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专题01：28.1 锐角三角函数 期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级 下册
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这是一份专题01：28.1 锐角三角函数 期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级 下册，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题01：2022年人教新版九年级（下册）28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
4．已知sinα＝，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（ ）
A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS
5．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（ ）
A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m
6．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（ ）（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
A．12千米 B．（3+4）千米
C．（3+5）千米 D．（12﹣4）千米
7．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式中正确的是（ ）
A．sin46°＞cos44° B．2sin40°＝sin80°
C．cos44°＜cos46° D．sin244°+sin246°＝1
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
二、填空题（共10小题）
11．比较大小：tan30° cos30°（用“＞”或“＜”填空）
12．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 米；大树BC的高度为 米（结果保留根号）
13．已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则∠A的余切值为 ．
14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝ ．
16．已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为 ．
17．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 海里．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosA＝ ．
19．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 m．
20．sin30°+tan45°＝ ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2tan60°cos30°﹣sin245°
22．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．
23．一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机B处的距离为50米，∠CAB为30°，这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行，外国侦察机在C点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由B到C的速度是多少？（结果保留整数，参考数据＝1.414，＝1.732）
24．计算：sin60°•cos60°﹣tan30°•tan60°+sin245°+cos245°．
25．某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）
26．如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
27．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台，已知CD∥EG，高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：．
（1）求新坡面AC的坡角度数；
（2）原坡面底部BG的正前方10米（EB的长）处是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由．（参考数据：≈1.73）
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
29．为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参考数据：，）．
30．如图，港口A在观测站C的正东方向20km处，某船从港口A出发，沿东偏北75°方向匀速航行2小时后到达B处，此时从观测站C处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的速度．
专题01：2022年人教新版九年级（下册）28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A是锐角，
∵cosA＝＝
∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，
∴sinA＝＝，
故选：A．
2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：由（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，得
2cosA＝，1﹣tanB＝0．
解得A＝45°，B＝45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝6米，∠BAC＝75°，
∴＝tan75°，
∴BC＝AC•tan75°＝6tan75°（米）．
故选：D．
4．已知sinα＝，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（ ）
A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS
【解答】解：若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，
故选：D．
5．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（ ）
A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m
【解答】解：如图，
由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，
即地毯的总长度至少为（AC+BC），
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2m，∠C＝90°．
∵tanA＝，
∴AC＝BC÷tan30°＝2．
∴AC+BC＝2+2．
故选：B．
6．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（ ）（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
A．12千米 B．（3+4）千米
