2021学年5.探究弹性势能的表达式教案

7、8机械能守恒定律的应用

一、教学目标

1．熟悉应用机械能守恒定律解题的步骤．

2．明了应用机械能守恒定律分析问题的注意点．

二、重点·难点及解决办法

1．重点：机械能守恒定律的具体应用。

2．难点：应用机械能守恒定律和动能定律分析解决较复杂的力学问题。

3．解决办法

（1）分析典型例题，解剖麻雀，从而掌握机械能守恒定律应用的程序和方法。

（2）比较研究，能准确选择解决力学问题的方法、灵活运用各种定律分析问题。

三、教学步骤

    【引入新课】复习上节课的机械能守恒定律内容及数学表达式．

    【新课教学】

1、应用机械能守恒定律解题的步骤：

（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）；

（2）分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断机械能是否守恒；

（3）确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；

（4）根据机械能守恒定律列出方程进行求解

注意：列式时，要养成这样的习惯，等式作左边是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这样有助于分析的条理性。

例1：如图所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相连接，质量为。的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？

分析及解答： 小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．

    取轨道最低点为零重力势能面．

    因小球恰能通过圆轨道的最高点C，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列  得 

在圆轨道最高点小球机械能

在释放点，小球机械能为 

根据机械能守恒定律    列等式：  解设

同理，小球在最低点机械能        

小球在B点受到轨道支持力F和重力根据牛顿第二定律，以向上为正，可列

据牛顿第三定律，小球对轨道压力为6mg．方向竖直向下．   

  例2．长l=80cm的细绳上端固定，下端系一个质量m＝100g的小球。

将小球拉起至细绳与竖立方向成60°角的位置，然后无初速释放。不计

各处阻力，求小球通过最低点时，细绳对小球拉力多大？取g=10m/s2。

    分析及解答：

    小球运动过程中，重力势能的变化量，此过程中动能的变化量。机械能守恒定律还可以表达为 即

    整理得   又在最低点时，有

    在最低点时绳对小球的拉力大小

    提出问题：通过以上各例题，总结应用机械能守恒定律解决问题的基本方法。

2．机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用

对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中。

例3：如图2-8-3所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）

解答：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得

例4：如图2-8-4所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：当A到达最低点时，A小球的速度大小v？

解答：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。，解得

例5：如图22所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H，木块的倾角为，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。

解答：此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度V1和木块              的速度V2在垂直于接触面的方向上的投影相等，即:V1Cos=V2Sin             

由机械能守恒定律可得：

mgH=mv12/2+mv22/2        

由上述二式可求得：                  

V1=.sin,  V2=.cos.

【同步检测】

1、如图2-8-14所示，两质量相同的小球A、B，分别用线悬线在等高的O1、O2点，A球的悬线比B比球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经过最低点时（悬点为零势能）（    ）  

A．A球的速度大于B球的速度  

B．A球的动能大于B球的动能

C．A球的机械能大于B球的机械能      

   D．A球的机械能等于B球的机械能

2．如图2-8-15所示，小球自高为H的A点由静止开始沿光滑曲面下滑，到曲面底B点飞离曲面，B点处曲面的切线沿水平方向．若其他条件不变，只改变h，则小球的水平射程s的变化情况是        (    )

    A．h增大，s可能增大     B．h增大，s可能减小

    C．A减小，s可能增大     D．A减小，s可能减小

3．用平行斜面向下的拉力将物体沿斜面拉下，拉力的大小等于摩擦力，则（    ）

A.物体做匀速运动              B．合外力对物体做功为零

C．物体的机械能守恒           D．物体的机械能减小

4．如图2-8-16所示，用长为L的绳子一端系着一个质量为m的小球，另一端固定在O点，拉小球至A点，此时绳子偏离竖直方向为θ角，空气阻力不计，松手后小球经过最低点的速率为（    ）

