必刷卷02-2020-2021学年高一数学下学期期中仿真必刷模拟卷（北师大版2019）

2020-2021学年高一下学期数学期中仿真必刷模拟卷【北师大版2019】

期中检测卷02

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知角α的终边过点P（12，﹣5），则sin（π+α）＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用任意角的三角函数的定义可求sinα，进而根据诱导公式化简所求即可求解．

【解答】解：因为角α的终边过点P（12，﹣5），

所以x＝12，y＝﹣5，r＝＝13，

可得sinα＝＝﹣，

所以sin（π+α）＝﹣sinα＝．

故选：C．

【知识点】任意角的三角函数的定义

2.在△ABC所在的平面上有一点P，满足++＝，设＝，＝，则＝（　　）

A．+ B．﹣ C．+ D．﹣

【答案】C

【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义，可得P为线段AC的一个三等分点，再根据向量的加减的几何意义即可求出答案．

【解答】解：∵++＝，

∴＝﹣+﹣＝++＝2；

即＝2；

故点P是CA边上的第二个三等分点；

＝+＝+＝（﹣）＝+＝+；

故选：C．

【知识点】向量数乘和线性运算

3.已知cos（+α）＝，且|α|＜，则＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解．

【解答】解：∵cos（+α）＝﹣sinα＝，且|α|＜，

∴sinα＝﹣，cosα＝＝，

∴＝＝＝﹣．

故选：D．

【知识点】二倍角的三角函数

4.已知函数y＝Asin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数y＝Asin（ωx+φ）+B的部分图象知，，解得A＝B＝，可求周期T，利用周期公式可求|ω|＝＝，分类讨论，当ω＞0时，由f（﹣）＝3，可得φ＝2kπ+，k∈Z，结合|φ|＜，此时φ取不到符合题意的值；当ω＜0时，由f（﹣）＝3，解得φ＝﹣2kπ﹣，k∈Z；结合|φ|＜，可得k＝﹣1时，φ＝，即可得解．

【解答】解：由函数y＝Asin（ωx+φ）+B的部分图象知，

，解得A＝B＝；

又＝﹣（﹣）＝，解得T＝，

所以|ω|＝＝；

（1）当ω＞0时，函数的解析式为y＝sin（x+φ）+，

又f（﹣）＝sin（×（﹣）+φ）+＝3，

sin（﹣+φ）＝1，﹣+φ＝2kπ+，k∈Z；

解得φ＝2kπ+，k∈Z；

又|φ|＜，此时φ取不到符合题意的值；

（2）当ω＜0时，函数的解析式为y＝﹣sin（x﹣φ）+，

又f（﹣）＝﹣sin（×（﹣）﹣φ）+＝3，

sin（﹣﹣φ）＝﹣1，﹣﹣φ＝2kπ+，k∈Z；

解得φ＝﹣2kπ﹣，k∈Z；

又|φ|＜，

可得k＝﹣1时，φ＝，

综上，φ的值为．

故选：A．

【知识点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义

5.已知平面向量满足，，为不共线的单位向量．且恒成立，则，夹角的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得 ，由 恒成立得出 ，化简得知 对任意的 k∈R 恒成立，由△≤0 可求得 夹角的取值范围，由此可得出结果．

【解答】解：∵＝k2﹣2〉+3，

由| 得

＝〉

+|k，

∴|〉，

由题意可得|k，

∴k2﹣2≥0 对任意的 k∈R 恒成立，

∴△＝12cos2〈〉﹣3≤0，

解得﹣，

∵0≤〈〉≤π，

∴，

因此， 夹角的最小值为 ，

故选：B．

【知识点】数量积表示两个向量的夹角

6.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，现将底与腰之比或腰与底之比为的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC，△BCD，△ADE都是黄金三角形，若AB＝2，则DE＝（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】由题意＝，可得BC，＝，求解DC，由DC＝DE即可解得答案．

【解答】解：由题意＝，即BC＝﹣1，

∵＝，

∴DC＝2，

由题意黄金三角形它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形，

可知∠A＝36°，△ABC等腰三角形，

∴∠CBD＝108°，△BCD等腰三角形，

则∠BCD＝36°，

那么∠ECD＝72°，

∵△ADE都是黄金三角形，

∴∠ECD＝72°，

则DC＝DE，

所以DE＝2．

故选：C．

【知识点】三角形中的几何计算

7.为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究．当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶T处的仰角为60°．同学们建立了如图模型，则山高OT为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【分析】设山高为h米，利用仰角的正切表示出AO、BO，在△AOB中利用余弦定理列方程求得h的值．