C．（3+5）千米 D．（12﹣4）千米
【解答】解：如图，作BD⊥AC于点D，
根据题意可知：
在Rt△ADB中，∠A＝60°，AB＝6千米，
∴AD＝3千米，BD＝3千米，
在Rt△CDB中，∠CBD＝53°，
∴CD＝BD•tan53°≈3×1.32≈3×≈4（千米），
∴AC＝AD+CD＝3+4（千米）．
则A，C两地的距离为（3+4）千米．
故选：B．
7．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝，
所以sinA＝＝＝，
故选：D．
9．下列各式中正确的是（ ）
A．sin46°＞cos44° B．2sin40°＝sin80°
C．cos44°＜cos46° D．sin244°+sin246°＝1
【解答】解：sin46°＝cos（90°﹣46°）＝cos44°，因此选项A不符合题意；
2sin40°≠sin80°，因此选项B不符合题意；
一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小，于是有cos44°＞cos46°，因此选项C不符合题意；
sin244°+sin246°＝sin244°+cos244°＝1，因此选项D符合题意；
故选：D．
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC＝x，AD＝CD+x，AB＝，AB＝；
因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
第④组中，在直角△DEF中已知条件中没有边，无法求得DF或EF或DE的长度，从而无法求得AB的长度；
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．比较大小：tan30° ＜ cos30°（用“＞”或“＜”填空）
【解答】解：∵tan30°＝，cos30°，＜，
∴tan30°＜cos30°，
故答案为：＜．
12．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 2 米；大树BC的高度为 （3+5） 米（结果保留根号）
【解答】解：如图，过点D作DK⊥BC于K，DH⊥CE于H，
则四边形DHCK为矩形．
故DK＝CH，CK＝DH，
在直角三角形AHD中，＝，AD＝2米，
∴DH＝2米，AH＝4米，
∴CK＝DH＝2米，
设BC＝x米，
在直角三角形ABC中，AC＝＝x米，
∴DK＝（4+x）米，BK＝（x﹣2）米，
在直角三角形BDK中，∵BK＝DK•tan30°，
∴x﹣2＝（4+x）×，
解得：x＝5+3，
∴BC＝（5+3 ）米．
答：大树的高度为（3+5）米．
故答案是：2；（3+5）．
13．已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则∠A的余切值为 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴cotA＝＝，
故答案为．
14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是 ．
【解答】解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：
∵DB＝CK＝2，DB∥CK，
∴四边形CDBK是平行四边形，
∴CD∥BK，
∴∠AOC＝∠ABK，
过点K作KH⊥AB于H．
∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，
∴HK＝＝，
∵BK＝＝2，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝ ．
【解答】解：连接EB，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵＝＝，
设EC＝3k，则AE＝BE＝5k，AC＝5k+3k＝8k，
在Rt△BCE中，BC＝＝4k，
在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，
故答案为：．
16．已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为 5或7 ．
【解答】解：（1）如图所示：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AD＝2，BD＝＝6
在Rt△ACD中，∵AC＝，AD＝2，
∴CD＝＝1
∴BC＝BD﹣CD＝5；
（2）如图所示：过点A作AD⊥BC，交BC于点D
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AD＝2，BD＝＝6
在Rt△ACD中，∵AC＝，AD＝2，
∴CD＝＝1
∴BC＝BD+CD＝7；
故答案为：5或7．
17．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 （30+30） 海里．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，AD＝AC＝30，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）海里．
故答案为：（30+30）．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosA＝ ．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝＝6，
cosA＝＝＝，
故答案为：．
19．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 10 m．
【解答】解：∵坡比i＝tan∠CAB＝＝＝，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故答案为：10．
20．sin30°+tan45°＝ ．
【解答】解：原式＝+1＝．
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2tan60°cos30°﹣sin245°
【解答】解：原式＝2×﹣（）2
＝3﹣
＝．
22．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
而∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠ADE＝α，
在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，
∴＝，
设BC＝4x，则AC＝5x，
∴AB＝3x，
∴3x＝4，解得x＝，
∴BC＝
∴AD＝．
23．一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机B处的距离为50米，∠CAB为30°，这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行，外国侦察机在C点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由B到C的速度是多少？（结果保留整数，参考数据＝1.414，＝1.732）
【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠CBD＝45°，
∴∠CBF＝∠C＝45°，
∵∠A＝30°，AB＝50，
∴BF＝25m，AF＝25m，
∴FC＝25m，则BC＝25m，
∴AC＝25+25≈68（m），
68÷400≈0.17（秒），
故25÷0.17≈208（m/s），
答：外国侦察机由B到C的速度是208m/s．
24．计算：sin60°•cos60°﹣tan30°•tan60°+sin245°+cos245°．
【解答】解：原式＝×﹣×+1
＝﹣1+1
＝．
25．某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）
