第6讲 利用导数研究函数零点问题（原卷版）

第6讲  利用导数研究函数零点问题

【题型精讲】

题型一：证明或判断函数零点个数问题

1．（2021·全国·高三月考（理））已知，函数.

（1）证明：在上有唯一的极值点；

（2）当时，求在上的零点个数.

2．（2021·河南·高三月考（理））已知函数，曲线在处的切线为.

（1）解不等式；

（2）求证：直线与在内有且只有一个交点.

3．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，当时，讨论函数的零点个数.

4．（2021·广东·高三月考）已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程．

（2）证明：在上有且仅有2个零点．

5．（2021·四川·石室中学高三月考（文））已知，.

（1）判断的奇偶性，并加以证明；

（2）当时，判断的零点的个数，并证明你的结论.

题型二：已知函数零点个数求参数范围

1．（2021·吉林吉林·高三月考（文））已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.

2．（2021·河南·高三月考（文））已知函数．

（1）若，证明：当时，．

（2）若有个不同的零点，求的取值范围．

3．（2021·天津市第一百中学高三月考）已知函数，.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求函数在区间的最值；

（3）若恰有三个零点，求的取值范围.

4．（2021·河南·高三月考（文））已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，若在定义域上单调且有唯一零点，求实数的取值范围.

5．（2021·黑龙江·大庆市东风中学高三月考（文））已知函数（,为自然对数的底数）在处的切线与轴平行.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【课后精练】

1．（2021·广东·福田外国语高中高三月考）已知函数在处的切线与直线平行.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

2．（2021·贵州遵义·高三月考（文））设函数，且函数的单调递减区间为．

（1）求函数的表达式，并求出函数的单调递增区间；

（2）若函数有个不相等的实数根，求实数的取值范围．

3．（2021·湖北·武汉市第一中学高三月考）设函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若方程在区间上有两个解，求实数的取值范围.

4．（2021·湖南·宁乡一中高三月考）已知函数.

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若曲线与直线有三个不同的交点，求实数的取值范围.

5．（2021·四川泸州·三模（文））已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若是函数的极值点，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．

6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.

7．（2021·江西·模拟预测（文））函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

8．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））

已知函数，其中是常数.

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.

9．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数.

（1）若，求函数的在处的切线方程;

（2） 若，证明:方程无解.

10．（2021·宁夏银川二十四中高三月考（理））已知函数在处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．