数学1.3 算法与案例背景图课件ppt

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1.3 算法案例 第二课时 例2 求325，130，270三个数的最大公约数. 因为325=130×2+65，130=65×2，所以325与130的最大公约数是65. 因为270=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65与270最大公约数是5. 故325，130，270三个数的最大公约数是5.问题提出 1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合. 2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.秦九韶算法[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.x=5f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7PRINT fEND程序 点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？ 9次乘法运算，5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果. 思考3:能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,当x=5时,多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.5次乘法运算，5次加法运算. 思考4:利用最后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2.第三步，计算v3=v2x+an-3. …第n步，计算vn=vn-1x+a0.思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？ vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)n次乘法运算， n次加法运算知识探究(二):秦九韶算法的程序设计 思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值. 第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1.第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第 二步；否则，输出多项式的值v. 思考2:该算法的程序框图如何表示？思考3:该程序框图对应的程序如何表述？INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；x v=ani=n-1WHILE i>=0INPUT “ai=”；b v=v*x+bi=i-1 WENDPRINT yEND理论迁移f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.v1=5×5+2=27；v2=27×5+3.5=138.5；v3=138.5×5-2.6=689.9；v4=689.9×5+1.7=3451.2；v5=3451.2×5-0.8=17255.2.所以f(5)= =17255.2. 变式：例2 已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求当x=5时，V1,V3的值及求f(5)的值做多少次乘法运算.解：f(x)=((((5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.v1=5×5+0=25；v2=25×5+3.5=128.5；v3=128.5×5+0=642.5；v4=642.5×5+1.7=3214.2；v5=3214.2×5-0.8=16070.8.所以v1=25， v3=642.5 ，f(5)=16070.8. 例3 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？INPUT “x=”；an=0y=0WHLE n