原式＝2×32＝2×9＝18，
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解化简求值，正确分解因式是解题的关键．
3．（2021·山东·德州市陵城区第三中学八年级阶段练习）不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
【答案】A
【分析】
先把原式化为，结合完全平方公式可得原式可化为从而可得答案.
【详解】
解：x2－4x＋y2－6y＋13


故选A
【点睛】
本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解本题的关键.
4．（2021·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）若一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a2－2ab＋b2＋ac－bc ＝0，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
先用完全平方公式和提取公因式法把等式左边因式分解，得出a，b，c之间的关系判断即可．
【详解】
解：a2－2ab＋b2＋ac－bc ＝0，
，
，
∵
∴，
即，
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练运用分组分解法把等式左边因式分解，得出三角形边之间的等量关系．
二、填空题
5．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）因式分解：_________．
【答案】
【分析】
原式提取公因式y2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
6．（2021·海南鑫源高级中学八年级期中）当x=4，a+b=-3时，代数式：ax+bx的值为________．
【答案】-12
【分析】
本题可先代入x的值得4（a+b），再把a+b=-3整体代入求值即可．
【详解】
解：∵x=4，a+b=-3
∴ax+bx
故答案为：-12
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，整理出已知条件的形式是解题的关键，注意整体代换的思想．
7．（2021·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为 _____．
【答案】12
【分析】
先利用完全平方公式把a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0化为再利用非负数的性质求解 再分两种情况讨论：当为腰时，当为底时，结合三角形的三边关系，从而可得答案.
【详解】
解： a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，




a、b、c是等腰△ABC的三边长，
当为腰时，则另一腰 此时 三角形不存在，舍去，
当为底时，则腰 此时 三角形存在，
△ABC的周长为
故答案为：12
【点睛】
本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键.
8．（2021·山东·胶州市初级实验中学八年级期中）甲、乙两个同学分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为(x＋9)(x＋3)；乙看错了a，分解结果为(x＋1)(x-8)，则a＋b＝______
【答案】4
【分析】
由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．
【详解】
解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的， 他分解结果为(x＋9)(x＋3)=x2+12x+27，
∴a=12，
同理：乙看错了a，分解结果为(x＋1)(x-8)=x2-7x-8，
∴b=-8，
因此a+b=12+（-8）=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解的关键．
三、解答题
9．（2021·山东·嘉祥县马集镇中学八年级阶段练习）把下列各式因式分解：
（1） （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式，再用平方差公式分解即可；
【详解】
解：（1）=(a2+1)(a2-1)= ；
（2）
=
=
=．
【点睛】
题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
10．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）因式分解
（1）； （2）．
【答案】（1）2ab（2a-5b）2；（2）（a-b）（x+3）（x-3）
【分析】
（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：（1）

；
（2）


．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．（2021·湖南·长沙市湘一芙蓉中学八年级阶段练习）因式分解：
（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提取y，再利用完全平方公式即可求解．
（2）先提取，再利用平方差公式即可求解．
【详解】
（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
12．（2021·山东东平·八年级期中）因式分解：
（1）2x2﹣12xy2+8x； （2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；
（3）（a2+4）2﹣16a2； （4）（m+n）2﹣6（m+n）+9．
【答案】（1）2x（x﹣6y2+4）；（2）n（m﹣2）（n+1）；（3）（a+2）2（a﹣2）2；（4）（m+n﹣3）2
【分析】
（1）提取公因式分解因式；
（2）先把n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）化为n2（m﹣2）+n（m﹣2）形式，再提取公因式n（m﹣2）分解因式；
（3）先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式；
（4）把（m+n）看作一个整体，用完全平方公式分解因式．
【详解】
解：（1）2x2﹣12xy2+8x＝2x（x﹣6y2+4）；
（2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
＝n2（m﹣2）+n（m﹣2）
＝n（m﹣2）（n+1）；
（3）（a2+4）2﹣16a2
＝[（a2+4）+4a][（a2+4）﹣4a]
＝（a2+4a+4）（a2﹣4a+4）
＝（a+2）2（a﹣2）2；
（4）（m+n）2﹣6（m+n）+9
＝（m+n﹣3）2．
【点睛】
此题考查了因式分解，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
13．（2021·四川·威远中学校八年级期中）把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得；
（2）利用平方差公式进行因式分解即可得；
（3）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可得；
（4）利用提公因式法进行因式分解即可得．
【详解】
解：（1）原式，
；
（2）原式，
，
，
；
（3）原式，
，
；
（4）原式，
．
【点睛】
本题考查了因式分解（提公因式法、公式法），熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．
14．（2021·福建·泉州科技中学八年级期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为．
利用上述阅读材料求解：
（1）若和是多项式的两个因式，试求，的值；
（2）在（1）的条件下，把多项式因式分解．
【答案】（1）和；（2）
【分析】
（1）根据题意可得当或时，，即可得到，由此求解即可；
（2）根据（1）所求结果得到可化为：，由此分解因式即可．
【详解】
解：∵和是多项式的两个因式，
∴当或时，，

