人教版新课标A必修3第三章 概率3.1 随机事件的概率3.1.1随机事件的概率教学设计

第三章  概率

本章教材分析

    在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象,既有确定性现象,又有随机现象.随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.概率统计的应用性强,有利于培养学生的应用意识和动手能力.

    我们知道,概率是统计学的理论基础,但本书的内容安排是先统计后概率.这样的安排,一方面是考虑到统计与概率学科发展的历史是先有统计,为了研究统计结论的可靠性问题,概率得到了发展；另一方面是考虑到学生的学习心理,统计在前,使得学生在学习过程中可以接触到大量统计案例,学习过程中的实践性可以大大增强.

    本章包括随机事件的概率的统计定义,概率的意义及其基本性质；古典概型的特征及概率的计算公式；几何概型的特征及概率的计算公式；利用随机模拟的方法估计随机事件的概率.

    本章包括3节,教学约需8课时,课时分配如下（仅供参考）：

§3.1  随机事件的概率

§3.1.1  随机事件的概率

一、教材分析

    概率是描述随机事件发生可能性大小的量度,它已渗透到人们的日常生活中,例如：彩票的中奖率,产品的合格率,天气预报、台风预报等都离不开概率.概率的准确含义是什么呢？我们用什么样的方法获取随机事件的概率，从而激发学生学习概率的兴趣？本节课通过学生亲自动手试验,让学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性,通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,是新课标理念的具体实施.

二、教学目标

1、知识与技能：

（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；

（2）正确理解事件A出现的频率的意义；

（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系；

（4）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．

2、过程与方法：

（1）发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高；

（2）通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，、“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．

3、情感态度与价值观：

（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；

（2）培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识．

三、重点难点

教学重点：

1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.

2.正确理解概率的意义.

教学难点：

1.对概率含义的正确理解.

2.理解频率与概率的关系.

四、课时安排

    1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1

    日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等.尽管没有确切的答案,但大体上围绕一个数值在变化,这个数值就是概率.教师板书课题：随机事件的概率.

思路2

    1名数学家=10个师

    在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.

    1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额.

    为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性.一定数量的船（为100艘）编队规模越小,编次就越多（为每次20艘,就要有5个编次）,编次越多,与敌人相遇的概率就越大.

    美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.

    在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

（1）什么是必然事件？请举例说明.

（2）什么是不可能事件？请举例说明.

（3）什么是确定事件？请举例说明.

（4）什么是随机事件？请举例说明.

（5）什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？

（6）频率与概率的区别与联系有哪些?

活动：学生积极思考,教师引导学生考虑问题的思路,结合实际的情形分析研究.（1）导体通电时,发热；抛一块石头,下落；“如果a＞b,那么a-b＞0”;这三个事件是一定要发生的.但注意到有一定的条件.（2）在常温下,焊锡熔化；在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；“没有水,种子能发芽”；这三个事件是一定不发生的.但注意到有一定的条件.（3）抛一块石头,下落；“如果a＞b,那么a-b＞0”;在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；“没有水,种子能发芽”；这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的.是确定的,不是模棱两可的.（4）掷一枚硬币,出现正面；某人射击一次,中靶；从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；这四个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.（5）做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,也体现了新课标的理念.

具体如下：

    第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表中：

思考

    试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？

    第二步  由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.

思考

    与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？

    通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.

    第三步  用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？

    第四步  把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.

思考

    这个条形图有什么特点？

    引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的.

    第五步  请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.

思考

    如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？

    引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律,并让学生叙述出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.一般情况下重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果是不一致的,这更说明随机事件的随机性.

    进一步总结事件的频数与频率,概括出概率的概念.（6）通过（5）的概括和总结写出频率与概率的区别与联系.

讨论结果：（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件（certain event）,简称必然事件.

（2）不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossible event）,简称不可能事件.

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数na为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率（relative frequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率（probability）.

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数na与试验总次数n的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.

    频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.

    频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.

    概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.

（三）应用示例

思路1

例1  判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.

（1）“抛一石块,下落”.

（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”；

（3）“某人射击一次,中靶”；

（4）“如果a＞b,那么a-b＞0”;

（5）“掷一枚硬币,出现正面”；

（6）“导体通电后,发热”；

（7）“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”；

（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

（9）“没有水分,种子能发芽”；

（10）“在常温下,焊锡熔化”.

分析：学生针对有关概念,思考讨论,教师及时指点,为后续学习打下基础.根据自然界的规律和日常生活的经验积累,根据定义,可判断事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.

答案：事件（1）（4）（6）是必然事件；事件（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.

点评：紧扣各类事件的定义,结合实际来判断.

例2  某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示：

（1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？

分析：学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件A出现的频数na与试验次数n的比值即为事件A的频率,当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A的概率.

解：（1）表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

（2）由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89.

点评：概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.

变式训练

    一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：

（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；

（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？

答案：（1）0.520  0.517  0.517  0.517

（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.

思路2

例1  做掷一枚骰子的试验,观察试验结果.

（1）试验可能出现的结果有几种？分别把它们写出；

（2）做60次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少？

分析：学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,因为每一枚骰子有六个面,每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6,所以应出现六种结果,试验结果可列表求之.

解：（1）试验可能出现的结果有六种,分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点.

（2）根据实验结果列表后求出频数、频率,表略.

例2  某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？

分析：学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为=0.9,所以中靶的概率约为0.9.

解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次,中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2.

（四）知能训练

1.指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件.

（1）某地1月1日刮西北风；

（2）当x是实数时,x2≥0；

（3）手电简的电池没电,灯泡发亮；

（4）一个电影院某天的上座率超过50%.

答案：（1）随机事件；（2）必然事件；（3）不可能事件；（4）随机事件.

2.大量重复做掷两枚硬币的实验,汇总实验结果,你会发现什么规律？

解答：随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上,从而获取随机事件的概率.

点评：让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法.

（五）拓展提升

1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是（    ）

A.必然事件             B.随机事件             C.不可能事件           D.无法确定

答案：B

提示：正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.

2.下列说法正确的是（    ）

A.任一事件的概率总在（0,1）内                B.不可能事件的概率不一定为0

C.必然事件的概率一定为1                     D.以上均不对

答案：C

提示：任一事件的概率总在［0,1］内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.

3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题.

（1）完成上面表格;

（2）该油菜子发芽的概率约是多少？

解：（1）填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.（2）该油菜子发芽的概率约为0.897.

4.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示.

（1）计算表中进球的频率；

（2）这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少？

解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80,因此,进球的概率约为0.80.

（六）课堂小结

    本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件A的概率）,这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.

（七）作业

    完成课本本节练习.