【解答】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
设PA＝PN＝x，
∵∠MAP＝58°，
∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，
∵∠MBP＝31°，AB＝5，
∴0.6＝，
∴x＝3，
∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），
答：广告牌的宽MN的长为1.8米．
26．如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）∵DE＝78cm，∠CED＝60°，
∴sin60°＝＝，
∴CD＝39（cm）；
（2）设水箱半径OD的长度为xcm，则CO＝（39+x）cn，AO＝（154+x）cm，
∵∠BAC＝30°，
∴CO＝AO，
39+x＝（154+x），
解得：x≈18.9．
∴OD＝18.9cm．
27．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台，已知CD∥EG，高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：．
（1）求新坡面AC的坡角度数；
（2）原坡面底部BG的正前方10米（EB的长）处是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由．（参考数据：≈1.73）
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，则CH＝DG＝4，
∵新坡面AC的坡度为1：，
∴tan∠CAH＝＝，
∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°；
（2）新的设计方案能通过，
∵坡面BC的坡度为1：1，
∴BH＝CH＝4，
∵tan∠CAH＝＝，
∴AH＝CH＝4
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣4，
∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（4﹣4）＝14﹣4≈7.08＞7，
∴新的设计方案能通过．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
29．为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参考数据：，）．
【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
∴BD＝CD＝AC＝20千米，
∴BC＝CD＝20（千米），
∴AC+BC＝40+20≈40+1.41×20＝68.2（千米）．
∴开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走68.2千米；
（2）∵AD＝AC•cos30°＝40×＝20（千米），
∴BD＝CD＝AC＝40×＝20（千米），
∴AB＝AD+BD＝20+20≈20×1.73+20＝54.6（千米）．
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝68.2﹣54.6＝13.6（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走13.6千米．
30．如图，港口A在观测站C的正东方向20km处，某船从港口A出发，沿东偏北75°方向匀速航行2小时后到达B处，此时从观测站C处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的速度．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，CA＝20km，
∴AE＝CA＝10km，
∵在Rt△ABE中，∠B＝∠DAB﹣∠ACB＝75°﹣30°＝45°，
∴BE＝AE＝10km，AB＝AE＝10km，
∴该船航行的速度是10÷2＝5（km/h）．
专题01：2022年人教新版九年级（下册）28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
4．已知sinα＝，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（ ）
A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS
5．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（ ）
A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m
6．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（ ）（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
A．12千米 B．（3+4）千米
C．（3+5）千米 D．（12﹣4）千米
7．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式中正确的是（ ）
A．sin46°＞cos44° B．2sin40°＝sin80°
C．cos44°＜cos46° D．sin244°+sin246°＝1
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
二、填空题（共10小题）
11．比较大小：tan30° cos30°（用“＞”或“＜”填空）
12．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 米；大树BC的高度为 米（结果保留根号）
13．已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则∠A的余切值为 ．
14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝ ．
16．已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为 ．
17．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 海里．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosA＝ ．
19．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 m．
20．sin30°+tan45°＝ ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2tan60°cos30°﹣sin245°
22．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．
23．一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机B处的距离为50米，∠CAB为30°，这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行，外国侦察机在C点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由B到C的速度是多少？（结果保留整数，参考数据＝1.414，＝1.732）
24．计算：sin60°•cos60°﹣tan30°•tan60°+sin245°+cos245°．
25．某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）
26．如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
