学易金卷：2020-2021学年高一数学上学期期中测试卷02（北师大版2019）

学易金卷：2020-2021学年高一数学上学期期中测试卷02

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．集合的非空子集个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合,根据集合元素个数可求解.

【详解】

,

集合共有个子集，

非空子集个数为4-1=3个，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了集合的子集的概念，属于容易题.

2．是成立的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．

【详解】

当时，成立，

当时，满足，但m＜n＜0不成立，

即是成立的充分不必要条件，

故选A．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．

3．若，，，则，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．由的取值确定

【答案】A

【解析】

【分析】

先平方再作差，根据差与零大小得结果.

【详解】

因为

，所以

故选：A

【点睛】

本题考查利用作差法比较大小，考查基本分析求解能力，属基础题.

4．函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

当 即时，恒成立，所以符合题意；

当即时， 因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以 ，解得 ．综上所述，．所以选C．

 【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．

5．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ）

A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果.

【详解】

要满足题意，只需在上恒成立即可.

当时，显然满足题意.

当时，只需，

解得.

综上所述，

故选：.

【点睛】

本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.

6．设函数，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

因为时，

所以；

又时，，

所以故选A.

本题考查分段函数的意义,函数值的运算.

7．如果＝，则当x≠0，1时，f(x)等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用换元法，换元后代入化简即可得出答案.

【详解】

令＝t，则x＝，代入＝，

则有f(t)＝＝.即. 

故选：B.

【点睛】

本题考查换元法解函数的解析式，属于基础题.换元法解函数的解析式需注意新元的取值范围.

8．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 （）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．

考点：函数的解析式及常用方法．

【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式问题，其中解答中涉及到取整函数的概念，函数解析式的求解等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中主要是读懂题意，在根据数学知识即可得到答案，对于选择题要选择最恰当的方法，试题有一定的难度，属于中档试题．

9．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由题意可得，函数在上是增函数，再根据函数的图象关于直线对称，可得函数在上是减函数，故离直线越近的点，函数值越小，，，，∴，故选B.

10． 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么，值域为的“同族函数”共有（     ）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

【答案】C

【解析】

试题分析：由和解得，和，因为一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，所以要使的值域为，其定义域有9种可能性，分别为：、、、、、、、、，故答案为．

考点：①对新定义的理解与应用；②对函数定义域、值域及相关概念的理解．

11．设函数，均是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇偶性函数定义域关于原点对称可求出，再根据奇偶函数的性质列出方程组，即可求出的解析式，即可求出.

【详解】

∵函数，均是定义域为的偶函数和奇函数，

即有，解得，

∵，有，

解得，．

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，考查考生运用函数性质解决问题的能力，试题注重基础，针对性强．

12．（多选题）下列函数中，既是偶函数又是区间上增函数的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据偶函数的定义，f（﹣x）＝f（x）进行判断，再根据解析式判断单调性；

【详解】

A、令，则f（﹣x）＝＝＝f（x），为偶函数，但在（0，+∞）上，是减函数，故错误；

B、令，f（﹣x）＝，是偶函数，且在区间上是增函数，故B正确；

C、令，f（﹣x）＝（﹣x）2+1＝x2+1＝f（x），且在区间上是增函数，故C正确；

D、令，f（﹣x）＝＝﹣x3＝﹣f（x），是奇函数，故D错误；

故选：BC．

【点睛】

此题主要考查函数的奇偶性，偶函数的性质，关键是对基本初等函数的性质要熟悉，是基础题；

13．函数的最小值为__________.

【答案】5

【解析】

【分析】

配凑函数解析式，使之能够使用均值不等式，利用均值不等式即可求得函数的最小值.

【详解】

因为，

故可得，

当且仅当，即时取得最小值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求函数的最值，属基础题.

14．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为______________.

【答案】

【解析】

由已知为二次函数且对称轴为轴，∴，即．再根据函数在单调递增，可得．令，求得或，故由，可得或，故解集为．

15．下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.

①，；

②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：

③，；

④，.

【答案】②

【解析】

【分析】

由函数的定义，集合A中任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素和它对应，即可判断.

【详解】

①，，存在对应两个的情况，所以不是A到B的函数；

②符合函数的定义，是A到B的函数；

③，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数；

④，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数.

