第5讲 利用导数研究不等式问题（原卷版）

第5讲  利用导数研究不等式问题

【题型精讲】

题型一：构造法证明不等式

1．（2021·山东德州·高三期中）已知函数(其中常数是自然对数的底数).

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意，当时，.

2．（2021·河南驻马店·高三月考（文））已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：.

3．（2021·湖北武汉·高三月考）已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意的，当时，.

题型二：等价转化法解决不等式恒成立问题

1．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，，其中.

（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积；

（2）若对上，总有成立，试求实数的最小值.

2．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数，其中．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上，恒成立，求的取值范围．

3．（2021·云南大理·模拟预测（文））已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．

题型三：等价转化法解决不等式能成立问题

1．（2021·海南·高三月考）已知，在上是单调递增函数.

(1)求的最小值；

(2)当实数取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数的取值范围.

2．（2021·北京市海淀外国语实验学校高三月考）已知函数，其中.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.

3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.

【课后精练】

1．（2021·吉林·高三开学考试（理））已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：当时，.

2．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））已知函数.

（1）讨论函数极值点的个数；

（2）若有两个零点，证明：.

3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（文））已知函数.

（1）判断函数的单调性；

（2）当时，求证：.

4．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意都有，求实数的取值范围.

5．（2021·安徽·高三月考（文））已知函数.

（1）若函数为增函数，求的取值范围；

（2）当，若在定义域内恒成立，求的值.

6．（2021·全国·高三专题练习）设函数．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；

（2）若对任何恒成立，求的取值范围．

7．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三月考）设函数，.

（1）讨论函数零点的个数；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.

8．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2），，使成立，求的取值范围.

9．（2021·天津市静海区第六中学高三开学考试）已知函数，.

（1）在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若存在使得成立，求实数的取值范围.

10．（2021·江西南昌·三模（理））已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当时，，其中e是自然对数的底数．

（1）求函数的解析式；

（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有．