27．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台，已知CD∥EG，高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：．
（1）求新坡面AC的坡角度数；
（2）原坡面底部BG的正前方10米（EB的长）处是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由．（参考数据：≈1.73）
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
29．为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参考数据：，）．
30．如图，港口A在观测站C的正东方向20km处，某船从港口A出发，沿东偏北75°方向匀速航行2小时后到达B处，此时从观测站C处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的速度．
专题01：2022年人教新版九年级（下册）28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A是锐角，
∵cosA＝＝
∴设AB＝25x，AC＝7x，由勾股定理得：BC＝24x，
∴sinA＝＝，
故选：A．
2．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：由（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，得
2cosA＝，1﹣tanB＝0．
解得A＝45°，B＝45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（ ）
A．6sin75°米 B．米 C．米 D．6tan75°米
【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝6米，∠BAC＝75°，
∴＝tan75°，
∴BC＝AC•tan75°＝6tan75°（米）．
故选：D．
4．已知sinα＝，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（ ）
A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS
【解答】解：若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，
故选：D．
5．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（ ）
A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m
【解答】解：如图，
由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，
即地毯的总长度至少为（AC+BC），
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2m，∠C＝90°．
∵tanA＝，
∴AC＝BC÷tan30°＝2．
∴AC+BC＝2+2．
故选：B．
6．我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（ ）（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
A．12千米 B．（3+4）千米
C．（3+5）千米 D．（12﹣4）千米
【解答】解：如图，作BD⊥AC于点D，
根据题意可知：
在Rt△ADB中，∠A＝60°，AB＝6千米，
∴AD＝3千米，BD＝3千米，
在Rt△CDB中，∠CBD＝53°，
∴CD＝BD•tan53°≈3×1.32≈3×≈4（千米），
∴AC＝AD+CD＝3+4（千米）．
则A，C两地的距离为（3+4）千米．
故选：B．
7．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝2，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝，
所以sinA＝＝＝，
故选：D．
9．下列各式中正确的是（ ）
A．sin46°＞cos44° B．2sin40°＝sin80°
C．cos44°＜cos46° D．sin244°+sin246°＝1
【解答】解：sin46°＝cos（90°﹣46°）＝cos44°，因此选项A不符合题意；
2sin40°≠sin80°，因此选项B不符合题意；
一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小，于是有cos44°＞cos46°，因此选项C不符合题意；
sin244°+sin246°＝sin244°+cos244°＝1，因此选项D符合题意；
故选：D．
10．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC＝x，AD＝CD+x，AB＝，AB＝；
因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
第④组中，在直角△DEF中已知条件中没有边，无法求得DF或EF或DE的长度，从而无法求得AB的长度；
故选：C．
二、填空题（共10小题）
11．比较大小：tan30° ＜ cos30°（用“＞”或“＜”填空）
【解答】解：∵tan30°＝，cos30°，＜，
∴tan30°＜cos30°，
故答案为：＜．
12．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 2 米；大树BC的高度为 （3+5） 米（结果保留根号）
【解答】解：如图，过点D作DK⊥BC于K，DH⊥CE于H，
则四边形DHCK为矩形．
故DK＝CH，CK＝DH，
在直角三角形AHD中，＝，AD＝2米，
∴DH＝2米，AH＝4米，
∴CK＝DH＝2米，
设BC＝x米，
在直角三角形ABC中，AC＝＝x米，
∴DK＝（4+x）米，BK＝（x﹣2）米，
在直角三角形BDK中，∵BK＝DK•tan30°，
∴x﹣2＝（4+x）×，
解得：x＝5+3，
∴BC＝（5+3 ）米．
答：大树的高度为（3+5）米．
故答案是：2；（3+5）．
13．已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则∠A的余切值为 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴cotA＝＝，
故答案为．
14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是 ．
【解答】解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：
∵DB＝CK＝2，DB∥CK，
∴四边形CDBK是平行四边形，
∴CD∥BK，
∴∠AOC＝∠ABK，
过点K作KH⊥AB于H．
∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，
∴HK＝＝，
∵BK＝＝2，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝ ．
【解答】解：连接EB，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵＝＝，
设EC＝3k，则AE＝BE＝5k，AC＝5k+3k＝8k，
在Rt△BCE中，BC＝＝4k，
在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，
故答案为：．
16．已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为 5或7 ．
【解答】解：（1）如图所示：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AD＝2，BD＝＝6
