2022年九年级中考数学一轮复习：二次函数与方程、不等式的关系

2022届九年级中考数学一轮复习：二次函数与方程、不等式的关系

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共14小题，共42分）

1. 在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中，，是正实数，且满足设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则

2. 抛物线与坐标轴的交点个数为     

A.  B.  C.  D.

3. 已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 已知二次函数的自变量与函数的部分对应值见表格，则下列结论：；；方程的两根为，；其中正确的有

A.  B.  C.  D.

5. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则函数的图象可能为

A. B.
C. D.
 

6. 若抛物线经过第四象限的点，则关于的方程的根的情况是

A. 有两个大于的不相等实数根
B. 有两个小于的不相等实数根
C. 有一个大于另一个小于的实数根
D. 没有实数根

7. 如图，抛物线与直线交于，两点，下列是关于的不等式或方程，结论正确的是

A. 的解集是
B. 的解集是
C. 的解集是
D. 的解是，

8. 已知二次函数的图象交轴于，两点若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是

A.  B.  C.  D.

9. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是

A.  B.
C.  D.

10. 对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

11. 在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

12. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：；；若和是抛物线上的两点，则当时，；抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是
     

A.  B.  C.  D.

13. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的值为

A. 或   B. 或
C. 或     D. 或

14. 对于一个函数，自变量取时，函数值等于，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，，关于的方程有两个不相等的非零实数根，，则下列关系式一定正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

15. 若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为______．
16. 对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是______ ．
17. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则的最大值与最小值的和为______．

18. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________．
19. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有两个不同的交点，则的取值范围为_____．
    
     

20. 二次函数的图象与直线交于点、两点，则关于的不等式的解集为______ ．

三、解答题（本大题共3小题，共40分）

21. 已知关于的一元二次方程．
    若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
    二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
    
    
     

22. 设二次函数是实数．
    甲求得当时，；当时，；乙求得当时，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗说明理由．
    写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值用含，的代数式表示．
    已知二次函数的图象经过和两点是实数，当时，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知关于的二次函数实数，为常数．
    若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
    若，当时，二次函数的最小值为，求的值；
    记关于的二次函数，若在的条件下，当时，总有，求实数的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

选项正确，利用判别式的性质证明即可．

【详解】

解：选项正确．

理由：，

，

是正实数，

，

，

，

，

，

，

对于，

则有，

，

选项正确，

故选：．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像与轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，属于中档题．
先计算自变量为时对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标；再把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有个交点．
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．
将关于的方程的解为，的问题转化为二次函数与交点的横坐标，借助图象即可得出答案．
【解答】
解：关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与直线的交点的横坐标，如图，

二次函数与轴交点坐标为，，
当时，直线与抛物线交于轴上方的部分，
又，
，
故选A．  

4.【答案】
 

【解析】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点和点，
点与点是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线，
设二次函数解析式为，
代入点，得，
，
解得，
二次函数的解析式为：，
，
，
是错误的，
，
是正确的，
方程为，
即为，
，，
是正确的，
，
是错误的，
是正确的，
故选：．
由表格可以得到二次函数图象经过点和点，这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到，，的值，依次代入到中进行判断即可解决．
本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的图象与一次函数的图象的交点问题，由图象可知一次函数与二次函数交于第一象限的、两点，可得方程有两个正实数根，即可得到结论．

【解答】

解：由题图可知一元二次方程有两个不等的正实数根，

即函数的图象与轴正半轴有两个交点，
故选A．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，借助图象解题是关键．
根据题意画出函数的图象，根据抛物线与的交点情况即可判断．
【解答】解：由抛物线经过第四象限的点，
画出函数的图象如图：

由图象可知：关于的方程的根的情况是有一个大于另一个小于的实数根，
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：联立与直线得：，
由函数图象知，上述方程的解为或，
而，表示抛物线的值大于直线的值，此时，或，
故选：．
联立与直线得：，由函数图象知，上述方程的解为或，进而求解．
本题考查的是二次函数与不等式组，主要要求学生通过观察函数图像的方式来求解等式或不等式．
 

8.【答案】
 

【解析】解：二次函数的图象上有且只有，，三点满足，
三点中必有一点在二次函数的顶点上，
，
二次函数的图象的顶点坐标为，
令，则，
解得或，
与轴的交点为，，
，
．
故选：．
由已知条件可判定三点中必有一点在二次函数的顶点上，通过求解二次函数的顶点的坐标及与坐标轴的交点坐标利用三角形的面积公式可求解值．
本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，判定，，点的位置是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由表格中的数据可以看出当时，，当时，，
当取在的范围内的某一个值时，，即
方程为常数的一个解的范围是．
故选：．
根据表格可知：当时，，当时，，据此可得答案．
该题考查了二次函数与一元二次方程的关系，用表格的方式求函数的值的范围．
 