故答案为：②

【点睛】

本题考查了函数的定义，考查了理解辨析的能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

16．已知函数按下表给出，满足的的值为________．

【答案】3或1

【解析】

【分析】

分别令x=1，2，3代入已知的表格中求出相应的函数值f（x），然后根据f（x）的值继续对应表格得到相应的f（f（x））的值，代入不等式的左边，而不等式的右边利用表格求出f（3）的值，通过判断即可得到满足题意的所有x的值．

【详解】

由题中的表格可知：

当x=1时，f（1）=2，则f（f（1））=f（2）=3，而f（3）=1，原不等式化为3＞1恒成立，所以x=1满足题意；

当x=2时，f（2）=3，则f（f（2））=f（3）=1，而f（3）=1，原不等式不成立，所以x=2不满足题意；

当x=3时，f（3）=1，则f（f（3））=f（1）=2，而f（3）=1，原不等式化为2＞1恒成立，所以x=3满足题意．

综上，满足f（f（x））＞f（3）的x的值为1和3．

故答案为1和3

【点睛】

此题考查其他不等式的解法，考查了利用图表解决实际问题的数学思想，是一道综合题．

17．已知集合,，且，求实数的值.

【答案】或.

【解析】

【分析】

先解方程得集合，再分和两类解决即可得答案.

【详解】

解：解方程得或，故

因为，

所以当时，；

当时，，

所以，解得

所以实数的值为或

【点睛】

本题考查利用集合的关系求参数值，考查分类讨论思想，本题的关键在于对集合分类讨论，是基础题.

18．已知p：实数x满足（其中）q：实数x满足

（1）若，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围.

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）由题意明确二者为x真时的范围，进而求交集即可；

（2）p是q的必要不充分条件则 ，即.

【详解】

（1）若，p为真，q为真：

∵p，q都为真命题，

∴x的取值范围为

（2）设，

∵p是q的必要不充分条件，∴ ，∴，∴解得

综上a的范围为.

【点睛】

本题考查解集合间的关系，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．

19．（1）已知是一次函数，且，求的解析式.

（2）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式.

【答案】（1）或；（2）

【解析】

【分析】

（1）设出一次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式.

（2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式.

【详解】

（1）∵是一次函数

∴设

则

又∵,

∴,

即解方程可得或

∴或；

（2）令,则

∵当时,

∴

根据奇函数定义,则

∴,则

∴

【点睛】

本题考查了函数解析式的求法,已知函数类型,可以设出函数解析式,利用待定系数法求解析式;根据奇偶性求函数解析式,注意自变量的取值情况,属于基础题.

20．已知函数

（1）若，求的值；（2）解不等式.

【答案】（1） ；（2）.

【解析】

【分析】

（1））当时，根据解析式求出，当时，求出对应的，判断是否符合要求，进而即可求解.

（2）根据分段函数对进行分类讨论，分别求出和时的满足的范围，进而求解即可.

【详解】

（1）当时，由，得，不符合题意；

当时，由，得或 (舍去)，故

（2）等价于 ——①或——②

解①得，解②得，

综合①②知的解集为.

【点睛】

本题考查了分段函数的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于一般题目.

21．己知函数是定义在实数集上奇函数.

(1)求实数的值；   (2)若满足不等式，求此时的值域.

【答案】(1)   (2)

【解析】

【分析】

(1) 根据实数集R上的奇函数满足,代入即可求得实数的值;

(2) 解指数不等式可求得自变量的取值范围,根据函数的单调性,即可求得的值域.

【详解】

(1) 因为函数是定义在实数集上奇函数

所以

即

解得

(2) 满足不等式

则

即

解不等式可得

因为为R上的单调递增函数,所以当时

即的值域为

【点睛】

本题考查了奇函数的性质及简单应用,指数不等式的解法,函数单调性与值域的综合应用,属于基础题.

22．已知定义在上的函数满足：

①对任意，，；②当时，，且 ．

（1）试判断函数的奇偶性．

（2）判断函数在上的单调性．

（3）求函数在区间上的最大值．

（4）求不等式的解集．

【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）或.

【解析】

【分析】

（1）先用赋值法求，再令，得到，从而得到函数的奇偶性；

（2）任取，，且，则有．得，再运用变形得到单调性；

（3）由奇偶性和单调性，求得函数在区间上的最大值；

（4）将不等式转化为，根据奇偶性和单调性，再转化为，求出解集.

【详解】

（1）令，则，得；再令，

则，得．

对于条件，令，则，

∴．又函数的定义域关于原点对称，

∴函数为偶函数．

（2）任取，，且，则有．

又∵当时，，∴．

而， 即，

∴函数在上是增函数．

（3）∵，且，∴．

又由（1）（2）知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，

∴函数在区间上的最大值为．

（4）∵，，

∴原不等式等价于，

又函数为偶函数，且函数在上是增函数，

∴原不等式又等价于，即或，

得或，

得或，

∴不等式的解集为或．

【点睛】

本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性的判断，最值，解抽象函数的不等式，考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题.