人教版新课标A必修42.1 平面向量的实际背景及基本概念教学设计

环节

内容设置

师生互动

创

设

情

境

力也是物理中常见的量，同样满足既有大小，又有方向，从以下四个图示进行说明（课件展示）

从本章引言，我们知道位移是既有大小，又有方向的量，可用有向线段表示。 （*引申出有向线段的概念）

具有方向的线段就叫做有向线段。

有向线段的三要素：起点、方向、长度。

思考：还能举出物理学中的这样的一些实例吗？

    从中归纳数学中向量的定义。 

情境设置符合学生的认知规律；从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和感兴趣的问题开始，从而顺利地将学生引导到向量的学习中来。

生：观察、思考、总结、概括得出结论，并相互进行交流。

新

课

探

究

学

习

1、向量定义：我们把既有大小又有方向的量叫向量

设问：时间、路程、功是向量吗？速度与加速度呢？

从而归纳出数量与向量的相关概念：数量只有大小，是一个代数量；向量有方向，大小，双重性.

2、向量的几何表示

（类比实数的数轴表示并结合实例过渡到向量的几何表示）

向量的几何表示：用有向线段表示；

3、向量的相关概念

（1）向量的字母表示：用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示，书写用，等；或用有向线段的起点与终点字母：等；

（2）向量的大小就是有向线段的长度（或称模），记作||；向量方向就是其有向线段的箭头指向。

（3）零向量、单位向量概念：（从向量的大小方面过渡）

①长度为0的向量叫做零向量，记作。

②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.

4、平行向量定义（从向量的方向关系进行引入）：

①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；

若向量，平行，记作∥

②我们规定与任一向量平行，即都有∥.

说明：综合①、②才是平行向量的完整定义；

探究：“若∥，且∥，则∥”这个说法正确吗？

（注意与直线平行传递性的区别）

5、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

说明：（1）若向量与相等，记作=；

（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.（结合向量与有向线段的构成要素进行说明，并用课件展示其生成过程）

6、共线向量与平行向量关系：（课件展示）

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

探究：（1）平行向量可以在同一直线上吗？

（注意与两平行线位置关系的区别）

（2）共线向量可以相互平行吗？

（注意与同在一直线上的线段位置关系的区别）

并类比得到数量的定义。

让学生进一步体会到向量的方向性

类比有助于将学生认知进行迁移，顺利形成向量的知识。

向量的几何表示

    记做或

让学生独立思考，得到结论，加深对有向线段和向量的理解。

组织学生进行思考、交流能根据向量的平行性质得出正确的结论。

例

题

研

究

例1、如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移

解：表示A地至B地的位移，且≈____________

表示A地至C地的位移，且≈____________

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（6）两个非零向量相等的应满足什么条件？

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

例3  如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.

解：（学生口答）

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（）

巩固向量概念及其几何表示。

让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基本概念

让学生巩固相等向量与平行向量的概念。

尝

试

练

习

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

（1）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

（2）单位向量都相等；

（3）若，则

（4）若，则；

（5）若四边形ABCD是平行四边形，则＝.

2．书本86页练习2、3、4

*思考：将所有的单位向量移到同一起点，问这些向量的终点构成的图形是什么？（以此点为圆心，半径为1的圆）

让学生自己能通过这次课的学习，独立思考，完成练习，达到检测学习的效果。

拓展

发现

思考：

（1）如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量

中，有多少种不同的向量？（共20种）

分析（从向量的长度与方向考虑。）

（2）“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？

答：错误。向量与有向线段的联系与区别：

联系：向量可以用有向线段表示。

区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段

收获与

体会

通过本节课的学习，了解向量的实际背景，掌握了向量的各个基本概念；并且明白平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比及平行向量与共线向量的关系。

进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象。

作业

回馈

书本86页习题2.1 A组第2、3、5题

布置适当的作业巩固学习效果。