10.【答案】
 

【解析】解：把，代入解析式可得：，
解得：，
所以可得：，，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：．
把代入解析式，根据，得出关于的不等式，得出的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．
此题考查抛物线与轴的交点，关键是得出的取值范围，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】本题主要考查一次函数和二次函数与轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为，确定它是什么函数，进而确定与轴的交点个数．
先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与轴的交点个数，若一次函数，则与轴只有一个交点，据此解答．
【解答】解：，
，
函数的图象与轴有个交点，
，
函数，
当时，，函数的图象与轴有个交点，即，此时；
当时，不妨令，，，函数为一次函数，与轴有一个交点，即，此时；
综上可知，或．
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．
由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．
把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．
由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．
由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．
【解答】
解：抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故正确．
，
当时，由图象可得，
当时，，由图象可得，
，即，
故正确．
，，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
故错误．
抛物线的顶点坐标为，
，
，
无实数根．
故正确，
综上所述，正确，
故选：．  

13.【答案】
 

【解析】解：二次函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，解得，，
则抛物线与轴的交点为，，
把抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，
如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
，解得；
当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得，
所以的值为或，
故选：．
分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
根据题意画出关于的二次函数的图象以及直线，根据图象即可判断．
【解答】
解：由题意关于的方程有两个不相等的非零实数根，，就是关于的二次函数与直线的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

抛物线的对称轴为直线，
，
由图象可知：一定成立，
故选：．  

15.【答案】，
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是二次函数与一元二次方程利用抛物线的对称性求得的值是解题的关键．根据对称轴方程求得，再解一元二次方程即可得解．
【解答】
解：二次函数的对称轴为直线，
，
得，
则可化为：，
即，
解得，，．
故答案为：，．  

16.【答案】
 

【解析】解：对于任意实数，抛物线与轴都有交点，
，则，
整理得，
，
的最小值为，
，
故答案为．
根据题意得到，即，求得的最小值，即可得到的取值范围．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的最值，根据题意得到是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线只有一个交点时，，
整理得，
，解得或舍去，
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为．
故答案为：．
根据题意可知，当直线经过点时，直线与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，，可得出的最大值是，最小值是，即可得它们的和为．
本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出的最大值和最小值是解题的关键．
 

18.【答案】，
 

【解析】解：关于的一元二次方程变形为，
把抛物线沿轴向右平移个单位得到，
因为抛物线经过点、，
所以抛物线与轴的两交点坐标为，，
所以一元二次方程的解为，．
故答案为，．
本题考查了二次函数图象于几何变换，二次函数与一元二次方程由于抛物线沿轴向右平移个单位得到，从而得到抛物线与轴的两交点坐标为，，然后根据抛物线与轴的交点问题得到一元二次方程的解．
 

19.【答案】
 

【解析】

【解析】

【分析】

直线与有一个交点，与有两个交点，则有，时，，即可求解．

【详解】

解：直线与该图象恰有三个不同的交点，

则直线与有一个交点，

，

与有两个交点，

，

，

，

；

故答案为．

【点睛】

本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定的范围．

20.【答案】
 

【解析】解：由题意，可大致画出函数图象如下，

则直线关于轴对称的直线为，
根据图形的对称性，设点、关于轴的对称点分别为点、，
则点、的横坐标分别为，，
观察函数图象的解集为，
即的不等式的解集为，
故答案为：．
由题意，可大致画出函数图象，根据图形的对称性，求出点、的坐标，即可求解．
本题考查的是二次函数与不等式组，主要要求学生通过观察函数图像的方式来求解不等式．
 

21.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
；
二次函数图象的对称轴为直线，
抛物线与轴两个交点关于直线对称，
由图可知抛物线与轴一个交点为，
另一个交点为，
一元二次方程的解为，．
 

【解析】由即可列不等式得到答案；
根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案．
本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
 

22.【答案】解：当时，；当时，；
二次函数经过点，，
，，
，
当时，，
乙求得的结果不对；
对称轴为，
当时，是函数的最小值；
二次函数的图象经过和两点，
，，
，
，，且和不可以同时等于，
．
 

【解析】本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将准确的用和表示出来是解题的关键．
将，代入求出函数解析式即可求解；
对称轴为，当时，是函数的最小值；
将已知两点代入求出，，再表示出，由已知，可求出，，即可求解．
 

23.【答案】解：二次函数的图象经过点，
；
对称轴为直线：，
，
此二次函数的表达式为：．
当时，，此时函数的表达式为：，
根据题意可知，需要分三种情况：
当，即时，二次函数的最小值在处取到；
，解得，舍去；
，即时，二次函数的最小值在处取到；
，解得，舍去；
，即时，二次函数的最小值在处取到；
，解得舍去．
综上，的取值为或．

由知，二次函数的表达式为：，
设函数，
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，即有最小值，
，
，即的最小值为．
 

【解析】由待定系数法，及对称轴为直线，可求出二次函数的表达式；
需要分三种情况：；；分别进行讨论；
根据二次函数图象的增减性可得结论．
本题考查二次函数的图象及其性质，根与系数关系等，解题的关键在于分类讨论求解，避免遗漏．