（6）导函数及其应用——2022届新高考数学解答题专练

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 （6）导函数及其应用1.已知函数，. （1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数m，n，使得直线与曲线相切，求的值； （2）若函数有零点，求实数a的取值范围. 2.已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若当时，方程有实数解，求实数a的取值范围. 3.已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. （2）若函数的图象在处的切线平行于x轴，则是否存在整数k，使不等式在时恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由. 4.函数，. （1）讨论在区间上极值点的个数； （2）若，总有，求实数a的取值范围. 5.已知函数. （1）若是奇函数，且有三个零点，求实数b的取值范围； （2）若在处有极大值，当时，求出的值域. 6.已知. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：. 7.已知函数. （1）当时，试判断函数的单调性； （2）若，且当时，恒成立，有且只有一个实数解，证明：. 8.已知函数，为其导函数. （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的解析式. （2）在（1）的条件下，若是函数的零点，且，，求n的值. （3）当时，函数有两个零点，（），且.求证：. 9.已知函数. （1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围； （2）若方程的两个根分别为，，求证：. 10.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求整数k的最大值.    答案以及解析 1.答案：（1）（2）解析：（1），，，所以曲线在处的切线方程为，所以，则，即.，则曲线在点处的切线方程为，即，从而，，所以，.（2）由题意知，，函数有零点，即有根.当时，，不符合题意.当时，函数有零点等价于有根.设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以仅有一根，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.所以若函数有零点，则，从而.2.答案：（1）见解析（2）解析：（1）函数的定义域为R，，当时，，则在上单调递增；当时，令，得，则在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在R上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由，得，因为，所以.令，，则.令，得.当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以.又，，，所以，所以当时，.所以函数的值域为，因此实数a的取值范围为.3.答案：（1）（2）整数k的最大值为0解析：（1）依题意，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则当时，取得最小值，，，即实数a的取值范围是.（2）依题意，，，，不等式在时恒成立，即在时恒成立.令，则，令，则，在上单调递增，，即在上恒成立，在上单调递增，，，整数k的最大值为0.4.答案：（1）由题意，得.设，则方程的判别式，对称轴方程为，.若在区间上恒成立，即.当时，，当且仅当时取等号，所以当时，在区间上恒成立，所以恒成立，则在区间上单调递增，无极值点.当时，，由，若，即时，方程在上有唯一实根，此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则函数有一个极值点.当时，方程在区间上有唯一实数根，此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则函数有一个极值点.若，且，即时，方程在有两个相异的根，，此时函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，有两个极值点.综上，当时，在区间上无极值点；当时，在区间上有1个极值点；当时，在区间上有2个极值点.（2）由，得.因为，所以在区间上恒成立.令，则.因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，故实数a的取值范围为.解析：5.答案：（1）因为是定义域为R的奇函数，所以，且，所以，所以.当时，，此时在R上单调递减，在R上只有一个零点，不符合题意.当时，，解得.因为在R上有三个零点，所以且.又，，恒成立，所以.综上，实数b的取值范围为.（2）由题意，得，，，解得或当，时，，，令，得，令，得或，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处有极小值，与题意不符.当，时，，.令，得；令，得或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，所以在处有极大值，符合题意，故，.又因为，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.又，，，所以函数在区间上的值域为.解析：6.答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）见解析解析：（1）的定义域为，由，得，若，则恒成立，在上单调递增；若，则当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.综上可得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，不存在，所以.由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，存在.不妨设，设，，则，又由（1）知，可得.因为，所以，所以在上单调递减，所以，即当时，，由于，则，即.又，则有.又，，在上单调递增，所以，即.7.答案：（1）【解】当时，，则，所以当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）【证明】由题意可得，令，解得.因为，所以，所以在上有唯一零点.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以.因为在上恒成立，且有且只有一个实数解，所以即消去a并整理得.令，则，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以.又，且函数在上单调递增，所以.8.答案：（1），所以，所以函数.（2）由（1）知，，令，解得或，因为函数的定义域为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.又，不符合要求，，，所以，故.（2）当时，，，，两式相减，可得，所以.因为，所以，因为，所以.设，则，所以在上单调递增，且，所以当时，，因为，，所以.解析：9.答案：（1）（2）见解析解析：（1）当时，，在上单调递减，对恒成立，即对恒成立，.，，当且仅当时取“=”，，即b的取值范围为.（2）的定义域为，由题意可得即两式相减，得.由知，，设，则.令，，则，在上单调递增，，即，又，，即.10.答案：（1）易得.当时，，故在上单调递增；当时，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增；当时，，故在上单调递减.（2）当时，，则对于恒成立.方法一令，则.当时，，则在上单调递增，且，符合题意；当时，令，则，所以当时，单调递增，又，所以存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增，故，即，所以，由，当且仅当时取等号，得.又，所以整数k的最大值为1.又时，，，所以，，所以时符合题意.所以整数k的最大值为1.方法二原不等式等价于对于恒成立.令，则.令，则，所以在上单调递增.又，，所以存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，所以，所以，经验证时，恒成立，所以整数k的最大值为1.