解得，
、的值分别为和．
（2）∵，，
可化为：，
．
【点睛】
本题主要考查了分解因式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题意求出m、n的值．
15．（2021·河南方城·八年级期中）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但仍然有很多多项式用上述方法无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现、前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式．然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．
过程为：
x2－4y2－2x＋4y
＝（x2－4y2）－（2x－4y）
＝（x＋2y）（x－2y）－2（x－2y）
＝（x－2y）（x＋2y－2）
以上这种分解因式的方法叫分组分解法．请利用这种方法解决下列问题∶
（1）分解因式：
①（ab＋a）＋（b＋1）
②x2－2xy＋y2－16
（2）若△ABC的三边a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
【答案】(1) ①（b＋1）（a＋1）；②( x-y-4) ( x-y+4) ； (2) △ABC是等腰三角形,理由见详解．
【分析】
(1)①首先先提公因式a,再提公因式b＋1即可；②首先利用完全平方公式把x2－2xy＋y2分解为( x-y) 2，然后再利用平方差公式分解因式即可；
(2) 首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【详解】
解: （1）①（ab＋a）＋（b＋1）
= a（b＋1）＋（b＋1）
=（b＋1）（a＋1）
②x2－2xy＋y2－16
=( x-y) 2-4 2
=( x-y-4) ( x-y+4)
（2）a2-ab-ac+bc=0，
∴a2-ab-（ac-bc）=0，
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a-b=0或者a-c=0，
即：a=b或者a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解因式是解题关键．
16．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校九年级期中）阅读材料：解方程我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式，
①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验一次项：．
③横向写出两因式：．
（2）根据乘法原理：若，则或，则方程可以这样求解方程左边因式分解得所以原方程的解为，．试用上述方法和原理解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可；
（2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可．
【详解】
解：（1），
，
，
，．
（2），
，
，
，．
【点睛】
本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式．
17．（2021·河南邓州·八年级期中）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据材料1的方法，满足，进而进行因式分解即可；
（2）根据材料1的方法，满足，根据材料2将“” 看成一个整体，进而因式分解即可
【详解】
（1）
x2﹣6x＋8
（2）令,

则（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3
【点睛】
本题考查了因式分解，运用整体思想是解题的关键．
18．（2021·河南·淅川县基础教育教学研究室八年级期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：
根据以上材料，解答下列问题
（1）分解因式；
（2）求多项式x2+6x-9的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长．
【答案】（1）；（2）-18；（3）12
【分析】
（1）根据题意方法将原式分解即可；
（2）根据题意将原式配方成完全平方的形式，然后解答即可；
（3）根据题意将原式配方成三个完全平方的形式即可得出答案．
【详解】
解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝，
∴当时，原式最小值为：；
（3）


，
∴，
∴△ABC的周长＝．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握配方法是解本题的关键．