在Rt△ACD中，∵AC＝，AD＝2，
∴CD＝＝1
∴BC＝BD﹣CD＝5；
（2）如图所示：过点A作AD⊥BC，交BC于点D
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AD＝2，BD＝＝6
在Rt△ACD中，∵AC＝，AD＝2，
∴CD＝＝1
∴BC＝BD+CD＝7；
故答案为：5或7．
17．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 （30+30） 海里．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，AD＝AC＝30，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）海里．
故答案为：（30+30）．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosA＝ ．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝＝6，
cosA＝＝＝，
故答案为：．
19．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 10 m．
【解答】解：∵坡比i＝tan∠CAB＝＝＝，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故答案为：10．
20．sin30°+tan45°＝ ．
【解答】解：原式＝+1＝．
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．计算：2tan60°cos30°﹣sin245°
【解答】解：原式＝2×﹣（）2
＝3﹣
＝．
22．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
而∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠ADE＝α，
在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，
∴＝，
设BC＝4x，则AC＝5x，
∴AB＝3x，
∴3x＝4，解得x＝，
∴BC＝
∴AD＝．
23．一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军的战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机B处的距离为50米，∠CAB为30°，这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行，外国侦察机在C点故意撞击我战斗机，使我战斗机受损．问外国侦察机由B到C的速度是多少？（结果保留整数，参考数据＝1.414，＝1.732）
【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠CBD＝45°，
∴∠CBF＝∠C＝45°，
∵∠A＝30°，AB＝50，
∴BF＝25m，AF＝25m，
∴FC＝25m，则BC＝25m，
∴AC＝25+25≈68（m），
68÷400≈0.17（秒），
故25÷0.17≈208（m/s），
答：外国侦察机由B到C的速度是208m/s．
24．计算：sin60°•cos60°﹣tan30°•tan60°+sin245°+cos245°．
【解答】解：原式＝×﹣×+1
＝﹣1+1
＝．
25．某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）
【解答】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
设PA＝PN＝x，
∵∠MAP＝58°，
∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，
∵∠MBP＝31°，AB＝5，
∴0.6＝，
∴x＝3，
∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），
答：广告牌的宽MN的长为1.8米．
26．如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）∵DE＝78cm，∠CED＝60°，
∴sin60°＝＝，
∴CD＝39（cm）；
（2）设水箱半径OD的长度为xcm，则CO＝（39+x）cn，AO＝（154+x）cm，
∵∠BAC＝30°，
∴CO＝AO，
39+x＝（154+x），
解得：x≈18.9．
∴OD＝18.9cm．
27．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台，已知CD∥EG，高DG为4米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：．
（1）求新坡面AC的坡角度数；
（2）原坡面底部BG的正前方10米（EB的长）处是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由．（参考数据：≈1.73）
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，则CH＝DG＝4，
∵新坡面AC的坡度为1：，
∴tan∠CAH＝＝，
∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°；
（2）新的设计方案能通过，
∵坡面BC的坡度为1：1，
∴BH＝CH＝4，
∵tan∠CAH＝＝，
∴AH＝CH＝4
∴AB＝AH﹣BH＝4﹣4，
∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（4﹣4）＝14﹣4≈7.08＞7，
∴新的设计方案能通过．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
29．为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参考数据：，）．
【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，AC＝40千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
∴BD＝CD＝AC＝20千米，
∴BC＝CD＝20（千米），
∴AC+BC＝40+20≈40+1.41×20＝68.2（千米）．
∴开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走68.2千米；
（2）∵AD＝AC•cos30°＝40×＝20（千米），
∴BD＝CD＝AC＝40×＝20（千米），
∴AB＝AD+BD＝20+20≈20×1.73+20＝54.6（千米）．
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝68.2﹣54.6＝13.6（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走13.6千米．
30．如图，港口A在观测站C的正东方向20km处，某船从港口A出发，沿东偏北75°方向匀速航行2小时后到达B处，此时从观测站C处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的速度．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，CA＝20km，
∴AE＝CA＝10km，
∵在Rt△ABE中，∠B＝∠DAB﹣∠ACB＝75°﹣30°＝45°，
∴BE＝AE＝10km，AB＝AE＝10km，
∴该船航行的速度是10÷2＝5（km/h）．
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