【解答】解：设山OT的高度为h，在Rt△AOT中，∠TAO＝30°，AO＝＝h，

在Rt△BOT中，∠TBO＝60°，BO＝＝h，

在△AOB中，∠AOB＝81.7°﹣21.7°＝60°，

由余弦定理得，AB2＝AO2+BO2﹣2•AO•BO•cos60°；

即1402＝3h2+h2﹣2×h×h×，

化简得h2＝×1402；

又h＞0，

所以解得h＝140×＝20；

即山OT的高度为20（米）．

故选：C．

【知识点】解三角形、三角函数模型的应用

8.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（　　）

A．2π是f（x）的一个周期 

B．f（x）在[0，2π]上有3个零点 

C．f（x）的最大值为 

D．f（x）在上是增函数

【答案】D

【分析】根据三角函数的周期性判断答案A，三角函数的零点判断答案B，根据三角函数的最值判断答案C，根据三角函数的单调性判断答案D．

【解答】解：∵y＝sinx的周期为2π，的周期为π，

∴的周期为2π，故A正确；

由，得sinx+sinxcosx＝0，得sinx＝0或cosx＝﹣1，

∵x∈[0，2π]，∴x＝0，x＝π，x＝2π，则f（x）在[0，2π]上有3个零点，故B正确；

函数的最大值在上取得，

由f'（x）＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1＝0，可得，

当时，cosx单调递减，原函数单调递增，

当时，cosx单调递减，原函数单调递减，

则当时，原函数求得最大值为，故C正确；

∵，，

f（x）在上不是增函数，故D错误．

故选：D．

【知识点】二倍角的三角函数、正弦函数的单调性

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。

9.已知函数f（x）＝sin（2x+），则（　　）

A．f（x）的最小值为﹣1 

B．点是f（x）的图象的一个对称中心 

C．f（x）的最小正周期为π 

D．f（x）在上单调递增

【答案】ACD

【分析】利用正弦函数的函数值、周期性、单调性以及它的图象的对称性判断各个选项是否正确，从而得出结论

【解答】解：由题易知A正确；

因为，

所以点不是f（x）的图象的一个对称中心，所以B不正确；

f（x）的最小正周期，所以C正确；

当时，，

所以f（x）在上单调递增，所以D正确．

故选：ACD．

【知识点】正弦函数的图象

10.在R△ABC中，AB＝AC，BC＝4，在边AB，AC上分别取M，N两点，沿MN将△AMN翻折，若顶点A正好可以落在边BC上，则AM的长可以为（　　）

A． B． C． D．4

【答案】ABD

【分析】以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，求得B，C的坐标，以及BC的方程，设M（0，t），（0≤t≤2），MN的方程设为y＝kx+t（k＜0），求得A关于A'的坐标，再由中点坐标公式，以及中点在直线MN上，求得t，进而得到t的范围，可得所求结论．

【解答】解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，

可得B（2，0），C（0，2），BC的方程为x+y﹣2＝0，

设M（0，t），（0≤t≤2），MN的方程设为y＝kx+t（k＜0），

由A'为A的对称点，可得OA'的方程为y＝﹣x，

联立直线BC的方程，解得A'（，），

由对称性可得AA'的中点在直线MN上，

可得＝k•+t，

解得t＝，

由1﹣k＞0，设m＝1﹣k（m＞1），

可得＝＝（m+﹣2）≥（﹣2+2）＝4﹣2，

当且仅当m＝，即k＝1﹣时，上式取得等号，

则t的最小值为4﹣2，且t的最大值为2，

对照选项，可得ABD成立，C不成立．

故选：ABD．

【知识点】三角形中的几何计算

11.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】ABC

【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决

【解答】解：由，知A正确；

由知B正确；

由知C正确；

由N为线段DC的中点知知D错误；

故选：ABC．

【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理

12.函数的（　　）

A．图象对称中心为（，0）（k∈Z） 

B．增区间为[，]（k∈Z） 

C．图象对称轴方程为，k∈Z 

D．最大值是2，最小值是﹣2

【答案】ABD

【分析】由题意利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

【解答】解：∵函数＝2sin（x+），

令x＝，求得f（x）＝0，可得函数的图象对称中心为（，0）（k∈Z），故A正确；

当x∈[，]（k∈Z），x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），

f（x）单调递增，故B正确；

当 ，k∈Z，f（x）＝2sinkπ＝0，不是最值，

故，k∈Z不是函数的图象的对称轴，故C错误；

显然，函数f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，故D正确，

故选：ABD．

【知识点】两角和与差的三角函数、正弦函数的单调性、正弦函数的奇偶性和对称性

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.若f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则g（x）＝tan（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为　　．

