高中数学人教版新课标A必修33.1.1随机事件的概率练习

随机事件的概率 检测

一、选择题

1.设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝,i＝1,2,3，则P(X＝2)等于(    )

A.                 B.               C.          D.

解析:根据随机变量的概率和为1，可得,解得a＝3,

∴P(X＝2)＝.

答案:C

2.下列四个表中，能表示随机变量X的概率分布的是(    )

A.

B.

C.

D.

解析:在A中,概率之和＝0.6+0.8＝1.4＞1,不符合性质(2);在C中,概率之和＝,不符合性质(2);在D中，,不符合性质(1)(概率不可能为负数)；只有选项B同时符合随机变量的概率分布的两条性质.

答案:B

3.如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(    )

A.                 B.                   C.                   D.

解析:由独立事件同时发生的概率,得.

答案:A

4.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)(    )

A.              B.                   C.                       D.

解析:一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}.记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“其中一个是男孩”,则A＝{(男，女),(女，男)，(女，女)},B＝{(男，女),(女，男)，(男，男)},AB＝{(男，女),(女，男)}.于是可知,.

问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A),由条件概率公式,得

P(B|A)＝.

答案:D

5.(2009江苏南通模拟,理10)某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(    )

A.甲科总体的标准差最小

B.丙科总体的平均数最小

C.乙科总体的标准差及平均数都居中

D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同

解析:由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质,可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.

答案:A

6.从4名男生和2名女生中任选3人参加一项“智力大比拼”活动，则所选的3人中女生人数不超过1人的概率是(    )

A.                B.              C.             D.

解析:由题意可知所选3人中女生人数X服从超几何分布,所求事件的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)+P(X＝1)＝.

答案:D

二、填空题

7.(2009湖北高考样题，理12)接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为_____________.(精确到0.01)

解析:5人接种可看作5次独立重复试验.所求的概率为

P＝×0.83×0.22+×0.84×0.2+×0.85＝0.942 08≈0.94.

答案:0.94

8.已知,,，则P(AB)＝_________，P(B)＝_________.

解析:P(AB)＝P(A)P(B|A)＝,

.

答案: 

9.由正态分布N(1,8)对应的曲线可知，当x＝__________时，函数P(x)有最大值,为__________.

解析:由正态密度曲线的性质,可知此正态曲线关于直线x＝μ对称,在x＝μ时曲线位于最高点,所以，当x＝1时，P(x)有最大值,且P(x)max＝.

答案:1 

三、解答题

10.在标准正态分布中我们常设P(X＜x0)＝Φ(x0)，根据标准正态曲线的对称性有性质：P(X＞x0)＝1-Φ(x0).若X～N(μ,σ2),记P(X＜x0)＝F(x0)＝.

某中学高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,100)，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比.(Φ(2)≈0.977)

解:用X表示此中学数学高考成绩，则X～N(100,102),

∴P(X＞120)＝1－P(X≤120)＝≈0.023.

∴120分以上的考生人数为1 000×0.023＝23.

11.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝.

(1)求文娱队的人数；

(2)写出ξ的概率分布列.

解:设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7-x)人，那么只会一项的人数是(7-2x)人.

(1)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，∴P(ξ＝0)＝,即.

∴.

∴x＝2.故文娱队共有5人.

(2)P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝,

∴ξ的概率分布列如下表:

12.某先生居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示.(例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为115).

(1)请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；

(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量X，求X的概率分布.

解:(1)记路段MN发生堵车事件为MN,MN∈{AC,CD,BD,BF,CF,AE,EF}.

因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为

1－Ｐ(··)

＝1－Ｐ()Ｐ()Ｐ()

＝１－［１－Ｐ(AC)］［１－Ｐ(CD)］［１－P(DB)］

＝；

同理,路线A→C→Ｆ→B中遇到堵车的概率P2为

1－Ｐ(··)＝(小于)；

路线A→Ｅ→Ｆ→B中遇到堵车的概率P3为

1－Ｐ(··)＝(大于).

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.

因此选择路线A→C→Ｆ→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小.

(2)路线A→C→Ｆ→B中遇到堵车次数X可取值为0,1,2,3.

Ｐ(X＝０)＝Ｐ(··)＝,

Ｐ(X＝1)＝Ｐ(AC··)＋Ｐ(·CＦ·)＋Ｐ(··ＦB)

＝，

Ｐ(X＝２)＝Ｐ(AC·CＦ·)＋Ｐ(AC·ＦB)＋Ｐ(·CＦ·ＦB)

＝，

Ｐ(X＝3)＝Ｐ(··)＝.

∴X的概率分布为