（5）圆锥曲线——2022届新高考数学解答题专练

这是一份（5）圆锥曲线——2022届新高考数学解答题专练，共18页。试卷主要包含了已知椭圆的离心率为，且过点等内容，欢迎下载使用。
 （5）圆锥曲线1.已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过定点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，已知点，设直线AN，BN的斜率分别为，求证：. 2.已知双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标. 3.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值. 4.已知椭圆的离心率为，，，，的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ，分别交直线于M，N两点，若直线MF，NF的斜率分别为，，试问：是不是定值?若是，求出该值，若不是，请说明理由. 5.已知抛物线，其焦点为F，过点F的直线l交抛物线G于A，B两点，交抛物线G的准线于点C.当点F恰好是线段AC的中点时，. （1）求抛物线G的方程； （2）点O是坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为，，直线l的纵截距为1，此时数列满足，.设数列的前n项和为，已知存在正整数m，使得，求m的值. 6.已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若的面积为，求直线l的方程． 7.已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C的离心率为，A，B是椭圆C上的两点，点M满足. （1）求椭圆C的方程； （2）若点M在圆上，O为坐标原点，求的取值范围. 8.已知，，点P满足，记点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)若直线l过点且与轨迹E交于P、Q两点 (i)无论直线l绕点怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值； (ii)在(i)的条件下，求面积的最小值. 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为椭圆C上的一个动点，面积的最大值为，抛物线与椭圆C有共同的焦点. (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设A，B是抛物线E上位于x轴两侧的两个动点，且. ①求证：直线AB必过定点，并求出定点M的坐标； ②过点M作AB的垂线与抛物线交于G，H两点，求四边形ACBH面积的最小值. 10.如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点.  （1）若，且，求椭圆的离心率； （2）若，，求的最大值和最小值.    答案以及解析 1.答案：(1)(2)见解析解析：(1)因为椭圆离心率为，且过点，所以，解得，，所以椭圆C的方程为.(2)证明：若AB的斜率不存在，则，，此时，若AB的斜率存在，设，，，，设AB的方程为，，得，由韦达定理得，，则，，所以，综上.2.答案：(1)由题意知，所以一条渐近线为，即，
所以，所以.所以双曲线的方程为.(2)设，，，则，.将直线方程代入双曲线方程，得，则，.所以所以由，得，所以，点D的坐标为.解析：3.答案：（1）抛物线的焦点为，所以直线AB的方程为，由消去x得，所以，由抛物线的定义得，即，所以.所以抛物线的方程为.（2）由知，方程可化为，解得，，故，.所以，.则.因为C为抛物线上一点，所以，整理得，所以或.解析： 4.答案：(1)(2)解析：(1)由题意得解得所以椭圆C的方程为.(2)解法一：由(1)知，，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，联立得不妨设，，则直线AP的方程为，令，得，则，此时，同理，所以；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立得，设，，则，，直线AP的方程为，令，得，则，同理，，所以，，所以.综上所述，为定值.解法二：由(1)知，，设直线l的方程为，联立得，设，，则，.直线AP的方程为，令，得，则，同理，，所以，，所以，所以为定值.5.答案：（1）（2）正整数m的值为2019解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为.依题意知过F的直线l的斜率存在且不为0，故可设其方程为，由消去x并整理，得，易知.设，，可得.由点F是线段AC的中点，且，得解得即.由，可得，则，即.把点B的坐标代入抛物线方程，可得，可得不妨令，则，.由，可得，所以抛物线G的方程为.（2）依题意可知直线l过点和，可得直线l的方程为，由消去x并整理，得，则，.所以，则，即，由此可得，所以.则.由，得，而，，可得，所以正整数m的值为2019.6.答案：（1）由题意，可知，，则
，，解得．
椭圆C的方程为.
（2）由题意，当斜率不存在时，点M即为O点，不满足，
故斜率存在，设斜率为k，则直线．设，，
联立，
整理，得．
则，．


.
设点，则，
.


.，
.
即
化简，整理得，
解得，或（舍去）．
．
直线l的方程为.  解析：7.答案：（1），分别是椭圆的左、右焦点，所以.因为椭圆C的离心率为，所以，解得，所以，所以椭圆C的方程为.（2）由题意知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为，，，由可得，所以，，因为，所以M为AB的中点，又点M在圆上，所以.因为M为AB的中点，所以，，将点M的坐标代入，化简可得，所以.令，则，，令，，则，因为在内单调递增，所以，即.所以.解析：8.答案：(1)由知，点P的轨迹E是以、为焦点的双曲线的右支，设轨迹E的方程为，，.，，，故轨迹E的方程为.(2)(i)当直线l的斜率存在时，设直线方程为，，，与双曲线方程联立消y得，，解得..，，故得对任意的恒成立，解得.当时，.当直线l的斜率不存在时，由，及知结论也成立，综上，当时，.(i)由(i)知，当直线l的斜率存在时，，点M到直线PQ的距离为d，则，.令，则，，.当直线l的斜率不存在时，.综上可知，的最小值为9.解析：9.答案：(1)设，，由题意得解得{所以椭圆C的方程为椭圆的右焦点的坐标为，所以，解得，所以抛物线E的方程为.(2)①设直线AB的方程为，，，，联立，消去x并整理得，则，，由，得，即，整理得，解得或.因为，所以，所以直线AB恒过定点.(2)由①得，设，，同理得，则四边形ACB的面积.令，则，它是上的增函数，故，当且仅当时取得最小值，所以四边形AGBH面积的最小值为96.解析：10.答案：（1）因为，所以.因为，所以，所以，，所以.（2）由，，得，则焦点，.①若直线AB垂直于x轴，则点，，所以，，所以.②若直线AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为.联立消去y并整理，得，则，所以方程有两个不相等的实数根.设点，，则，，所以，，.因为，，，所以.综上，，即当直线l垂直于x轴时，取得最大值，当直线l与x轴重合时，取得最小值-4.