A． 2glcosθ　　　　B． 2gl（1—sinθ）     C． 2gl（1—cosθ）   D． 2gl 

5．细绳的一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球绕绳的固定点在竖直面内做圆周运动，细绳在小球的最低点和最高点的张力之差  为（     ）

A．mg         B．2mg          C．4mg          D．6mg

6．如图2-8-17所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上。在将弹簧压缩到最短的整个过程中，

下列关于能量的叙述中正确的是（     ）

A．重力势能和动能之和总保持不变

B．重力势能和弹性势能之和总保持不变

C．动能和弹性势能之和不断增加

D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变

7．人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速度为v，以地面为重力势能的零点，不计空气阻力，则有（   ）

A．人对小球做的功是       B．人对小球做的功是

C．小球落地时的机械能是    D．小球落地时的机械能是

8．在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体机械能发生变化的是（       ）

Ａ．用细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速率圆周运动

Ｂ．细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速率圆周运动

Ｃ．物体沿光滑的曲面自由下滑

Ｄ．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体沿斜面向上运动

9．如图2-8-18所示，长为L1的橡皮条与长为L2的细绳的一端都固定在O点，另一端分别系两球A和B，A和B的质量相等，现将两绳都拉至水平位置，由静止释放放，摆至最低点时，橡皮条和细绳长度恰好相等，若不计橡皮条和细绳的质量，两球经最低点速度相比     (        )

A．A球大         B．B球大

C．两球一样大      D．条件不足，无法比较

10．一根全长为L、粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮上，如图2-8-19所示，当受到轻微扰动，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间铁链速度大小为                    

11．从地面以40m/s的初速度竖直上抛一物体，不计空气阻力，经过T时间小球的重力势能是动能的3倍，则T=               ，这时小球离地高度为                   。

12．如图2-8-20所示，光滑圆柱O被固定在水平平台上，质量为m的小球用轻绳跨过柱体与质量为M(M>m)的小球相连，开始时，m与平台接触，两边绳伸直，然后两球从静止开始运动，M下降，m上升，当上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，发现m恰好做平抛运动，则M是m的多少倍？

13．如图2-8-21，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r<<R，有一质量m，半径比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管，

（1）若要小球能从C端出来，初速度v0多大？

（2）在小球从C端出来的瞬间，对管壁的压力有哪几种典型情况，初速v0各应满足什么条件？                                              
 

14．如图2-8-22所示，质量为m的小球由长为L的细绳（质量不计）固定在O点，今将小球水平拉至A点静止释放，在O点正下方何处钉一铁钉O/方能使小球绕O/点在竖直平面内做圆周运动（设细绳碰钉子时无能量损）

15．如图2-8-23所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定有一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B．放开盘让其自由转动，问：

(1)当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？

(2)A球转到最低点时的线速度是多少？

(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

16．质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8米，如图2-8-24所示。若所有摩擦力均不计，从静止开始放手，让它们运动起来。试求：

（1）物体A着地前一瞬的速度；

（2）物体A着地后，物体B沿斜面上滑的最大距离。

17．如图2-8-25所示，重物A、B、C质量相等，A、B用细绳绕过轻小滑轮相连接，开始时A、B静止，滑轮间细绳长0.6m，现将C物体轻轻挂在MN绳的中点，求：

(1)C下落多大高度时速度最大?

(2)C下落的最大距离多大?

18．如图2-8-26所示，跨过同一高度处的光滑滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B.A套在光滑的水平杆上，定滑轮离水平杆高度为h=0.2 m.开始让连A的细线与水平杆夹角θ=53°，由静止释放，在以后的过程中A所能获得的最大速度为_____.(sin53°=0.8，cos53°=0.6)

答案

1.ABD  2.ABCD  3.C 4.C  5.D 6. CD  7.BC  8.B  9.B 10. 11.  2s或6s、   60m  12.  5/(π+1)

 13.  ；N=0 vO=、N＞0 vO＞、N＜0  ≤ vO＜

14.  3L/5    15. mgr/2  、   、  37°  16.  2m/s、1.6m 　　17． m、0.4m    18．1m/s