【分析】利用正弦函数的周期定义可求出ω的值，然后再根据正切函数的周期定义即可求出周期．

【解答】解：由正弦函数的周期定义可得＝，解得ω＝8，

所以正切函数的最小正周期为，

故答案为：．

【知识点】三角函数的周期性

14.正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点，且＝，若＝，则+＝　　（用表示）．

【分析】根据可得出，进而得出，并且，，从而可用表示出．

【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴＝．

故答案为：．

【知识点】向量数乘和线性运算

15.如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为　　．

【分析】设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝[4sin（2θ+φ）﹣1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．

【解答】解：设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC．

∵BD＝3DC，AD＝，

∴S△ABD＝S△ABC，

∴AB⋅ADsinθ＝×AB⋅ACsin∠BAC，

∴AC＝sinθ，同理AB＝8sin（∠BAC﹣θ），

∴S△ABC＝AB⋅ACsin∠BAC＝sinθsin（∠BAC﹣θ）

＝sinθ（cosθ﹣sinθ）

＝5sin2θ+cos2θ﹣

＝（sin2θ+cos2θ）﹣

＝[4sin（2θ+φ）﹣1]，（其中tanφ＝），

∵0＜θ＜∠BAC，

∴当2θ+φ＝时，sin（2θ+φ）max＝1，

∴（S△ABC）max＝．

故答案为：．

【知识点】三角形中的几何计算

16.在△ABC中，若+＝3，则sinA的最大值为　　．

【分析】运用切化弦和两角和的正弦公式及诱导公式，再由正弦定理、余弦定理，即可得答案．

【解答】解：在△ABC中，+＝3，

∴．

∴，即，

∴．

根据正弦定理得：．

∴a2＝3bccosA．

又根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，

∴b2+c2﹣2bccosA＝3bccosA．

∴．

当且仅当b＝c时等号成立，

∴．

∴，即，

∴．

故答案为：

【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值

四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知函数f（x）＝sinx（cosx+sinx）﹣．

（1）求的值及函数f（x）的单调增区间；

（2）若∀x∈[，]，不等式m＜f（x）＜m+2恒成立，求实数m的取值集合．

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求f（）的值，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间；

（2）求出f（x）在[，]上的值域，根据题意列出不等式组即可解出m的范围．

【解答】解：（1）f（x）＝sinx（cosx+sinx）﹣＝sinxcosx+sin2x﹣＝sin2x+×﹣＝sin（2x﹣），

∴f（）＝sin（2×﹣）＝sin＝，

令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．

∴f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．

（2）∵x∈[，]，可得2x﹣∈[﹣，]，

∴当2x﹣＝时，f（x）取得最大值1，当2x﹣＝﹣时，f（x）取得最小值﹣．

∵m＜f（x）＜m+2恒成立，∴，解得﹣1＜m＜﹣．

∴实数m的取值范围是（﹣，﹣1）．

【知识点】三角函数的最值、三角函数中的恒等变换应用

18.如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC和OA交于点E，设．

（1）用和表示向量．

（2）若，求实数λ的值．

【分析】（1）直接利用向量的线性运算的应用和加减法的应用求出结果．

（2）直接利用向量的线性运算和共线向量的充要条件的应用求出结果．

【解答】解：（1）∵，

，

∴，

∵，

∴．

（2）设，

∴，

＝

＝

∵，

∴

又，且不共线．

所以由平面向量基本定理知：，

∴

【知识点】平面向量的基本定理

19.已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）已知关于x的方程在[0，2π]内恰有两个不同的解α，β．

①求实数m的取值范围．

②证明：．

【分析】（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象得出A、ω与φ的值，即可写出f（x）的解析式；

（2）①由题意可得＝sin（x+θ），其中cosθ＝，sinθ＝，结合题意画出图象，利用正弦函数的性质即可求解实数m的取值范围．

②由sin（α+θ）＝sin（β+θ）＝，可得α＝﹣β﹣2θ+π+2kπ，k∈Z，利用三角函数恒等变换即可证明．

【解答】解：（1）根据函数的部分图象，

可得A＝2，•＝﹣，

所以ω＝2．

再结合五点法作图可得，2×+φ＝，

所以φ＝，

所以f（x）＝2sin（2x+）．

（2）①＝2sin[2（﹣）+]+cosx＝2sinx+cosx＝sin（x+θ），其中cosθ＝，sinθ＝，

当x＝0时，函数值为1，且x∈[0，2π]，画出函数图象如下：

所以实数m的取值范围是（﹣，1）∪（1，），

②证明：因为sin（α+θ）＝sin（β+θ）＝，

所以α+θ+β+θ＝π+2kπ，k∈Z，

所以α＝﹣β﹣2θ+π+2kπ，k∈Z，

所以cos（α﹣β）＝cos（﹣2β﹣2θ+π+2kπ）＝cos[π﹣2（β+θ）]＝﹣cos2（β+θ）＝2sin2（β+θ）﹣1＝﹣1，得证．

【知识点】两角和与差的三角函数

20.设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．

（1）求ω、φ的值；

（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．

【分析】（1）依题意，得，f（0）＝0，即可求解．

（2）由2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），结合余弦定理可得：＝，又，即可得到b＝，A＝．即可求解的值．

【解答】解：（1）依题意，得，ω＝1．

故f（x）＝sin（x+φ）．

因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，

即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．

（2）由（1）知f（x）＝sinx，

因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），

所以2sin2B+3sin2C＝2sinAsinBsinC+sin2A，

由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sinA•bc+a2，

又a2＝b2+c2﹣2bccosA，

∴＝，

又，

∴sinA﹣cosA＝，且b＝，∴A＝．

∴＝＝．

【知识点】余弦定理、正弦定理

21.已知函数f（x）＝cos2x+sinx•（1﹣2），其中x∈R．

（1）求使得f（x）≥的x的取值范围；

（2）若函数g（x）＝sin（2x+）且对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，均有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）成立，求正实数t的最大值．

【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），再由正弦函数的性质即可求解不等式；

（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x），由诱导公式及辅助角公式进行化简，由题意分析可得h（x）＝sin2x在x∈[0，t]上单调递增，由正弦喊得性质即可求得t的取值范围，从而可求得t的最大值．

【解答】解：（1）f（x）＝cos2x+sinx•（1﹣2）＝cos2x+sinx•cosx＝cos2x+sin2x＝sin（2x+），

因为f（x）≥，所以sin（2x+）≥，即sin（2x+）≥，

所以2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，

所以使得f（x）≥的x的取值范围是[kπ，kπ+]，k∈Z．

（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+）＝sin（2x+）﹣cos（2x+）＝sin（2x+﹣）＝sin2x，

因为对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，均有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）成立，

即对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，均有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2）成立，

即对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，均有h（x1）＜h（x2）成立，

所以h（x）＝sin2x在x∈[0，t]上单调递增，

所以0＜2t≤，解得0＜t≤，

所以正实数t的最大值为．

【知识点】两角和与差的三角函数、三角函数的最值

22.已知向量．

（I）求函数f（x）的单调增区间．

（2）若方程上有解，求实数m的取值范围．

（3）设，已知区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中求b﹣a的最小值．

【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换公式，化简f（x），再由正弦函数的增区间，解不等式可得所求；

（2）令t＝f（x），由正弦函数的图象可得t的范围，由参数分离和二次函数的值域，可得所求m的范围；

（3）解g（x）＝0，可得g（x）的零点相离间隔依次为和，由题意可得若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，nπ+a]（n∈N*）分别恰有3，5，…，2n+1个零点，即可得到所求最小值．

【解答】解：（1）向量．

即有f（x）＝2+•﹣＝1+cos2x+sinxcosx﹣1﹣＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），

由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，

则f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；

（2）令t＝f（x），由x∈（0，），可得2x+∈（，），t∈（﹣，1]，

方程上有解，

即为3t2﹣t+m＝0在t∈（﹣，1]有解，

即为﹣m＝3t2﹣t，由h（t）＝3t2﹣t＝3（t﹣）2﹣，可得h（t）∈[﹣，2]，

可得m的范围是[﹣2，]；

（3）g（x）＝sin（2x+）﹣，

由g（x）＝0，可得2x+＝2kπ+或2kπ+，k∈Z，

即为x＝kπ﹣或x＝kπ+，k∈Z，

即g（x）的零点相离间隔依次为和，

y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，

若b﹣a最小，则a和b都是零点，

此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，nπ+a]（n∈N*）

分别恰有3，5，…，2n+1个零点，

所以在区间[a，49π+a]是恰有99个零点，从而在区间（49π+a，b]至少有一个零点，

∴b﹣a﹣49π≥，即b﹣a≥，

则b﹣a的最小值为．

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算、三角函数中的恒等变换应用